概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3章

1 隨 機 變 量 按 取 值 的 不 同 可 分 為離 散 型 隨 機 變 量 取 值 割 裂 的 ；連 續(xù) 型 隨 機 變 量 取 值 連 續(xù) 變 化 的 。 3.1 一 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 概 率 分 布一 、 分 布 函 數(shù) 概 念： 設 是 一 個 r.v.， x是 任 意 實 數(shù) ， 令 xPxFxF 簡 記稱 F(x)為 r.v. 的 分 布 函 數(shù) 。 2 ： 非 降 性 ： 對 a 0； 。 1d xxf以 標 準 正 態(tài) 分 布 為 例 ， 稱 為 高 斯 積 分 。 xx de 22 yxt yxt dedede 2222 222 20 0 22 deddde 222 rryx ryx 極 坐 標2e2 02 2 r 18 2de 22 xx 1de21d 22 xxx x 密 度 函 數(shù) f(x)的 圖 像 ： -3 -2 -1 0 1 2 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x y 1,0N 4,0N 41,0N 圖 1 19-6 -4 -2 0 2 4 600.050.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 x y 圖 2圖 1中 ， 不 變 ， 隨 著 變 大 ， 曲 線 波 峰 下 降 。圖 2中 ， 不 變 ， 曲 線 隨 著 的 變 化 沿 x軸 平 移 ，曲 線 形 狀 不 變 。 20 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) ： x tx tttfxF de21d)( 2 22此 積 分 因 被 積 函 數(shù) 不 是 初 等 函 數(shù) 而 無 法 積 分 。標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) ： x t txPx de21)( 22 書 后 附 有 標 準 正 態(tài) 分 布 表 (p.328)， 通 過 查 表 ，可 由 計 算 的 概 率 。 x 21 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) ： x tx tttfxF de21d)( 2 22此 積 分 因 被 積 函 數(shù) 不 是 初 等 函 數(shù) 而 無 法 積 分 。標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) ： x t txPx de21)( 22 書 后 附 有 標 準 正 態(tài) 分 布 表 (p.328)， 通 過 查 表 ，可 由 計 算 的 概 率 。 x 22 xy xx xo x 陰 影 部 分 為 概 率 面 積 ； 由 對 稱 性 ， 。 xx 1,210： 設 隨 機 變 量 ， 求 ； ； ； 。)1,0( N)35.2( P )35.2( P)35.2( P )35.2( P 23 若 ， 令 ， 則 。 2, N 1,0 N即 式 中 的 F(x) 式 中 的 ， 因 此 ，先 將 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 轉 化 成 標 準 正 態(tài) 分布 的 隨 機 變 量 ， 再 利 用 計 算 概 率 。 x： 若 ，求 (1) ； (2) 。)4,3.3( N )8( P )35( P 24 正 態(tài) 分 布 的 應 用 十 分 廣 泛 ， 在 日 常 生 活中 ， 人 的 身 高 、 體 重 、 智 商 ； 學 習 成 績 以 及產 品 質 量 等 均 服 從 正 態(tài) 分 布 。： 某 種 電 池 的 壽 命 服 從 正 態(tài) 分 布 ， (小 時 )， (小 時 )。 求 電 池 壽 命 在 250小 時 以 上 的 概 率 ； 求 x， 使 壽 命 在 與 之 間 的 概 率 不小 于 0.9。 300 35 x x 25 3.2 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 概 率 分 布一 、 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 和 邊 緣 分 布 函 數(shù)1、 ： 設 是 二 維 r.v.， x,y是 任 意 實 數(shù) ，令 yxPyxF ,則 稱 F(x,y)是 二 維 r.v. 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) ，簡 稱 分 布 函 數(shù) 。 , ,于 是 有 26 11122122 2121 , , yxFyxFyxFyxF yyxxP xyo x 1 x2y1y2 27 2、 ： F(x,y)對 x和 y分 別 是 單 調 非 降 的 ；x， y1y2， F(x,y1)F(x,y2)y， x1x2， F(x1,y)F(x2,y) 0F(x,y)1； 1, F 0, F F(x,y)對 x和 y分 別 右 連 續(xù) ；x,y， F(x+0,y)=F(x,y)， F(x,y+0)=F(x,y) 28 4 0, 11122122 yxFyxFyxFyxF3、 ： 設 二 維 r.v. 的 兩 個 分 量 與 各自 的 分 布 函 數(shù) 為 與 ， 稱 為 的 邊緣 分 布 函 數(shù) 。 , , xF yF yFyFxFxF , 可 由 聯(lián) 合 分 布 求 得 邊 緣 分 布 ； 反 之 則 不 一 定 。1 2 1 2, ,x x y y 有 29 二 、 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 和 邊 緣 密 度 函 數(shù)1、 ： 設 F(x,y)為 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) ， 且存 在 非 負 函 數(shù) f(x,y)， 使 得 對 于 x,y R， 有 , vuvufyxF x y dd, 稱 f(x,y)為 二 維 r.v. 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) ， 簡稱 密 度 函 數(shù) ， 稱 為 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 。 , , 30 2、 ： f(x,y)0； ； 1dd, yxyxf 若 G為 XOY平 面 內 的 一 區(qū) 域 ， 則 二 維 r.v. 落 入 G的 概 率 yxyxfGP G dd, , 在 f(x,y)的 連 續(xù) 點 (x,y)處 有 yxfyx yxF ,2 31 3、 ： 設 二 維 r.v. 的 兩 個 分 量 與 各自 的 密 度 函 數(shù) 為 與 ， 稱 為 的邊 緣 密 度 函 數(shù) 。 , , xf yf xyyxfxFxF x dd, yxyxfyFyF y dd, 于 是 有 xyxfyfyyxfxf d,d, 32 3、 ： 設 二 維 r.v. 的 兩 個 分 量 與 各自 的 密 度 函 數(shù) 為 與 ， 稱 為 的邊 緣 密 度 函 數(shù) 。 , , xf yf xxfxyyxfxFxF xx ddd, yyfyxyxfyFyF yy ddd, 于 是 有 xyxfyfyyxfxf d,d, 33 ： 已 知 隨 機 變 量 X和 Y的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為求 X和 Y的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) F(x,y)。 其 他,0 10,10,4, yxxyyxf： 設 二 維 r.v. 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù)求 A； 的 分 布 函 數(shù) ； ； 。 , 其 它 ，,0 2121,),( 32 yxyxAyxf ,)1( P )(),( yfxf 34 3.2 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 概 率 分 布 (續(xù) )三 、 兩 個 重 要 的 二 維 連 續(xù) 型 分 布1、 二 維 均 勻 分 布 設 G為 XOY平 面 上 的 有 界 區(qū) 域 ， 面 積 為 A，若 的 密 度 函 數(shù) 為 Gyx GyxAyxf ,0 ,1, ,稱 服 從 G上 的 均 勻 分 布 。 , 35 若 D為 G的 子 區(qū) 域 ， 則 AAyxADP DD dd1, p.106第 4題 即 是 均 勻 分 布 ， 其 概 率 只 與 D的 面 積 有 關 ， 而 與 D的 形 狀 、 位 置 無 關 。： 設 G為 曲 線 y=x2， x=1與 x軸 圍 成 的 平 面區(qū) 域 ， 服 從 G上 的 均 勻 分 布 ， 求 的邊 緣 分 布 。 , , 36 2、 二 維 正 態(tài) 分 布 稱 具 有 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) yx yyxxyxf , 212 1exp 12 1, 22 22 21 121 12 221 (其 中 為 常 數(shù) ， 且 有 )的 隨 機 變 量 服 從 二 維 正 態(tài) 分 布 ， 記 為 。 , 2121 1,0,0 21 , , 222121N 37 二 維 正 態(tài) 分 布 的 圖 形 ： 38 二 維 正 態(tài) 分 布 的 兩 個 邊 緣 分 布 是 一 維 正 態(tài)分 布 。 22222 21121 ,e21 ,e21 22 2221 21 Nyf Nxf yx 由 于 均 不 含 ， 故 當 相同 而 不 同 時 ， 仍 相 同 ， 因 此 不 能從 邊 緣 分 布 推 得 聯(lián) 合 分 布 。 yfxf , 2121 , yfxf , 39 ： p.107， 習 題 3.2， 第 10(1)題 。 設 參 數(shù) ，寫 出 它 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 和 邊 緣 密 度 函 數(shù) 。53,9,5,1,1 2222121 ： p.108， 習 題 3.2， 第 12題 。 設 隨 機 變 量 的 密 度 函 數(shù) 為 , 0,0 0,e1, 2221 xyxyyxf yx 當當求 證 ： 和 的 邊 緣 分 布 分 別 為 N(0,1)。 40 四 、 隨 機 變 量 的 獨 立 性1、 ： 設 r.v. 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 為 f(x,y)， 和 的 邊 緣 密 度 函 數(shù) 分 別 為 ， 如 果對 任 意 實 數(shù) x和 y， 有 yfxf , , yfxfyxf ,則 稱 r.v. 和 相 互 獨 立 ， 反 之 稱 和 不 獨 立 。 2、 當 兩 個 r.v. 和 相 互 獨 立 時 ， 亦 成 立 yFxFyxF , 41 ： 袋 中 有 2只 白 球 ， 3只 黑 球 ， 現(xiàn) 進 行 無 放回 摸 球 ， 定 義求 聯(lián) 合 概 率 分 布 和 邊 緣 分 布 ； 與 是 否 獨 立 ？ 第 一 次 摸 出 黑 球第 一 次 摸 出 白 球01 第 二 次 摸 出 黑 球第 二 次 摸 出 白 球01 , ： 在 例 1中 ， 討 論 與 的 獨 立 性 。 42 ： 設 的 聯(lián) 合 密 度 為 求 系 數(shù) c； 與 是 否 獨 立 ？ 落 在 以 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)為 頂 點 的 正 方 形 的概 率 。 , 22 11),( yx cyxf ： 某 人 欲 到 車 站 乘 車 。 已 知 人 、 車 到 達 車站 的 時 間 相 互 獨 立 ， 且 都 服 從 在 8:00 8:30間的 均 勻 分 布 。 又 設 車 到 車 站 停 留 10分 鐘 后 準 時離 站 ， 求 此 人 能 乘 上 車 的 概 率 。 43 3、 定 理 ： 設 ， 則 , 222121N 與 相 互 獨 立 0 證 明 ： 必 要 性 ： 與 相 互 獨 立 ， 則 22 22 21 121 12221 212 1exp12 1 yyxx 22 22221 211 2exp212exp21 yx令 ， 則21, yx 21221 2 112 1 11 2 0 44 充 分 性 ： ， 則 的 密 度 函 數(shù)0 , 22 221 121 21exp2 1, yxyxf 22 22221 211 2exp212exp21 yx yfxf yfxfyxf , 故 與 相 互 獨 立 45 3.3 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 密 度 函 數(shù)一 、 一 維 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 密 度 函 數(shù)設 為 連 續(xù) 型 r.v.， 若 有 y =g(x)， 則 也是 連 續(xù) 型 r.v.。 現(xiàn) 可 利 用 的 密 度 函 數(shù) 來 求 的 密 度 函 數(shù) 。 g yf xf1、 y =g(x)是 嚴 格 單 調 且 可 導 的 函 數(shù)定 理 ： 設 的 密 度 函 數(shù) 為 ， y =g(x)嚴 格 單調 且 有 一 階 導 數(shù) 存 在 ， 設 x=h(y)為 y =g(x)的 反函 數(shù) ， 則 的 密 度 函 數(shù) 為 xf g 46 gbga byayhyhfyf max,min,0 , 其 中 其 它證 明 ： y =g(x)嚴 格 單 調 ， 則 x=h(y)也 嚴 格 單 調 。 設 y =g(x) ， 則 的 分 布 函 數(shù) ygPyPyF yh xxfyhP d bya yhyhfyFyf 當 y xy=g(x)x=h(y)y h(y)o 47 設 y =g(x) ， 則 的 分 布 函 數(shù) ygPyPyF y=g(x)x=h(y)yo xh(y)y yh xxfyhP d bya yhyhfyFyf 當 由 、 ， byayhyhfyf 48 ： 設 隨 機 變 量 (指 數(shù) 分 布 )， 求 的 概 率 密 度 。 )( E3 ： 設 隨 機 變 量 ， 求 線 性 函 數(shù) (k1,k2是 常 數(shù) 且 k10)的 概 率 密 度 。),( 2 N21 kk ： 設 隨 機 變 量 (均 勻 分 布 )， 求 的 概 率 密 度 。 )1,0(U ln2 49 2、 y =g(x)是 分 段 單 調 且 可 導 的 函 數(shù)定 理 ： 設 隨 機 變 量 的 密 度 函 數(shù) 為 ， 函 數(shù)y=g(x)在 不 相 重 疊 的 區(qū) 間 I1,I2,Ik上 分 段 嚴 格單 調 且 可 導 ， 它 們 的 反 函 數(shù) 分 別 為h1(y),h2(y), ,hk(y)， 則 的 密 度 函 數(shù) xf g 其 它,0 ,1 byayhyhfyf ki ii 50 ： 設 ， 求 的 密 度 函 數(shù) 。 ),0( 2 N 2： 設 X N(0,1)， 求 Y=|X|的 概 率 密 度 fY(y)。： 設 r.v. 的 密 度 函 數(shù) 其 他,0 0,2)( 2 xxxf求 的 密 度 函 數(shù) 。 yf yf sin 51 二 、 多 維 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 密 度 函 數(shù) 已 知 隨 機 變 量 或 隨 機 向 量 的 密 度 函 數(shù) ， 若 隨 機 變 量 或 ， 與 一 維 情 形 相 類 似 ， 我 們同 樣 可 以 利 用 原 來 隨 機 變 量 的 密 度 函 數(shù) 求 得 的密 度 函 數(shù) 。 , n , 21 ,g ng , 21 ： 52 常 見 的 多 維 隨 機 變 量 的 函 數(shù) 有 ： 在 求 解 過 程 中 ， 多 數(shù) 是 先 求 分 布 函 數(shù) ， 再利 用 導 數(shù) 求 得 密 度 函 數(shù) 。 22 22 n ,min 211 nn ,max 21 盡 管 ， 此 時 為 一 維 的 隨 機 變 量 。 ,g 53 求 的 密 度 函 數(shù) 的 通 常 步 驟 ： 求 出 的 概 率 密 度 函 數(shù) ： zf zgPzPzF , 求 出 的 取 值 范 圍 ； 求 出 的 分 布 函 數(shù) ： zDz yxyxfDyxP dd,其 中 ； zyxgyxDz , )(dd)( zFzzf 54 1、 和 的 分 布現(xiàn) 利 用 第 點 的 思 想 來 推 導 隨 機 變 量 和 的 分 布之 密 度 函 數(shù) 。設 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 為 f(x,y)，則 的 分 布 函 數(shù) 為 , o xy z zx+y=z zPzPzF zyx yxyxf dd, 55 xyyxfxz dd, xtxtxfz dd,令 y=t-x z txxtxf dd,交 換 積 分 次 序故 的 密 度 函 數(shù) xxzxfzFzf d),()()( 56該 公 式 稱 為 卷 積 公 式 。 ： 與 對 稱 ， 故 yyyzfzf d),()( 若 與 相 互 獨 立 ， 則 yfxfyxf ,于 是 的 密 度 函 數(shù) yyfyzfxxzfxfzf d)()(d)()()( 57： p.123， 習 題 3.3， 第 9題 。設 相 互 獨 立 ， ， ， 求 的 密 度 函 數(shù) 。, 2,0U 1 E 定 理 ： 隨 機 變 量 與 相 互 獨 立 ， ， ， 則 相 互 獨 立 ， ， 則),( 211 N ),( 222 N ),( 222121 Nn , 21 ),( 2iii N 21 211 , ini iini iini i aaNa 58 2、 或22 22 解 題 時 需 從 分 布 函 數(shù) 出 發(fā) ； 在 進 行 二 重 積 分 求 解 時 要 用 到 極 坐 標 。： 設 獨 立 ， 且 都 服 從 N(0,1)， 求 的 密 度 函 數(shù) 。,22 ： 設 的 密 度 函 數(shù) 為 , 22222e2 1, yxyxf 求 的 密 度 函 數(shù) 。22