高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理課件 蘇教版選修2-2

第 2章2.1合情推理與演繹推理 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.學(xué)習(xí)目標(biāo) 欄目索引 知識梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點突破當(dāng)堂檢測 自查自糾 知識梳理 自 主 學(xué) 習(xí)知識點一推理的定義與結(jié)構(gòu)形式1.定義：從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.2.結(jié)構(gòu)形式：從結(jié)構(gòu)上來說，推理一般分為兩部分，一部分是已知的事實(或假設(shè))，叫做 ，另一部分是由已知判斷推出的新的判斷，叫做 .思考(1)依據(jù)部分對象得到的推理結(jié)論可靠嗎？答案不一定完全可靠.(2)推理一般用哪些關(guān)聯(lián)詞？答案推理一般可用關(guān)聯(lián)詞將“前提”和“結(jié)論”聯(lián)結(jié)，常用的關(guān)聯(lián)詞有“因為 所以 ” “根據(jù) 可知 ” “如果 那么 ”“若 則 ” . 答案 前提結(jié)論 知識點二歸納推理與類比推理 答案 定義特征一般模式思維過程歸納推理從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理歸納推理是由 、由_的推理S1具有性質(zhì)PS2具有性質(zhì)P S n具有性質(zhì)P ( S 1，S2，Sn是A類事物對象)所以A類事物具有性質(zhì)P實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論部分到整體個別到一般 答案 類比推理根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同.像這樣的推理通常稱為類比推理類比推理是由 的推理A類事物具有性質(zhì)a，b，c，dB類事物具有性質(zhì)a，b，c (a，b，c與a，b，c相似或相同)所以B類事物可能具有性質(zhì)d觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新的結(jié)論特殊到特殊 思考歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？答案歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠. 答案 知識點三合情推理1.合情推理的含義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理.2.合情推理的過程思考由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？答案一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了. 答案返回 題型探究 重 點 突 破 解析答案 題型一歸納推理的應(yīng)用例1已知數(shù)列an的第1項a12，且an1 (n1,2， )，試歸納出這個數(shù)列的通項公式.由此發(fā)現(xiàn)分母依次為1,3,5,7，分子都是2. 反思與感悟 反思與感悟求數(shù)列an的通項公式的一般方法：(1)根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(有時題目已給出)，如a1，a2，a3等；(2)通過這些項找出項與序號之間的一般規(guī)律，歸納出數(shù)列的一個通項公式. 解析答案 (1)求出S1，S2，S3，S4； 解析答案 (2)猜想該數(shù)列的前n項和Sn并證明. 解析答案 題型二類比推理的應(yīng)用例2在矩形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊AB，BC所成的角分別為，則cos2cos21.在立體幾何中，通過類比，給出猜想并證明. 反思與感悟 于是類比到長方體中，猜想若其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.證明如下：如圖(2)， 反思與感悟 反思與感悟類比推理是一種主觀的不充分的推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證.一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)越相關(guān)，那么類比得到的命題就越可靠.類比的關(guān)鍵是能把兩個系統(tǒng)之間的某種一致性或相似性確切地表述出來，也就是要把相關(guān)對象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識說清楚. 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2“若直角三角形兩直角邊的長分別為a，b，將其補成一個矩形，則根據(jù)矩形的對角線長可求得該直角三角形外接圓的半徑r ” .對于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a，b，c”，類比上述處理方法，可得該三棱錐的外接球的半徑R_.解析由求直角三角形外接圓的半徑的方法，通過類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補全為長方體，而長方體的體對角線長就是三棱錐的外接球的直徑，從而得出該三棱錐的外接球的半徑R . 歸納推理、類比推理都是合情推理，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理；而類比推理則是通過某兩類對象在對比中啟發(fā)猜想結(jié)論.這些結(jié)論未必正確，要進一步驗證(或證明)其正確性.例3設(shè)f(n)n2n41，n N*，計算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n40驗證猜想是否正確.易錯易混 合情推理的應(yīng)用 解析答案返回 解f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)8 2841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.解析答案 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是質(zhì)數(shù)，歸納猜想：當(dāng)n N*時，f(n)n2n41的值都為質(zhì)數(shù).驗證：當(dāng)n40時，f(40)402404140(401)414141. f(40)是合數(shù)，由上面歸納推理得到的猜想不正確. 返回 當(dāng)堂檢測 解析答案而分母b則為該數(shù)的平方減1. 6 35 解析答案類比正切的和角公式， nx xn n 個 nn解析答案 答案 解析答案 5.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項，并歸納猜想它的通項公式.(1)a13，an12an1；解由已知可得a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.猜想an2n11 (n N*). 解析答案 解析答案對一切的n N*，an0， a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(n N*). 課堂小結(jié) 返回 1.歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).2.類比推理的一般步驟：(1)找出兩類對象之間的相似性或一致性；(2)用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想).