高二數(shù)學(xué)《生活中的優(yōu)化問題舉例》

生 活 中 經(jīng) 常 會 遇 到 求 什 么 條 件 下 可使 用 料 最 省 ， 利 潤 最 大 ， 效 率 最 高 等 問題 ， 這 些 問 題 通 常 稱 為 優(yōu) 化 問 題 .這 往 往 可 以 歸 結(jié) 為 求 函 數(shù) 的 最 大 值 或 最小 值 問 題 .其 中 不 少 問 題 可 以 運(yùn) 用 導(dǎo) 數(shù)這 一 有 力 工 具 加 以 解 決 . 復(fù) 習(xí) ： 如 何 用 導(dǎo) 數(shù) 來 求 函 數(shù) 的 最 值 ？ 一 般 地 ， 若 函 數(shù) y=f (x)在 a， b上 的 圖 象 是 一 條連 續(xù) 不 斷 的 曲 線 ， 則 求 f (x) 的 最 值 的 步 驟 是 ：（ 1） 求 y=f (x)在 （ a， b） 內(nèi) 的 極 值 (極 大 值 與 極 小 值 )；（ 2） 將 函 數(shù) 的 各 極 值 與 端 點(diǎn) 處 的 函 數(shù) 值 f (a)、 f (b) 比 較 ， 其 中 最 大 的 一 個 為 最 大 值 ， 最 小 的 一 個 為 最 小 值 . 問 題 情 景 一 ： 飲 料 瓶 大 小 對 飲 料 公 司 利 潤 的 影 響 下 面 是 某 品 牌 飲 料 的 三 種 規(guī) 格 不 同 的 產(chǎn) 品 ， 若 它 們的 價 格 如 下 表 所 示 ， 則（ 1） 對 消 費(fèi) 者 而 言 ， 選 擇 哪 一 種 更 合 算 呢 ？（ 2） 對 制 造 商 而 言 ， 哪 一 種 的 利 潤 更 大 ？ 例 1、 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶 裝 的 某 種 飲 料 ， 瓶 子 的 制 造成 本 是 0.8pr2分 ， 其 中 r是 瓶 子 的 半 徑 ， 單 位 是 厘 米 ， 已 知 每 出售 1ml的 飲 料 ， 制 造 商 可 獲 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 造 的 瓶 子 的最 大 半 徑 為 6cm， 則 每 瓶 飲 料 的 利 潤 何 時 最 大 ， 何 時 最 小 呢 ？ 2( )= 0.8 -2 0 = 2( ) ，f r r r r令 得r (0， 2) 2 (2， 6） 6f (r) 0f (r) - +減 函 數(shù) 增 函 數(shù) -1.07p解 ： 每 個 瓶 的 容 積 為 : )(3 4 3 mlrp 每 瓶 飲 料 的 利 潤 ： 23 8.0342.0)( rrrfy pp 3 2= 0.8 ( - )3r r )60( r28.8 由 上 表 可 知 ， f (2)=-1.07p為 利 潤 的 最 小 值 f(6)=28.8為 利 潤 的 最 大 值例 1、 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶 裝 的 某 種 飲 料 ， 瓶 子 的 制 造成 本 是 0.8pr2分 ， 其 中 r是 瓶 子 的 半 徑 ， 單 位 是 厘 米 ， 已 知 每 出售 1ml的 飲 料 ， 制 造 商 可 獲 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 造 的 瓶 子 的最 大 半 徑 為 6cm， 則 每 瓶 飲 料 的 利 潤 何 時 最 大 ， 何 時 最 小 呢 ？答 ： 當(dāng) 瓶 子 半 徑 為 6cm時 ， 每 瓶 飲 料 的 利 潤 最 大 ， 當(dāng) 瓶 子 半 徑 為 2cm時 ， 每 瓶 飲 料 的 利 潤 最 小 .6(0， 2)f (r) 0f (r) (2， 6）2r - +減 函 數(shù) 增 函 數(shù) -1.07p 28.8 ryo )3(8.0)( 23 rrrf p2 31、 當(dāng) 半 徑 為 2cm時 ,利 潤 最 小 ,這 時 f(2)0,2、 當(dāng) 半 徑 為 6cm時 ， 利 潤 最 大 。從 圖 中 可 以 看 出 :從 圖 中 ， 你還 能 看 出 什么 嗎 ？ 解 決 優(yōu) 化 問 題 的 方 法 之 一 ： 通 過 搜 集 大 量 的 統(tǒng) 計 數(shù) 據(jù) ， 建 立 與 其 相 應(yīng) 的 數(shù) 學(xué)模 型 ， 再 通 過 研 究 相 應(yīng) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) ， 提 出 優(yōu) 化 方 案 ，使 問 題 得 到 解 決 在 這 個 過 程 中 ， 導(dǎo) 數(shù) 往 往 是 一 個 有力 的 工 具 ， 其 基 本 思 路 如 以 下 流 程 圖 所 示優(yōu) 化 問 題 用 函 數(shù) 表 示 的 數(shù) 學(xué) 問 題用 導(dǎo) 數(shù) 解 決 數(shù) 學(xué) 問 題優(yōu) 化 問 題 的 答 案 我 們 知 道 ， 汽 油 的 消 耗 量 w（ 單 位 ： L） 與汽 車 的 速 度 v（ 單 位 ： km/h） 之 間 有 一 定 的關(guān) 系 ， 汽 油 的 消 耗 量 w是 汽 車 速 度 v的 函 數(shù) 。根 據(jù) 你 的 生 活 經(jīng) 驗(yàn) ， 思 考 下 面 兩 個 問 題 ：問 題 情 景 二 ： 汽 油 使 用 效 率 何 時 最 高 (1)是 不 是 汽 車 的 速 度 越 快 ， 汽 油 的 消 耗 量 越 大 ？(2)“汽 油 的 使 用 效 率 最 高 ” 的 含 義 是 什 么 ？ 一 般 地 ， 每 千 米 路 程 的 汽 油 消 耗 量 越 少 ， 我們 就 說 汽 油 的 使 用 效 率 越 高 （ 即 越 省 油 ） 。 若 用 G 來 表 示 每 千 米 平 均 的 汽 油 消 耗 量則 如 何 計 算 每 千 米 路 程 的 汽 油 消 耗 量 ？wG= s（ w是 汽 油 消 耗 量 ， s是 汽 車 行 駛 的 路 程 ） 例 2、 通 過 研 究 ， 人 們 發(fā) 現(xiàn) 汽 車 在 行 駛 過 程 中 ， 汽 油 的平 均 消 耗 率 g（ 即 每 小 時 的 汽 油 消 耗 量 ， 單 位 : L / h）與 汽 車 行 駛 的 平 均 速 度 v（ 單 位 : km/h） 之 間 ， 有 如 圖 的函 數(shù) 關(guān) 系 g = f (v) ， 那 么 如 何 根 據(jù) 這 個 圖 象 中 的 數(shù) 據(jù) 來解 決 汽 油 的 使 用 效 率 最 高 的 問 題 呢 ？ v(km/h)g (L/h)O 1209030 5051015wG= s (w是 汽 油 消 耗 量 ，s是 汽 車 行 駛 的 路 程 )問 題 1： 可 用 哪 個 量 來 衡 量 汽 油 的 使 用 效 率 ？問 題 2： 汽 油 的 使 用 效 率 與 g、 v有 什 么 關(guān) 系 ？每 千 米 平 均 的 汽 油 消 耗 量 例 2、 通 過 研 究 ， 人 們 發(fā) 現(xiàn) 汽 車 在 行 駛 過 程 中 ， 汽 油 的平 均 消 耗 率 g（ 即 每 小 時 的 汽 油 消 耗 量 ， 單 位 : L / h）與 汽 車 行 駛 的 平 均 速 度 v（ 單 位 : km） 之 間 ， 有 如 圖 的函 數(shù) 關(guān) 系 g = f (v) ， 那 么 如 何 根 據(jù) 這 個 圖 象 中 的 數(shù) 據(jù) 來解 決 汽 油 的 使 用 效 率 最 高 的 問 題 呢 ？ v(km/h)g (L/h)O 1209030 5051015分 析 ： 每 千 米 平 均 的 汽 油 消 耗 量 ， 這 里 w是 汽 油消 耗 量 ， s是 汽 車 行 駛 的 路 程 w=gt， s=vt wG= sgt gvt v wG= s P(v， g) 的 幾 何 意 義 是 什 么 ？gv如 圖 所 示 ， 表 示 經(jīng) 過 原 點(diǎn)與 曲 線 上 的 點(diǎn) P(v， g)的 直 線的 斜 率 k gv min (90)k f所 以 由 右 圖 可 知 ， 當(dāng) 直 線 OP為 曲 線 的 切 線 時 ， 即 斜 率 k取最 小 值 時 ， 汽 油 使 用 效 率 最 高 0.07 練 習(xí) ： 已 知 某 廠 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 的 成 本 為225000 200 ( )40 xc x 元若 要 使 平 均 成 本 最 低 ， 則 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 多 少 件 產(chǎn) 品 ？解 ： 設(shè) 平 均 成 本 為 y元 ， 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 ， 則25000 200 40c xy x x 250002 200 25040 xx 25000 100040 x xx 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ， 即 時 等 號 成 立 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 1000件 產(chǎn) 品 變 題 ： 已 知 某 廠 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 的 成 本 為225000 200 ( )40 xc x 元若 受 到 設(shè) 備 的 影 響 ， 該 廠 每 天 至 多 只 能 生 產(chǎn) 800件 產(chǎn) 品 ，則 要 使 平 均 成 本 最 低 ， 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 多 少 件 產(chǎn) 品 呢 ？解 ： 設(shè) 平 均 成 本 為 y元 ， 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 ， 則25000 200 40c xy x x 225000 1 40y x 0 0 1000 0 1000y xy x 由 ， 可 求 得 由 ， 可 求 得 變 題 ： 已 知 某 廠 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 的 成 本 為225000 200 ( )40 xc x 元若 受 到 產(chǎn) 能 的 影 響 ， 該 廠 每 天 至 多 只 能 生 產(chǎn) 800件 產(chǎn) 品 ，則 要 使 平 均 成 本 最 低 ， 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 多 少 件 產(chǎn) 品 呢 ？ 函 數(shù) 在 (0， 1000)上 是 減 函 數(shù)800 x y 當(dāng) 時 ， 取 最 小 值故 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 800件 產(chǎn) 品 基 本 不 等 式 法 ： “ 一 正 、 二 定 、 三 相 等 、 四 最 值 ” ；導(dǎo) 數(shù) 法 ： 一 定 義 域 、 二 導(dǎo) 數(shù) 符 號 、 三 單 調(diào) 性 、 四 最 值 ” 。 小 結(jié) ：作 業(yè) ： 課 本 P37 A組 第 2題1、 什 么 是 優(yōu) 化 問 題 ？3、 本 節(jié) 課 你 學(xué) 會 了 哪 些 解 決 優(yōu) 化 問 題的 方 法 ？2、 解 優(yōu) 化 問 題 可 以 歸 結(jié) 為 解 什 么 ？