高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第4講 推理與證明課件 理

第4講推理與證明專題四數(shù)列、推理與證明 欄目索引 高考真題體驗1 熱點分類突破2 高考押題精練3 解析 高考真題體驗1.(2016課標全國丙)定義“規(guī)范01數(shù)列” an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k 2m，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個 B.16個 C.14個 D.12個解析第一位為0，最后一位為1，中間3個0,3個1,3個1在一起時為000111,001110；共28414(個). 2.(2016山東)觀察下列等式： 解析答案 3.(2016課標全國甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_.解析由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“ 1和2”或“ 1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“ 2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“ 1和3” .1和3 解析答案 考情考向分析 返回 1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題. 熱點一歸納推理1.歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理.2.歸納推理的思維過程如下：熱點分類突破 正方形數(shù) N(n,4)n2，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(8,12)_.288 解析答案 解析答案思維升華 思維升華歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時有著廣泛的應用.其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想. 跟蹤演練1(1)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是()A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85 解析 解析由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有D符合條件. (2)用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規(guī)律拼成若干個圖形，則按此規(guī)律，第100個圖形中有白色地磚_塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是_.503 答案解析 解析按拼圖的規(guī)律，第1個圖有白色地磚(331)塊，第2個圖有白色地磚(352)塊，第3個圖有白色地磚(373)塊，則第100個圖中有白色地磚3201100503(塊).第100個圖中黑白地磚共有603塊， 熱點二類比推理1.類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.2.類比推理的思維過程如下： A.1 B.2 C.3 D.4解析 解析如圖，設(shè)正四面體的棱長為1，此時易知點O即為正四面體內(nèi)切球的球心， ch(xy)ch xch ysh xsh y答案解析思維升華 故知ch(xy)ch xch ysh xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y.思維升華 思維升華類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比. 300解析在等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項積，類比上述結(jié)論，在公差為3的等差數(shù)列an中，我們可以類比推斷出：S20S10，S30S20，S40S30也構(gòu)成等差數(shù)列，公差為100d300. 解析答案 答案解析 解析設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，因為P0(x0，y0)在這兩條切線上， 熱點三直接證明和間接證明直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч治龇▌t是執(zhí)果索因，反證法是反設(shè)結(jié)論導出矛盾的證明方法. (1)求數(shù)列an的通項公式；解由已知得an1an1，則an1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.故an1(n1)1n. 解析答案 證明由(1)知，ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(22n22n22n1)(22n222n11)2n0， 解析答案思維升華 2 na 思維升華(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個結(jié)論不成立的例子即可.(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候分析法和綜合法交替使用. 跟蹤演練3(1)已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c. 解析答案 只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立. 證明假設(shè)x0是f(x)0的負根，則x01，f(2)1；下面用數(shù)學歸納法證明：當n 3時，f(n)1.由(1)知當n3時，f(n)1；假設(shè)當nk(k 3，k N*)時，f(k)1，那么當nk1時， 解析答案思維升華 所以當nk1時，f(n)1也成立.由和知，當n 3時，f(n)1；當n 3時，f(n)1.思維升華 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項.難點在于尋求等式在nk和nk1時的聯(lián)系.思維升華 (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式； 解析答案 (2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.證明由(1)易知，n1時，猜想正確.這說明，nk1時猜想正確.由知，對于任何n N *，返回解析答案 高考押題精練1.將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)， 分別計算各組包含的正整數(shù)的和，如下所示：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S 722232425262728175，試猜測S1S3S5S2 015_.1 0084答案解析押題依據(jù) 押題依據(jù)數(shù)表(陣)是高考命題的常見類型，本題以三角形數(shù)表中對應的各組包含的正整數(shù)的和的計算為依托，圍繞簡單的計算、歸納猜想以及數(shù)學歸納法的應用等，考查考生歸納猜想能力以及對數(shù)學歸納法邏輯推理證明步驟的掌握程度. 解析 解析由題意知，當n1時，S1114；當n2時，S1S31624；當n3時，S1S3S58134；當n4時，S1S3S5S725644； 猜想：S1S3S5S2n1n4. S1S3S5S2 0151 0084. 押題依據(jù)根據(jù)n個等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點，相對而言，歸納推理在高考中出現(xiàn)的機率較大. 答案解析押題依據(jù) 解析已知所給不等式的左邊第一個式子都是x，不同之處在于第二個式子， 顯然式子中的分子與分母是對應的，分母為xn，分子是nn，顯然不等式右邊的式子為n1， 3.設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，證明：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.押題依據(jù)反證法是一種重要的證明方法，對含“至多” “至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時有涉及.因為a1 0，所以(1q)21qq2，即q0，這與q 0矛盾，故S n不是等比數(shù)列.押題依據(jù)返回解析答案