概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之

概 率 統(tǒng) 計(jì) 是 研 究 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 數(shù) 量 規(guī) 律 的數(shù) 學(xué) 學(xué) 科 , 理 論 嚴(yán) 謹(jǐn) , 應(yīng) 用 廣 泛 , 發(fā) 展 迅 速 . 目 前 , 不 僅 高 等 學(xué) 校 各 專 業(yè) 都 開 設(shè) 了 這 門 課程 , 而 且 從 上 世 紀(jì) 末 開 始 ， 這 門 課 程 特 意被 國 家 教 委 定 為 本 科 生 考 研 的 數(shù) 學(xué) 課 程 之一 ， 希 望 大 家 能 認(rèn) 真 學(xué) 好 這 門 不 易 學(xué) 好 又前 言不 得 不 學(xué) 的 重 要 課 程 . 國 內(nèi) 有 關(guān) 經(jīng) 典 著 作1. 概 率 論 基 礎(chǔ) 及 其 應(yīng) 用 王 梓 坤 著 科 學(xué) 出 版 社 1976 年 版 2. 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 引 論 陳 希 儒 著 科 學(xué) 出 版 社 1981年 版國 外 有 關(guān) 經(jīng) 典 著 作1. 概 率 論 的 分 析 理 論 P.- S.拉 普 拉 斯 著 1812年 版2. 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 數(shù) 學(xué) 方 法 H. 克 拉 默 著 1946年 版 概 率 論 的 最 早 著 作數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 最 早 著 作 概 率 統(tǒng) 計(jì) 專 業(yè)首 位 中 科 院 院 士 本 學(xué) 科 的 A B C概 率 (或 然 率 或 幾 率 ) 隨 機(jī) 事 件出 現(xiàn) 的 可 能 性 的 量 度 其 起 源 與 博 弈16 世 紀(jì) 意 大 利 學(xué) 者 開 始 研 究 擲 骰 子等 賭 博 中 的 一 些 問 題 ；概 率 論 是 一 門 研 究 客 觀 世 界 隨 機(jī) 現(xiàn)象 數(shù) 量 規(guī) 律 的 數(shù) 學(xué) 分 支 學(xué) 科 .問 題 有 關(guān) . 17世 紀(jì) 中 葉 ， 法 國 數(shù) 學(xué) 家 B. 帕 斯 卡 、 荷 蘭 數(shù) 學(xué) 家 C. 惠 更 斯 基 于 排 列 組 合 的 方法 ， 研 究 了 較 復(fù) 雜 的 賭 博 問 題 ， 解 決 了“ 合 理 分 配 賭 注 問 題 ” ( 即 得 分 問 題 ).而 概 率 論 的 飛 速 發(fā) 展 則 在 17 世 紀(jì) 微 積 分的 真 正 奠 基 人 是 瑞 士 數(shù) 學(xué) 家 J . 伯 努 利 ；概 率 論 ； 使 概 率 論 成 為 數(shù) 學(xué) 的 一 個(gè) 分 支對(duì) 客 觀 世 界 中 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 的 分 析 產(chǎn) 生 了學(xué) 說 建 立 以 后 . 第 二 次 世 界 大 戰(zhàn) 軍 事 上 的 需 要 以 及 大工 業(yè) 與 管 理 的 復(fù) 雜 化 產(chǎn) 生 了 運(yùn) 籌 學(xué) 、 系 統(tǒng)論 、 信 息 論 、 控 制 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 等 學(xué) 科 .數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 是 一 門 研 究 怎 樣 去 有 效 地收 集 、 整 理 和 分 析 帶 有 隨 機(jī) 性 的 數(shù) 據(jù) , 以對(duì) 所 考 察 的 問 題 作 出 推 斷 或 預(yù) 測(cè) ， 直 至 為采 取 一 定 的 決 策 和 行 動(dòng) 提 供 依 據(jù) 和 建 議 的數(shù) 學(xué) 分 支 學(xué) 科 . 統(tǒng) 計(jì) 方 法 的 數(shù) 學(xué) 理 論 要 用 到 很 多 近 代數(shù) 學(xué) 知 識(shí) , 如 函 數(shù) 論 、 拓 撲 學(xué) 、 矩 陣 代 數(shù) 、組 合 數(shù) 學(xué) 等 等 ， 但 關(guān) 系 最 密 切 的 是 概 率 論 ，故 可 以 這 樣 說 ： 概 率 論 是 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 的 基礎(chǔ) ， 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 是 概 率 論 的 一 種 應(yīng) 用 . 但是 它 們 是 兩 個(gè) 并 列 的 數(shù) 學(xué) 分 支 學(xué) 科 ， 并 無從 屬 關(guān) 系 . 本 學(xué) 科 的 應(yīng) 用概 率 統(tǒng) 計(jì) 理 論 與 方 法 的 應(yīng) 用 幾 乎 遍 及所 有 科 學(xué) 技 術(shù) 領(lǐng) 域 、 工 農(nóng) 業(yè) 生 產(chǎn) 和 國 民 經(jīng)濟(jì) 的 各 個(gè) 部 門 中 . 例 如 1. 氣 象 、 水 文 、 地 震 預(yù) 報(bào) 、 人 口 控 制及 預(yù) 測(cè) 都 與 概 率 論 緊 密 相 關(guān) ；2. 產(chǎn) 品 的 抽 樣 驗(yàn) 收 ， 新 研 制 的 藥 品 能否 在 臨 床 中 應(yīng) 用 ,均 需 要 用 到 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 6. 探 討 太 陽 黑 子 的 變 化 規(guī) 律 時(shí) , 時(shí) 間可 夫 過 程 來 描 述 ;7. 研 究 化 學(xué) 反 應(yīng) 的 時(shí) 變 率 , 要 以 馬 爾序 列 分 析 方 法 非 常 有 用 ;4. 電 子 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) , 火 箭 衛(wèi) 星 的 研 制 與發(fā) 射 都 離 不 開 可 靠 性 估 計(jì) ; 3. 尋 求 最 佳 生 產(chǎn) 方 案 要 進(jìn) 行 實(shí) 驗(yàn) 設(shè)計(jì) 和 數(shù) 據(jù) 處 理 ;5. 處 理 通 信 問 題 , 需 要 研 究 信 息 論 ; 水 庫 調(diào) 度 、 購 物 排 隊(duì) 、 紅 綠 燈 轉(zhuǎn) 換 等 ， 都可 用 一 類 概 率 模 型 來 描 述 ， 其 涉 及 到 的 知目 前 , 概 率 統(tǒng) 計(jì) 理 論 進(jìn) 入 其 他 自 然 科 學(xué)裝 卸 、 機(jī) 器 維 修 、 病 人 候 診 、 存 貨 控 制 、8. 在 生 物 學(xué) 中 研 究 群 體 的 增 長 問 題 時(shí)了 提 出 了 生 滅 型 隨 機(jī) 模 型 ， 傳 染 病 流行 問 題 要 用 到 多 變 量 非 線 性 生 滅 過 程 9. 許 多 服 務(wù) 系 統(tǒng) ， 如 電 話 通 信 、 船 舶識(shí) 就 是 排 隊(duì) 論 領(lǐng) 域 , 特 別 是 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 中 研 究 最 優(yōu) 決 策 和 經(jīng)濟(jì) 的 穩(wěn) 定 增 長 等 問 題 , 都 大 量 采 用 概 率統(tǒng) 計(jì) 方 法 . 法 國 數(shù) 學(xué) 家 拉 普 拉 斯 (Laplace)說 對(duì) 了 : “ 生 活 中 最 重 要 的 問 題 , 其 中 絕大領(lǐng) 域 的 趨 勢(shì) 還 在 不 斷 發(fā) 展 . 在 社 會(huì) 科 學(xué) 領(lǐng)多 數(shù) 在 實(shí) 質(zhì) 上 只 是 概 率 的 問 題 .”英 國 的 邏 輯 學(xué) 家 和 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 家 杰 文 斯 曾對(duì) 概 率 論 大 加 贊 美 ： “ 概 率 論 是 生 活 真 正的 領(lǐng) 路 人 , 如 果 沒 有 對(duì) 概 率 的 某 種 估 計(jì) , 那么 我 們 就 寸 步 難 行 , 無 所 作 為 ” . 得 分 問 題 甲 、 乙 兩 人 各 出 同 樣 的 賭 注 ， 用 擲硬 幣 作 為 博 奕 手 段 . 每 擲 一 次 ， 若 正 面 朝上 ， 甲 得 1 分 乙 不 得 分 . 反 之 ， 乙 得 1分 ，甲 不 得 分 . 誰 先 得 到 規(guī) 定 分 數(shù) 就 贏 得 全 部賭 注 . 當(dāng) 進(jìn) 行 到 甲 還 差 2分 乙 還 差 3分 ， 就分 別 達(dá) 到 規(guī) 定 分 數(shù) 時(shí) ， 發(fā) 生 了 意 外 使 賭局不 能 進(jìn) 行 下 去 ， 問 如 何 公 平 分 配 賭 注 ？ 確 定 性 現(xiàn) 象隨 機(jī) 現(xiàn) 象 在 相 同 的 條 件 下 進(jìn) 行 大 量 觀 察 或 試驗(yàn) 時(shí) ， 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 有 一 定 的 規(guī) 律 性 稱 之 為 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 性 第 一 章 隨 機(jī) 事 件 及 其 概 率大 量 重 復(fù) 試 驗(yàn) 中 , 其 結(jié)果 有 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 性 的 現(xiàn) 象 1.1 隨 機(jī) 試 驗(yàn)對(duì) 某 事 物 特 征 進(jìn) 行 觀 察 , 統(tǒng) 稱 試 驗(yàn) .若 它 有 如 下 特 點(diǎn) ,則 稱 為 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 基 本 術(shù) 語 q 試 驗(yàn) 結(jié) 果 不 止 一 個(gè) ,但 能 明 確 所 有 結(jié) 果q 試 驗(yàn) 前 不 能 預(yù) 知 出 現(xiàn) 哪 種 結(jié) 果q 可 在 相 同 的 條 件 下 重 復(fù) 進(jìn) 行隨 機(jī) 試 驗(yàn) 用 E 表 示 樣 本 空 間 隨 機(jī) 試 驗(yàn) E 所 有 可 能 的 結(jié) 果樣 本 空 間 的 元 素 , 即 E 的 直 接 結(jié) 果 , 稱 為隨 機(jī) 事 件 的 子 集 ,記 為 A ,B ,它 是 滿 足 某 些 條 件 的 樣 本 點(diǎn) 所 組 成 的 集 合 .組 成 的 集 合 稱 為 樣 本 空 間 ， 記 為 樣 本 點(diǎn) (or基 本 事 件 )， 常 記 為 ， = 1.2 樣 本 空 間 、 隨 機(jī) 事 件 ,3,2,1,02 N ),( 213 TyxTyx 其 中 T1,T2 是 該 地 區(qū) 的 最 低 與 最 高 溫 度:3E 觀 察 某 地 區(qū) 每 天 最 低 與 最 高 溫 度:2E 觀 察 總 機(jī) 9 10點(diǎn) 接 到 的 電 話 次 數(shù)有 限 樣 本 空 間無 限 樣 本 空 間:1E 投 一 枚 硬 幣 3次 , 觀 察 正 面 出 現(xiàn) 的 次 數(shù)3,2,1,01 例 1 給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間 基 本 事 件 僅 由 一 個(gè) 樣 本 點(diǎn) 組 成 的 子 集它 是 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 直 接 結(jié) 果 ,每 次 試 驗(yàn) 必 定 發(fā)生 且 只 可 能 發(fā) 生 一 個(gè) 基 本 事 件 .必 然 事 件 全 體 樣 本 點(diǎn) 組 成 的 事 件 ,記 為 , 每 次 試 驗(yàn) 必 定 發(fā) 生 的 事 件 .隨 機(jī) 事 件 發(fā) 生 組 成 隨 機(jī) 事 件 的 一 個(gè) 樣本 點(diǎn) 發(fā) 生不 可 能 事 件 不 包 含 任 何 樣 本 點(diǎn) 的 事 件 ,記 為 ,每 次 試 驗(yàn) 必 定 不 發(fā) 生 的 事 件 . A 隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算雷同集合的關(guān)系和運(yùn)算 事 件 的 關(guān) 系 和 運(yùn) 算文 氏 圖 ( Venn diagram ) A 包 含 于 BBA 事 件 A 發(fā) 生 必導(dǎo) 致 事 件 B 發(fā) 生 A B BA BA AB且1. 事 件 的 包 含2. 事 件 的 相 等 BA 或 BA BAA B事 件 A與 事 件 B 至 少 有 一 個(gè) 發(fā) 生BA 發(fā) 生 nAAA , 21 的 和 事 件 ni iA1 , 21 nAAA 的 和 事 件 1i iA A 與 B 的 和 事 件 3. 事 件 的 并 (和 ) BA 或 AB事 件 A與 事 件 B 同 時(shí) 發(fā) 生BA 發(fā) 生nAAA , 21 的 積 事 件 ni iA1 , 21 nAAA 的 積 事 件 A 與 B 的 積 事 件 1i iA BA B A4. 事 件 的 交 (積 ) BA BA 發(fā) 生 事 件 A 發(fā) 生 ， 但 事 件 B 不 發(fā) 生 BA B A A 與 B 的 差 事 件5. 事 件 的 差 A 與 B 互 斥AB A、 B不 可 能 同時(shí) 發(fā) 生 A BnAAA , 21 兩 兩 互 斥 , 21 nAAA 兩 兩 互 斥 njijiAA ji ,2,1, ,2,1, jijiAA ji6. 事 件 的 互 斥 (互 不 相 容 ) A 與 B 互 相 對(duì) 立 BAAB ,每 次 試 驗(yàn) A、 B中有 且 只 有 一 個(gè) 發(fā) 生 ABAB稱 B 為 A的 對(duì) 立 事 件 (or 逆 事 件 )，記 為注意：“A 與B 互相對(duì)立”與“A 與B 互斥”是不同的概念7. 事 件 的 對(duì) 立 A 8. 完 備 事 件 組 ni iA1nAAA , 21 若 兩 兩 互 斥 ， 且nAAA , 21 則 稱 為 完 備 事 件 組 1A nA 1nA2A 3A nAAA , 21 或 稱 為 的 一 個(gè) 劃 分 q 吸 收 律 AABA AAA )( ABAAA AA )(q 冪 等 律 AAA AAA q 差 化 積 )(ABABABA q 重 余 律 AA運(yùn) 算 律 對(duì) 應(yīng)事 件運(yùn) 算 集 合運(yùn) 算 q 交 換 律 ABBA BAABq 結(jié) 合 律 )()( CBACBA )()( BCACAB q 分 配 律 )()()( CBCACBA )()( CABABCA BABA BAAB ni ini i AA 11 ni ini i AA 11 q 反 演 律運(yùn) 算 順 序 ： 逆 交 并 差 ， 括 號(hào) 優(yōu) 先 B CA )(BCABA C 分 配 律 圖 示 )( CABA A B)( BA B ABABA )(紅 色區(qū) 域黃 色區(qū) 域交例 2 用 圖 示 法 簡(jiǎn) 化 .)( BABA AB AA )( BA 例 3 化 簡(jiǎn) 事 件 ACCBA )( 解 原 式 ACCBA ACCBCA CBA ACCBA ACCBA )( CBCCA )( CBA 例 4 利 用 事 件 關(guān) 系 和 運(yùn) 算 表 達(dá) 多 個(gè) 事 件 的 關(guān) 系A(chǔ) ,B ,C 都 不 發(fā) 生 CBA CBA A ,B ,C 不 都 發(fā) 生 CBA ABC 例 5 在 圖 書 館 中 隨 意 抽 取 一 本 書 ，A表 示 數(shù) 學(xué) 書 ，B表 示 中 文 書 ，C表 示 平 裝 書 . 抽 取 的 是 精 裝 中 文 版 數(shù) 學(xué) 書CABBC 精 裝 書 都 是 中 文 書 BA 非 數(shù) 學(xué) 書 都 是 中 文 版 的 ， 且中 文 版 的 書 都 是 非 數(shù) 學(xué) 書則 事 件 題一 在 一 次 乒 乓 球 比 賽 中 設(shè) 立 獎(jiǎng) 金 1千元 .比 賽 規(guī) 定 誰 先 勝 了 三 盤 ,誰 獲 得 全 部獎(jiǎng) 金 .設(shè) 甲 ,乙 二 人 的 球 技 相 等 ,現(xiàn) 已 打 了3盤 , 甲 兩 勝 一 負(fù) , 由 于 某 種 特 殊 的 原 因必 須 中 止 比 賽 .問 這 1000元 應(yīng) 如 何 分 配才 算 公 平 ? 第 1 周 問 題