2018年全國高考理科數(shù)學(xué)全國一卷試題及答案

2018年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國一卷）理科數(shù)學(xué) 一、選擇題：（本題有12小題，每小題5分，共60分。）1、設(shè)z=，則z=（ ）A.0 B. 12 C.1 D. 22、已知集合A=x|x2-x-2>0，則CRA =（ ）A、x|-1<x<2 B、x|-1x2C、x|x<-1x|x>2 D、x|x-1x|x 23、某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是（ ）A. 新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B. 新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4、記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3 = S2+ S4，a1 =2，則a5 =（ ）A、-12 B、-10 C、10 D、125、設(shè)函數(shù)f（x）=x+（a-1）x+ax .若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y= f（x）在點（0，0）處的切線方程為（ ）A.y= -2xB.y= -x C.y=2x D.y=x6、在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB=（ ）A. 34 AB - 14 AC B. 14 AB - 34 AC C. 34 AB + 14 AC D. 14 AB + 34 AC 7、某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（ ）A. 217 B. 25C. 3 D. 28.設(shè)拋物線C：y=4x的焦點為F，過點（-2，0）且斜率為23的直線與C交于M，N兩點，則FM FN =( ) A.5 B.6 C.7 D.89.已知函數(shù)f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是( ) A. -1，0） B. 0，+） C. -1，+） D. 1，+）10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC. ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為。在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則( )A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p311.已知雙曲線C： x23 - y=1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N. 若OMN為直角三角形，則MN=( ) A. 32 B.3 C. D.412.已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面 所成的角都相等，則 截此正方體所得截面面積的最大值為（ ） A. B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若x，y滿足約束條件則z=3x+2y的最大值為 .14.記Sn為數(shù)列an的前n項和. 若Sn = 2an+1，則S6= .15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種.（用數(shù)字填寫答案）16.已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是 .三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）在平面四邊形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.（1）求cosADB；（2）若DC =，求BC.18.（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達(dá)點P的位置，且PFBF .（1）證明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.19.（12分）設(shè)橢圓C： x22 + y=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為（2，0）.（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：OMA =OMB.20、（12分）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P （0<P<1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立。（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（P），求f（P）的最大值點。（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為P的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？21、（12分）已知函數(shù).（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個極值點x1 , x2 , 證明： .（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為y=kx+2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 +2cos -3=0.（1） 求C的直角坐標(biāo)方程:（2） 若C與C有且僅有三個公共點，求C的方程.23. 選修4-5：不等式選講（10分）已知f（x）=x+1-ax-1.（1） 當(dāng)a=1時，求不等式f（x）1的解集；（2） 若x（0，1）時不等式f（x）x成立，求a的取值范圍.絕密啟用前 2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1C 2B 3A 4B 5D 6A7B 8D 9C10A11B12A二、填空題13141516三、解答題17解：（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以.由題設(shè)知， 所以.（2）由題設(shè)及（1）知，. 在中，由余弦定理得所以.18解：（1）由已知可得，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）作，垂足為. 由（1）得，平面.以為坐標(biāo)原點，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由（1）可得，. 又，所以. 又，故.可得，.則，, ，為平面的法向量. 設(shè)與平面所成角為，則 .所以與平面所成角的正弦值為.19解：（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為或.（2）當(dāng)l與x軸重合時，.當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為，則，直線MA，MB的斜率之和為.由，得. 將代入得.所以，.則.從而，故MA，MB的傾斜角互補. 所以.綜上，. 20解：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為. 因此 .令，得. 當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的最大值點為.（2）由（1）知，. （）令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，即.所以.（）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元. 由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.21解：（1）的定義域為，.（）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減.（）若，令得，或. 當(dāng)時，；當(dāng)時，. 所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個極值點，滿足，所以，不妨設(shè)，則. 由于，所以等價于.設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，.所以，即. 22解：（1）由，得的直角坐標(biāo)方程為 . （2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓.由題設(shè)知，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線. 記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為. 由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點.當(dāng)與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或. 經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點；當(dāng)時，與只有一個公共點，與有兩個公共點.當(dāng)與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或. 經(jīng)檢驗，當(dāng)時，與沒有公共點；當(dāng)時，與沒有公共點.綜上，所求的方程為.23解：（1）當(dāng)時，即故不等式的解集為.（2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立.若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故.綜上，的取值范圍為.