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《數(shù)學(xué)模型》淋雨模型-數(shù)學(xué)模型淋雨模型

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《數(shù)學(xué)模型》淋雨模型-數(shù)學(xué)模型淋雨模型

淋 雨 量 模 型 要 在 雨 中 從 一 處 沿 直 線 跑 到 另 一 處 , 若 雨 速 為 常數(shù) 且 方 向 不 變 , 試 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 討 論 是 否 跑 得 越 快淋 雨 量 越 少 。 將 人 體 簡(jiǎn) 化 成 一 個(gè) 長(zhǎng) 方 體 , 高 a=1.5m( 頸 部 以下 ) , 寬 b=0.5m, 厚 c=0.2m, 設(shè) 跑 步 的 距 離d=1000m, 跑 步 的 最 大 速 度 vm=5m/s, 雨 速 u=4m/s,降 雨 量 =2cm/h, 及 跑 步 速 度 為 v, 情 形 1、 不 考 慮 雨 的 方 向 , 設(shè) 降 雨 淋 遍 全 身 , 以最 大 速 度 跑 步 , 估 計(jì) 跑 完 全 程 的 總 淋 雨 量 ;問 題提 出問 題分 析 情 形 2、 雨 從 迎 面 吹 來(lái) , 雨 線 與 跑 步 方向 在 同 一 平 面 內(nèi) , 且 與 人 體 的 夾 角 為 ,如 圖 1.建 立 總 淋 雨 量 與 速 度 v及 參 數(shù) a, b,c, d, u, , 之 間 的 關(guān) 系 , 問 速 度 v多大 , 總 淋 雨 里 最 少 。 計(jì) 算 =0, =30 的總 淋 雨 量 . 情 形 3、 雨 從 背 面 吹 來(lái) , 雨 線 方 向 跑 步 方向 在 同 一 平 面 內(nèi) , 且 與 人 體 的 夾 角 為 ,如 圖 2.建 立 總 淋 雨 量 與 速 度 v及 參 數(shù) a, b,c, d, u, , 之 間 的 關(guān) 系 , 問 速 度 v多 大 ,總 淋 雨 量 最 小 。 計(jì) 算 =30 的 總 淋 雨 量 . 淋 雨 量 是 指 人 在 雨 中 行 走 時(shí) 全 身 所 接 收 到 得雨 的 體 積 , 可 表 示 為 單 位 時(shí) 間 單 位 面 積 上 淋 雨 的 多少 與 接 收 雨 的 面 積 和 淋 雨 時(shí) 間 的 乘 積 ???得 : 淋 雨 量 ( V) =降 雨 量 ( ) 人 體 淋 雨 面 積 ( S) 淋 浴 時(shí) 間 ( t) 時(shí) 間 ( t) =跑 步 距 離 ( d) 人 跑 步 速 度 ( v) 由 得 : 淋 雨 量 ( V) = S d/v ( 1) 、 將 人 體 簡(jiǎn) 化 成 一 個(gè) 長(zhǎng) 方 體 , 高 a=1.5m( 頸 部 以下 ) , 寬 b=0.5m, 厚 c=0.2m.設(shè) 跑 步 距 離 d=1000m, 跑 步 最大 速 度 vm=5m/s, 雨 速 u=4m/s, 降 雨 量 =2cm/h, 記 跑 步 速度 為 v; ( 2) 、 假 設(shè) 降 雨 量 到 一 定 時(shí) 間 時(shí) , 應(yīng) 為 定 值 ; ( 3) 、 此 人 在 雨 中 跑 步 應(yīng) 為 直 線 跑 步 ; ( 4) 、 降 雨 地 區(qū) 是 地 面 是 平 面 且 不 考 慮 分 的 因 素 ; ( 5) 、 降 雨 時(shí) , 雨 在 空 中 是 均 勻 分 布 的 。模 型假 設(shè) 情 形 1建 立 及 求 解 : 設(shè) 不 考 慮 雨 的 方 向 , 降 雨 淋 遍 全 身 , 則 淋 雨 面 積 : S 2ab+2ac+bc 雨 中 奔 跑 所 用 時(shí) 間 為 : t=d/v 總 降 雨 量 V S d/v 2cm/h=2 10-2/3600 (m/s) 將 相 關(guān) 數(shù) 據(jù) 代 入 模 型 中 , 可 解 得 : S 2.2( ) V 0.00244446 (cm)=2.44446 (L)模 型建 立求 解 情 形 2建 立 及 求 解 : 若 雨 從 迎 面 吹 來(lái) , 雨 線 與 跑 步 方 向 在 同 一 平 面內(nèi) , 且 與 人 體 的 夾 角 為 ., 則 淋 雨 量 只 有 兩 部 分 :頂 部 淋 雨 量 和 前 部 淋 雨 量 . ( 如 圖 1) 設(shè) 雨 從 迎 面 吹來(lái) 時(shí) 與 人 體 夾 角 為 . , 且 0 90 , 建 立 a, b, c,d, u, , 之 間 的 關(guān) 系 為 :( 1) 、 考 慮 前 部 淋 雨 量 : ( 由 圖 可 知 ) 雨 速 的 水平 分 量 為 且 方 向 與 v相 反 , 故 人 相 對(duì) 于 雨 的水 平 速 度 為 : 則 前 部 單 位 時(shí) 間 單 位 面 積 淋 雨 量 為 : 又 因 為 前 部 的 淋 雨 面 積 為 : , 時(shí) 間 為 : d/v 于 是 前 部 淋 雨 量 V2為 : 即 : sinu vsinu u/vsinu )( ba v/du/vsinuV2 ba vu/vsinuaV2 db ( 2) 、 考 慮 頂 部 淋 雨 量 : ( 由 圖 可 知 ) 雨 速 在 垂 直 方向 只 有 向 下 的 分 量 , 且 與 v無(wú) 關(guān) , 所 以 頂 部 單 位 時(shí) 間 單 位面 積 淋 雨 量 為 , 頂 部 面 積 為 , 淋 雨 時(shí) 間為 , 于 是 頂 部 淋 雨 量 為 : 由 可 算 得 總 淋 雨 量 : cos cb v/d v/cosbV1 dc vu/vsinuav/coscbVVV 21 dbd代 入 數(shù) 據(jù) 求 得 : 由 V( v)函 數(shù) 可 知 : 總 淋 雨 量 ( V) 與 人 跑 步 的 速 度( v) 以 及 雨 線 與 人 的 夾 角 ( ) 兩 者 有 關(guān) 。v1800 v875.1sin5.7cosV 對(duì) 函 數(shù) V( v) 求 導(dǎo) , 得 : 顯 然 : 0對(duì) 式 求 導(dǎo) , 易 知 u sin時(shí) , 且 0 90 , 對(duì) 式 求 導(dǎo) , 解 得 : ( )、 當(dāng) 1.5sin 0.2 cos0時(shí) , 即 : tan2/15,即 V0時(shí) , 即 : tan2/15,即 V0;從 而 推 出 , 總 淋 雨 量 ( V) 隨 著 速 度 ( v) 的 增 加 而 增 加 ,所 以 , 當(dāng) 速 度 ( v) 取 最 小 ,即 v=u sin 總 淋 雨 量 最 小 。 當(dāng) 30 , tan2/15 , 由 模 型 分 析 的 , 當(dāng) v=u sin=4 1/2=2( m/s)總 淋 雨 量 最 小 , 且 V=0.0002405( m) =0.2405(L)2v180 cos2.0sin5.1V )( ( 1) 在 該 模 型 中 考 慮 到 雨 的 方 向 問 題 , 這 個(gè) 模 型 跟 模 型二 相 似 , 將 模 型 二 與 模 型 三 綜 合 起 來(lái) 跟 實(shí) 際 的 生 活 就 差 不多 很 相 似 了 。 由 這 三 個(gè) 模 型 可 以 得 出 在 一 定 的 速 度 下 人跑 的 越 快 淋 雨 量 就 越 少 。 ( 2) 若 雨 迎 面 吹 來(lái) 時(shí) , 跑 得 越 快 越 好 ( 3) 若 雨 從 背 面 吹 來(lái) 時(shí) , 分 為 兩 種 情 況 : 當(dāng) tanc/a時(shí) , 跑 步 速 度 v=u sin時(shí) V最 小 ; 當(dāng) tanc/a時(shí) , 跑 得 越 快 越 好 。模 型解 釋

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