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高考數(shù)學二輪專題復習與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點12 立體幾何中的向量方法專題限時集訓 理-人教版高三數(shù)學試題

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高考數(shù)學二輪專題復習與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點12 立體幾何中的向量方法專題限時集訓 理-人教版高三數(shù)學試題

專題限時集訓(十二)立體幾何中的向量方法 建議用時:45分鐘1(2016·北京高考)如圖12­10,在四棱錐P­ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD.圖12­10(1)求證:PD平面PAB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由解(1)證明:因為平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.2分又因為PAPD,所以PD平面PAB.4分(2)取AD的中點O,連接PO,CO.因為PAPD,所以POAD.又因為PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因為CO平面ABCD,所以POCO.因為ACCD,所以COAD.5分如圖,建立空間直角坐標系O­xyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).6分設平面PCD的法向量為n(x,y,z),則即令z2,則x1,y2.所以n(1,2,2).8分又(1,1,1),所以cosn,.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.10分(3)設M是棱PA上一點,則存在0,1使得.11分因此點M(0,1,),(1,).12分因為BM平面PCD,所以要使BM平面PCD當且僅當·n0,即(1,)·(1,2,2)0.解得.所以在棱PA上存在點M使得BM平面PCD,此時.14分2(2016·四川高考)如圖12­11,在四棱錐P­ABCD中,ADBC,ADCPAB90°,BCCDAD,E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.圖12­11(1)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM平面PBE,并說明理由;(2)若二面角P­CD­A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值. 【導學號:67722045】解(1)在梯形ABCD中,AB與CD不平行如圖(1),延長AB,DC,相交于點M(M平面PAB),點M即為所求的一個點.2分(1)理由如下:由已知,知BCED,且BCED,所以四邊形BCDE是平行四邊形,從而CMEB.4分又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.6分(說明:延長AP至點N,使得APPN,則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)法一:由已知,CDPA,CDAD,PAADA,所以CD平面PAD,從而CDPD,所以PDA是二面角P­CD­A的平面角,所以PDA45°.7分設BC1,則在RtPAD中,PAAD2.如圖(1),過點A作AHCE,交CE的延長線于點H,連接PH,易知PA平面ABCD,從而PACE,于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.9分過A作AQPH于Q,則AQ平面PCE,所以APH是PA與平面PCE所成的角在RtAEH中,AEH45°,AE1,所以AH.在RtPAH中,PH,所以sinAPH.12分法二:由已知,CDPA,CDAD,PAADA,所以CD平面PAD,于是CDPD.從而PDA是二面角P­CD­A的平面角,所以PDA45°.又PAAB,所以PA平面ABCD.7分設BC1,則在RtPAD中,PAAD2,作Ay平面PAD,以A為原點,以,的方向分別為x軸、z軸的正方向,建立如圖(2)所示的空間直角坐標系A­xyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),(2)所以(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2).9分設平面PCE的法向量為n(x,y,z),由得設x2,解得n(2,2,1).10分設直線PA與平面PCE所成角為,則sin ,所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.12分3(2016·泰安模擬)在平面四邊形ACBD(如圖12­12(1)中,ABC與ABD均為直角三角形且有公共斜邊AB,設AB2,BAD30°,BAC45°,將ABC沿AB折起,構成如圖12­12(2)所示的三棱錐C­ABD,且使CD.(1)(2)圖12­12(1)求證:平面CAB平面DAB;(2)求二面角A­CD­B的余弦值 【導學號:67722046】解(1)證明:取AB的中點O,連接CO,DO,在RtACB,RtADB中,AB2,CODO1.又CD,CO2DO2CD2,即COOD.2分又COAB,ABODO,AB,OD平面ABD,CO平面ABD.4分又CO平面ABC,平面CAB平面DAB.5分(2)以O為原點,AB,OC所在的直線分別為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系則A(0,1,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D,(0,1,1),(0,1,1),.6分設平面ACD的法向量為n1(x1,y1,z1),則即令z11,則y11,x1,n1(,1,1).8分設平面BCD的法向量為n2(x2,y2,z2),則即令z21,則y21, x2,n2,10分cosn1,n2,二面角A­CD­B的余弦值為.12分4(2016·鄭州二模)如圖12­13,在梯形ABCD中,ABCD,ADDCCB1,BCD120°,四邊形BFED為矩形,平面BFED平面ABCD,BF1.圖12­13(1)求證:AD平面BFED;(2)點P在線段EF上運動,設平面PAB與平面ADE所成銳二面角為,試求的最小值解(1)證明:在梯形ABCD中,ABCD,ADDCCB1,BCD120°,AB2.BD2AB2AD22AB·AD·cos 60°3.2分AB2AD2BD2,ADBD.平面BFED平面ABCD,平面BFED平面ABCDBD,DE平面BFED,DEDB,DE平面ABCD,4分DEAD,又DEBDD,AD平面BFED.6分(2)由(1)可建立以直線DA,DB,DE為x軸、y軸、z軸的如圖所示的空間直角坐標系,令EP(0),則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,0),P(0,1),(1,0),(0,1).8分設n1(x,y,z)為平面PAB的法向量,由得取y1,則n1(,1,)n2(0,1,0)是平面ADE的一個法向量,cos .0,當時,cos 有最大值,的最小值為.12分

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