（統(tǒng)考版）高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓10 數(shù)列（含解析）（理）-人教版高三數(shù)學試題

專題限時集訓(十)數(shù)列1(2018·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a17，S315.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)設an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以當n4時，Sn取得最小值，最小值為16.2(2020·全國卷)設an是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(1)求an的公比；(2)若a11，求數(shù)列nan的前n項和解(1)設an的公比為q，由題設得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q1(舍去)或q2.故an的公比為2.(2)記Sn為nan的前n項和由(1)及題設可得，an(2)n1.所以Sn12×(2)n×(2)n1，2Sn22×(2)2(n1)×(2)n1n×(2)n.可得3Sn1(2)(2)2(2)n1n×(2)nn×(2)n.所以Sn.3(2019·全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式解(1)證明：由題設得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公比為的等比數(shù)列由題設得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.4(2016·全國卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項和解(1)設an的公差為d，據已知有721d28，解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因為bn所以數(shù)列bn的前1 000項和為1×902×9003×11 893.1(2020·安陽模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，正項等比數(shù)列bn的前n項和為Tn.若a1b13，a2b214，a3b334.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和解(1)設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q>0)，由a1b13，a2b214，a3b334，得a2b23d3q14，a3b332d3q234，解得：d2，q3.an32(n1)2n1，bn3n.(2)anbn(2n1)3n，anbn的前n項和為(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)n(n2).2(2020·濰坊模擬)已知等比數(shù)列an的首項a12，且a2，a32，a4成等差數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)若bnlog2an，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)等比數(shù)列an的首項a12，公比設為q，a2，a32，a4成等差數(shù)列，可得a2a42(a32)，即有2q2q32(2q22)，解得q2.則ana1qn12n.(2)bnlog2anlog22n n，則，前n項和Tn11.3(2020·吉林二模)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a23，S60.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求使不等式Sn>an成立的n的最小值解(1)設等差數(shù)列an的公差為d，a23，S60，a1d3,6a115d0.解得a15，d2.an52(n1)2n7.(2)不等式Sn>an，即5n×2>2n7，等價于(n1)(n7)>0，解得n>7.使不等式Sn>an成立的n的最小值為8.4(2020·淄博模擬)已知數(shù)列an滿足a1，且an(n2，nN*)(1)求證：數(shù)列2nan是等差數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解(1)證明：當n2時，由an，兩邊同時乘以2n，可得2nan2n1an12，即2nan2n1an12(n2)21a12×3，數(shù)列2nan是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列2nan32(n1)2n1，an，nN*.(2)由(1)可知，Sna1a2an，Sn，兩式相減，可得：Sn，Sn5.1已知數(shù)列an的前n項和Snn22kn(kN*)，Sn的最小值為9.(1)確定k的值，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn(1)n·an，求數(shù)列bn的前2n1項和T2n1.解(1)由已知得Snn22kn(nk)2k2，因為kN*，則當nk時，(Sn)mink29，故k3.所以Snn26n.因為Sn1(n1)26(n1)(n2)，所以anSnSn1(n26n)(n1)26(n1)2n7(n2)當n1時，S1a15，滿足an2n7，綜上，an2n7.(2)依題意，得bn(1)n·an(1)n(2n7)，則T2n1531135(1)2n(4n7)(1)2n12(2n1)752n.2已知數(shù)列an，bn滿足a11，b1，2an1anbn,2bn1anbn.(1)證明：數(shù)列anbn，anbn為等比數(shù)列；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，證明：Sn.解(1)依題意得兩式相加得：an1bn1(anbn)，anbn為等比數(shù)列，兩式相減得：an1bn1(anbn)，anbn為等比數(shù)列(2)由(1)可得：anbn，anbn，兩式相加得：an，Sn.3設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S12，an1Sn2.(1)證明：an為等比數(shù)列； (2)記bnlog2an，數(shù)列的前n項和為Tn，若Tn10恒成立，求的取值范圍解(1)證明由已知，得a1S12，a2S124，當n2時，anSn12，所以an1an(Sn2)(Sn12)an，所以an12an(n2)又a22a1，所以2(nN*)，所以an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)可得an2n，所以bnn.則，Tn，因為Tn10，所以10，從而，因為1020，所以的取值范圍為20，)4已知數(shù)列an的各項都為正數(shù)，a12，且1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bnlg(log2an)，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991，求數(shù)列bn的前2 020項和解(1)由題意，1，即aan1an2a0，整理，得(an1an)(an12an)0.數(shù)列an的各項都為正數(shù)，an12an0，即an12an.數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an2n.(2)由(1)知，bnlg(log2an)lg(log22n) lg n，故bn nN*.數(shù)列bn的前2 020項的和為1×902×9003×1 0214 953.