高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)12 專題4 突破點12 立體幾何中的向量方法 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

專題限時集訓(xùn)(十二)立體幾何中的向量方法建議用時：45分鐘1(2016·北京高考)如圖12­9，在四棱錐P­ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.圖12­9 (1)求證：PD平面PAB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由解(1)證明：因為平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.2分又因為PAPD，所以PD平面PAB.4分(2)取AD的中點O，連接PO，CO.因為PAPD，所以POAD.又因為PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因為CO平面ABCD，所以POCO.因為ACCD，所以COAD.5分如圖，建立空間直角坐標系O­xyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1).6分設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1，y2.所以n(1，2,2).8分又(1,1，1)，所以cosn，.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.10分(3)設(shè)M是棱PA上一點，則存在0,1使得.11分因此點M(0,1，)，(1，).12分因為BM平面PCD，所以要使BM平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)·n0，即(1，)·(1，2,2)0.解得.所以在棱PA上存在點M使得BM平面PCD，此時.14分2(2016·四川高考)如圖12­10，在四棱錐P­ABCD中，ADBC，ADCPAB90°，BCCDAD，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.圖12­10(1)在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(2)若二面角P­CD­A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：85952045】 解(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行如圖(1)，延長AB，DC，相交于點M(M平面PAB)，點M即為所求的一個點.2分(1)理由如下：由已知，知BCED，且BCED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，從而CMEB.4分又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.6分(說明：延長AP至點N，使得APPN，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)法一：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，從而CDPD，所以PDA是二面角P­CD­A的平面角，所以PDA45°.7分設(shè)BC1，則在RtPAD中，PAAD2.如圖(1)，過點A作AHCE，交CE的延長線于點H，連接PH，易知PA平面ABCD，從而PACE，于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.9分過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE，所以APH是PA與平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45°，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.12分法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于是CDPD.從而PDA是二面角P­CD­A的平面角，所以PDA45°.又PAAB，所以PA平面ABCD.7分(2)設(shè)BC1，則在RtPAD中，PAAD2，作Ay平面PAD，以A為原點，以，的方向分別為x軸、z軸的正方向，建立如圖(2)所示的空間直角坐標系A(chǔ)­xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2).9分設(shè)平面PCE的法向量為n(x，y，z)，由得設(shè)x2，解得n(2，2,1).10分設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin ，所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.12分3(2016·石家莊一模)在平面四邊形ACBD(如圖12­11(1)中，ABC與ABD均為直角三角形且有公共斜邊AB，設(shè)AB2，BAD30°，BAC45°，將ABC沿AB折起，構(gòu)成如圖12­11(2)所示的三棱錐C­ABD，且使CD.(1)(2)圖12­11(1)求證：平面CAB平面DAB；(2)求二面角A­CD­B的余弦值 【導(dǎo)學(xué)號：85952046】解(1)證明：取AB的中點O，連接CO，DO，在RtACB，RtADB中，AB2，CODO1.又CD，CO2DO2CD2，即COOD.2分又COAB，ABODO，AB，OD平面ABD，CO平面ABD.4分又CO平面ABC，平面CAB平面DAB.5分(2)以O(shè)為原點，AB，OC所在的直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D，(0,1,1)，(0，1,1)，.6分設(shè)平面ACD的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令z11，則y11，x1，n1(，1,1).8分設(shè)平面BCD的法向量為n2(x2，y2，z2)，則即令z21，則y21, x2，n2，10分cosn1，n2，二面角A­CD­B的余弦值為.12分4(2016·鄭州二模)如圖12­12，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.圖12­12(1)求證：AD平面BFED；(2)點P在線段EF上運動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為，試求的最小值解(1)證明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120°，AB2.BD2AB2AD22AB·AD·cos 60°3.2分AB2AD2BD2，ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，4分DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.6分(2)由(1)可建立以直線DA，DB，DE為x軸、y軸、z軸的如圖所示的空間直角坐標系，令EP(0)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1).8分設(shè)n1(x，y，z)為平面PAB的法向量，由得取y1，則n1(，1，)n2(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，cos .0，當(dāng)時，cos 有最大值，的最小值為.12分