2019-2020年高一數(shù)學(xué) 2.4反函數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高一數(shù)學(xué) 2.4反函數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修一、反函數(shù)的學(xué)習(xí)因反函數(shù)是函數(shù)知識(shí)中重要的一部分內(nèi)容，我們?nèi)裟軓暮瘮?shù)的角度去理解反函數(shù)的概念，則一定能從中發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的本質(zhì)，并能順利地應(yīng)用函數(shù)與其反函數(shù)間的關(guān)系去解決相關(guān)問(wèn)題.1.明確“函數(shù)與反函數(shù)”的關(guān)系(1)一個(gè)函數(shù)具有反函數(shù)的充要條件是確定這個(gè)函數(shù)的映射是從定義域到值域上的一一映射.(2)對(duì)于任一函數(shù)f(x)不一定有反函數(shù)，如果有反函數(shù)，那么原函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)是互為反函數(shù).(3)原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域.(4)一般的偶函數(shù)不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù).(5)原函數(shù)與其反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是一致的.2.深入學(xué)習(xí)對(duì)“反函數(shù)”的求法例求下列函數(shù)的反函數(shù)(1)y(2)y（1）分析：由于a、B不定，故須分類討論：當(dāng)a0，b0時(shí)，y1，此時(shí)不存在反函數(shù)當(dāng)a0，b0時(shí)，y1（x0），此時(shí)不存在反函數(shù).當(dāng)a0，b0時(shí)，函數(shù)y的值域是yyRy1由y解得：x (a0，y1)當(dāng)a0，b0時(shí)，函數(shù)y的反函數(shù)是：y（x1）評(píng)述：熟練掌握求反函數(shù)的基本步驟是準(zhǔn)確求出函數(shù)的反函數(shù)的必要條件.（2）分析：求分段函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，先在各段求出相應(yīng)的反函數(shù)，再將其合并.解：當(dāng)x0時(shí)，yx22x（x1）21x1x0 yx22x0當(dāng)x0時(shí)，此段函數(shù)的反函數(shù)是y1（x0）當(dāng)x0時(shí)，yx22x（x1）21x1x0，yx22x0當(dāng)x0時(shí)，此段函數(shù)的反函數(shù)是y1（x0）綜上所述：所給函數(shù)的反函數(shù)為y 評(píng)述：(1)在求分段函數(shù)的每一段相應(yīng)的反函數(shù)時(shí),仍嚴(yán)格按照求反函數(shù)的基本步驟進(jìn)行.（2）分段函數(shù)的反函數(shù)被求的過(guò)程，能讓我們體會(huì)到“先分后合”的思想在數(shù)學(xué)中的滲透作用.3.靈活應(yīng)用“反函數(shù)”于解題中例1求函數(shù)y的值域分析：此題除用前面介紹的“分離系數(shù)”法求得其值域外，也可通過(guò)求其反函數(shù)的定義域得到原函數(shù)的值域這一途徑.解：由y 得x有：y（2x5）1xx反函數(shù)為y（xR且x）；因而此函數(shù)y的值域?yàn)閥yRy評(píng)述：求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求其反函數(shù)的定義域，這種方法往往可以使問(wèn)題有“出奇制勝”的效果，它的優(yōu)越性將隨著我們對(duì)知識(shí)的繼續(xù)深入學(xué)習(xí)體現(xiàn)得越發(fā)明顯.例2已知函數(shù)f（x）求f1f（x），ff1（x）.解：由y（x1）可得y（x1）2x1，x反函數(shù)f1（x）（x2）f1f（x）f1（）xf f1（x）f（）x評(píng)述：由上題我們發(fā)現(xiàn)，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)f（x）與f1（x）之間符號(hào)互逆性，即f1f（x）x，f f1（x）x請(qǐng)讀者利用以上結(jié)論試探索：若函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是y（x），且f（m）n（mn0）則（n）等于多少?例3已知函數(shù)yf（x）在定義域（，0內(nèi)存在反函數(shù)，且f（x1）x22x，求f1（）.分析：此題一般思路是：先求出f（x），進(jìn)而求出f1（x），將代入f1（x）中求得f1（）.解：f（x1）x22x（x1）21f（x）x21（x0）當(dāng)x0時(shí)，f（x）x211函數(shù)f（x）的值域?yàn)?，)f（x）x21（x0)得：x（yf（x）得函數(shù)f（x）的反函數(shù)是：y（x1）f1（）評(píng)述：以上解題思路簡(jiǎn)單但運(yùn)算麻煩，若不仔細(xì)認(rèn)真，將會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.如下解法將會(huì)體現(xiàn)一種技能技巧，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化：解：f（x1）x22x（x1）21f（x）x21（x0）當(dāng)x21（x0)時(shí)有：xf1（）評(píng)述：比較以上兩種解法，請(qǐng)讀者自行歸納總結(jié)它們解題過(guò)程繁簡(jiǎn)差別的原因，并試用簡(jiǎn)捷明快的思路解決以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}：已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)是f1（x），求常數(shù)a，b，c值是多少?提示：選取由f1（x）去求f（x）這一優(yōu)秀途徑解決此問(wèn)題.二、參考練習(xí)題1.求下列函數(shù)的反函數(shù)(1)y1 （x1）答案：yx22x2（x（，1）(2)yx1 （x1）答案：y1x （x0，)(3)yx22x3 （x（1，）答案：y1（x（2，）(4)yxx2x答案：y(5)f（x）答案：f1（x）2.解答題(1)已知f（x）f1（x）（xm），求實(shí)數(shù)m？答案：m2提示：利用相同函數(shù)的定義域、值域完全相同這一性質(zhì)，巧妙地結(jié)合互為反函數(shù)的性質(zhì)去解.(2)已知f1f1（x）25x30，則一次函數(shù)的解析式是什么?答案：f（x）1或f（x）x(3)已知f（x）10x22，求f1（8）的值答案：f1（8）3(4)已知函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，則f（4x）的反函數(shù)的圖象一定過(guò)哪個(gè)點(diǎn)?答案：(1，4)(5)已知函數(shù)f（x），它的反函數(shù)是f1（x），求m的值?答案：m2(6)已知函數(shù)f（x）x22x1（x1）的圖象為C1，它的反函數(shù)圖象為C2，請(qǐng)畫出C1，C2并觀察它們之間的位置關(guān)系有何特點(diǎn)?若又有一個(gè)函數(shù)的圖象C3與C2關(guān)于y軸對(duì)稱，求這個(gè)函數(shù)的解析式?參考答案：(圖略)，C1，C2關(guān)于直線yx對(duì)稱，所求函數(shù)的解析式為y（x0)說(shuō)明：本題旨在讓學(xué)生提前思考練習(xí)，為下節(jié)課“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”做準(zhǔn)備.備課資料“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”的應(yīng)用互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象間的關(guān)系是在反函數(shù)定義上進(jìn)行的，而“將圖象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為圖象上任意一點(diǎn)的對(duì)稱”的這種方法在我們解決有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題中大大顯示了它的簡(jiǎn)捷性與技巧性.例1已知函數(shù)f（x）（x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，2)，它的反函數(shù)圖象也過(guò)此點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的解析式.解法一：由y得x當(dāng)x時(shí)，y0函數(shù)f（x）（x）的反函數(shù)是f1（x）（x0）又點(diǎn)(1，2)既在函數(shù)f（x）上，也在函數(shù)f1（x）上有 解得：a3，b7函數(shù)f（x）（x）解法二：由互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系以及點(diǎn)(1，2)關(guān)于直線yx的對(duì)點(diǎn)為(2，1)，可以得到函數(shù)f（x）的圖象還過(guò)點(diǎn)(2，1)得到解得：a3 b7函數(shù)f（x）（x）評(píng)述：比較上述兩種不同解法的區(qū)別：我們發(fā)現(xiàn)解法一思路自然，但過(guò)程較繁，解法二思路敏捷避免了求反函數(shù)這一步，從而減少了運(yùn)算量，但它的掌握需要我們特別熟悉互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系.例2已知函數(shù)f（x），函數(shù)y（x）的圖象與函數(shù)yf1（x1）的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，求（5）的值.分析：此題需要找到（x）才能求出（5）的值.解：yf（x）x1又y2f1（x）1（x0）f1（x1）1又yf1（x1）1x1 y1f1（x1）的反函數(shù)（x）1（x1）（5）1評(píng)述：（1）以上解法是一種通用方法，思路簡(jiǎn)單自然，不失為一種能體現(xiàn)我們?cè)鷮?shí)的基本功和腳踏實(shí)地的學(xué)習(xí)精神的好方法，故應(yīng)引起足夠重視.（2）對(duì)于以上例2，也可以有如下巧解：（x）是f1（x1）的反函數(shù)（5）其實(shí)等于f1（x1）5時(shí)的x值，ff1（x1）f（5）xf（5）11顯然，這種解法給我們以一種恰到好處的感覺(jué).