2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理.doc
2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法,它區(qū)別于數(shù)的乘法這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā),引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義,介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起,這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便,特別是能有效解決線段的垂直等問(wèn)題這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一,對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示,會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題,掌握向量垂直的條件2. 通過(guò)對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用,初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣任務(wù)分析兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別,這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難在學(xué)習(xí)時(shí),要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積,其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定兩向量的數(shù)量積“ab”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”通過(guò)實(shí)例理解abbc與ac的關(guān)系,ab0與a0或b0的關(guān)系,以及(ab)ca(bc)與(ab)ca(bc)的不同教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景如圖40-1所示,一個(gè)力f作用于一個(gè)物體,使該物體發(fā)生了位移s,如何計(jì)算這個(gè)力所做的功由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角,真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力,這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算Wsfcos其中fcos就是f在物體前進(jìn)方向上的分量,也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量問(wèn)題:像功這樣的數(shù)量值,它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定我們能否從中得到啟發(fā),把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢?二、建立模型1. 引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念:已知兩個(gè)非零向量a與b,把數(shù)量abcos叫a與b的數(shù)量積(內(nèi)積),記作ababcos其中是a與b夾角,acos(bcos)叫a在b方向上(b在a方向上)的投影規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為由上述定義可知,兩個(gè)向量與的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)說(shuō)明:向量a與b的夾角是指把a(bǔ),b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角,其中0當(dāng)時(shí),稱a和b垂直,記作ab為方便起見,a與b的夾角記作a,b2. 引導(dǎo)學(xué)生思考討論根據(jù)向量數(shù)量積的定義,可以得出(1)設(shè)e是單位向量,aeacosa,e(2)設(shè)ab是非零向量,則abab0(3)aaa2,于是a.(4)cosa,b.(5)abab(這與實(shí)數(shù)abab不同)三、解釋應(yīng)用例題已知a5,b4,a,b120,求ab解:ababcosa,b54cos12010練習(xí)1. 已知a3,在上的投影為2,求:(1)a(2)a在b上的投影2. 已知:在ABC中,a5,b8,c60,求四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律1. 出示問(wèn)題:從數(shù)學(xué)的角度考慮,我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算,也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律,這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律,你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎?它們成立嗎?為什么?2. 運(yùn)算律及其推導(dǎo)已知:向量a,b,c和R,則(1)abba(交換律)證明:左abcos右(2)(a)b(ab)a(b)(數(shù)乘結(jié)合律)證明:設(shè)a,b夾角為,當(dāng)0時(shí),a與b的夾角為,(a)b(a)bcosabcos(ab);當(dāng)0時(shí),a與b的夾角為(),(a)babcos()ab(cos)abcos(ab);當(dāng)0時(shí),(a)b0b0(ab)總之,(a)b(ab);同理a(b)(ab)(3)(ab)cacbc(乘法對(duì)加法的分配律)證明:如圖40-2,任取一點(diǎn)O,作a,cab(即)在c方向上的投影等于a,b在c方向上的投影的和,即abcosacos1bcos2,cabcosc(acos1bcos2)cacos1cbcos2cacb,(ab)cacbc思考:(1)向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律,即(ab)ca(bc)嗎?(2)向量的數(shù)量積滿足消去律,即如果abcb,那么ac嗎?五、應(yīng)用與深化例題1. 對(duì)實(shí)數(shù)a,b,有(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2類似地,對(duì)任意向量a,b,也有類似結(jié)論嗎?為什么?解:類比完全平方和公式與平方差公式,有(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2其證明是:(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2,(ab)(ab)aaabbabba2b2有類似結(jié)論2. 已知a6,b4,a,b60,求(a2b)(a3b)解:(a2b)(a3b)a23ab2ba6b2a2abcos606b2723. 已知a3,b4,且a與b不共線當(dāng)k為何值時(shí),(akb)(akb)?解:(akb)(akb),即(akb)(akb)0,即a2k2b20,即9k2160,k因此,當(dāng)k時(shí),有(akb)(akb)4. 已知:正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,并且a,b,c,求abc解法1:abc2,abc22解法2:abc2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc112211cos9021 218,abc2練習(xí)1. a4,b3,(2a3b)(2ab)61,求a與b的夾角2. 在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,求六、拓展延伸1. 當(dāng)向量a,b的夾角為銳角時(shí),你能說(shuō)明ab的幾何意義嗎?如圖40-3,ab,即以b在a上射影的長(zhǎng)和的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積(OAOA1)2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型,如圖40-4,試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系3. 三個(gè)單位向量a,b,c有相同終點(diǎn)且abc0,問(wèn):它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形?解法1:如圖40-5,abc1,abc0,abc,(ab)2(c)2,a2b22abc2,2abcosAOC1,cosAOC,AOC120同理BOCAOC120,故AOB,BOC,BOC全等,ABACBC,即該ABC為等邊三角形解法2:如圖40-6,c,a,b,由abc0,即ab1,OADB為菱形又1,AOB120同理AOCBOC120,4. 在ABC中,問(wèn):O點(diǎn)在ABC的什么位置?解:由,即()0,即0,同理,故O是ABC的垂心點(diǎn)評(píng)這篇案例的一個(gè)突出特點(diǎn)是使用類比方法,即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律時(shí),經(jīng)常以實(shí)數(shù)為對(duì)象進(jìn)行類比以物理學(xué)中的力對(duì)物體做功的實(shí)例,引入數(shù)量積的過(guò)程比較自然,學(xué)生容易接受在“拓展延伸”中,較多地展示了向量的綜合應(yīng)用這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體運(yùn)用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問(wèn)題,越來(lái)越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面認(rèn)識(shí)向量并會(huì)使用向量是這一部分的基礎(chǔ),也是重點(diǎn)總之,這篇案例較好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo),同時(shí),關(guān)注類比方法的運(yùn)用,以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高美中不足的是,對(duì)學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺