2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個月知識方法專題訓(xùn)練第一部分知識方法篇專題11數(shù)學(xué)方法第41練配方法與待定系數(shù)法.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個月知識方法專題訓(xùn)練第一部分知識方法篇專題11數(shù)學(xué)方法第41練配方法與待定系數(shù)法題型分析高考展望配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡如何配方,需要我們根據(jù)題目的要求,合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,完全配方配方法是數(shù)學(xué)中化歸思想應(yīng)用的重要方法之一待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知,正確列出等式或方程使用待定系數(shù)法,就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題,通過引入一些待定的系數(shù),轉(zhuǎn)化為方程組來解決,要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解,主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達式,如果具有,就可以用待定系數(shù)法求解例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等,這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達形式,所以都可以用待定系數(shù)法求解題型一配方法例1(1)設(shè)x2,8時,函數(shù)f(x)loga(ax)loga(a2x)(a>0,且a1)的最大值是1,最小值是,則a的值是_(2)函數(shù)ycos 2x2sin x的最大值為_(3)在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知向量(2,2),(4,1),在x軸上取一點P,使有最小值,則P點的坐標是_答案(1)(2)(3)(3,0)解析(1)由題意知f(x)(logax1)(logax2)(logax)2.當f(x)取最小值時,logax,又x2,8,a(0,1)f(x)是關(guān)于logax的二次函數(shù),函數(shù)f(x)的最大值必在x2或x8處取得若(loga2)21,則a2,f(x)取得最小值時,x(2)2,8,舍去若(loga8)21,則a,f(x)取得最小值時,a.(2)ycos 2x2sin x12sin2x2sin x2(sin2xsin x)12(sin x)2212(sin x)2.因為1sin x1,所以當sin x時,y取最大值,最大值為.(3)設(shè)P點坐標為(x,0),則(x2,2),(x4,1),(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21,當x3時,有最小值1,此時點P坐標為(3,0)點評配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方式(ab)2a22abb2,具體操作時通過加上一次項系數(shù)一半的平方,配湊成完全平方式,注意要減去所添的項,最常見的配方是進行恒等變形,使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方它主要適用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題如:yx2bxcx22x()2()2c(x)2,yax2bxca(x2x)cax22x()2()2ca(x)2.變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)f(x)m的定義域為a,b,值域為a,b,則實數(shù)m的取值范圍是_(2)已知函數(shù)ysin2xasin x的最大值為2,則a的值為_(3)已知向量a(2,2cos2),b(m,sin ),其中,m,為實數(shù),若a2b,則的取值范圍是_答案(1)<m2(2)2或(3)6,1解析(1)易知f(x)m在a,b上單調(diào)遞減,因為函數(shù)f(x)的值域為a,b,所以即兩式相減得,ab(a3)(b3)()2()2,所以1,因為a<b,所以0,而maa1,所以m(a3)2()2,又0,所以m2.(2)令tsin x,t1,1,所以y(t)2(a2a2),對稱軸為t.當11,即2a2時,ymax(a2a2)2,得a2或a3(舍去)當>1,即a>2時,函數(shù)y(t)2(a2a2)在1,1上單調(diào)遞增,所以由ymax1aa2,得a.當<1,即a<2時,函數(shù)y(t)2(a2a2)在1,1上單調(diào)遞減,所以由ymax1aa2,得a2(舍去)綜上,可得a2或a.(3)由題意知,2b(2m,m2sin ),所以22m,且2cos2m2sin ,于是222cos224sin ,即222sin24sin 42(sin 1)26,故2226,即解得2,則26,1題型二待定系數(shù)法例2(1)(xx課標全國)設(shè)向量a,b不平行,向量ab與a2b平行,則實數(shù)_.答案解析向量a,b不平行,a2b0,又向量ab與a2b平行,則存在唯一的實數(shù),使ab(a2b)成立,即aba2b,則得解得.(2)已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a3a4117,a2a522.(1)求通項an;(2)求Sn的最小值;(3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列,且bn,求非零常數(shù)c.解(1)因為數(shù)列an為等差數(shù)列,所以a3a4a2a522.又a3a4117,所以a3,a4是方程x222x1170的兩實根,又公差d0,所以a3a4,所以a39,a413,所以所以所以通項an4n3.(2)由(1)知a11,d4,所以Snna1d2n2n22.所以當n1時,Sn最小,最小值為S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n,所以bn,所以b1,b2,b3.因為數(shù)列bn是等差數(shù)列,所以2b2b1b3,即2,所以2c2c0,所以c或c0(舍去),經(jīng)驗證c時,bn是等差數(shù)列,故c.點評使用待定系數(shù)法,它解題的基本步驟是:第一步,確定所求問題是含有待定系數(shù)的解析式;第二步,根據(jù)恒等的條件,列出一組含待定系數(shù)的方程;第三步,解方程組或者消去待定系數(shù),從而使問題得到解決變式訓(xùn)練2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,它們滿足S42S28,b2,T2,且當n4或5時,Sn取得最小值(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;(2)令cn(Sn)(Tn),nN*,如果cn是單調(diào)數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,因為當n4或5時,Sn取得最小值,所以a50,所以a14d,所以an(n5)d,又由a3a4a1a28,得d2,a18,所以an2n10;由b2,T2得b1,所以q,所以bn.(2)由(1)得Snn29n,Tn,cn,當cn為遞增數(shù)列時,cn<cn1,即>n210n4恒成立,當cn為遞減數(shù)列時,cn>cn1,即<n210n4恒成立,<21,綜上,實數(shù)的取值范圍為(,21)高考題型精練1數(shù)列an中,如果存在ak,使得ak>ak1且ak>ak1成立(其中k2,kN*),則稱ak為數(shù)列an的峰值,若an3n215n18,則an的峰值為()A0 B4C.D.答案A解析因為an3(n)2,且nN*,所以當n2或n3時,an取最大值,最大值為a2a30,故峰值為0.2若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為_答案32,)解析由條件知a21224,a23,雙曲線方程為y21,設(shè)P點坐標為(x,y),則(x,y),(x2,y),y21,x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P為右支上任意一點),32.3已知a為正的常數(shù),若不等式1對一切非負實數(shù)x恒成立,則a的最大值為_答案8解析原不等式即1,(*)令t,t1,則xt21,所以(*)即1t對t1恒成立,所以對t1恒成立,又a為正的常數(shù),所以a2(t1)2min8,故a的最大值是8.4設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量bxe1ye2,x,yR,若e1,e2的夾角為,則的最大值等于_答案2解析|b|2(xe1ye2)2x2y22xye1e2x2y2xy.,當x0時,0;當x0時,2.5(xx浙江)已知e1,e2是空間單位向量,e1e2,若空間向量b滿足be12,be2,且對于任意x,yR,|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0,y0R),則x0_,y0_,|b|_.答案122解析方法一由題意得xx0,yy0時,|b(xe1ye2)|取得最小值1,把|b(xe1ye2)|平方,轉(zhuǎn)化為|b|2x2y2xy4x5y,把x2y2xy4x5y看成關(guān)于x的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值及取最值的條件對于任意x,yR,|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0,y0R),說明當xx0,yy0時,|b(xe1ye2)|取得最小值1.|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y,要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值,需要把x2y2xy4x5y看成關(guān)于x的二次函數(shù),即f(x)x2(y4)xy25y,其圖象是開口向上的拋物線,對稱軸方程為x2,所以當x2時,f(x)取得最小值,代入化簡得f(x)(y2)27,顯然當y2時,f(x)min7,此時x21,所以x01,y02.此時|b|271,可得|b|2.方法二e1e2|e1|e2|cose1,e2,e1,e2.不妨設(shè)e1,e2(1,0,0),b(m,n,t)由題意知解得n,m,b.b(xe1ye2),|b(xe1ye2)|222t2x2xyy24x5yt272(y2)2t2.由題意知,當xx01,yy02時,2(y2)2t2取到最小值此時t21,故|b|2.6已知函數(shù)f(x)x2axb2b1(aR,bR),對任意實數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立,若當x1,1時,f(x)>0恒成立,則b的取值范圍是_答案(,1)(2,)解析由于對任意實數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立,則f(x)的對稱軸為x1,所以a2,f(x)x22xb2b1(x1)2b2b2,則f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增,當x1,1時,要使f(x)>0恒成立,只需f(1)>0,即b2b2>0,則b<1或b>2.7(xx陜西)若拋物線y22px(p0)的準線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個焦點,則p_.答案2解析由于雙曲線x2y21的焦點為(,0),故應(yīng)有,p2.8(xx北京改編)已知雙曲線y21(a>0)的一條漸近線為xy0,則該雙曲線的方程為_答案3x2y21解析雙曲線y21(a>0)的漸近線方程為yx,xy0yx,a>0,則,a,則該雙曲線的方程為3x2y21.9設(shè)函數(shù)f(x)kaxax(a>0且a1)是定義域為R的奇函數(shù),若f(1),且g(x)a2xa2x4f(x),求g(x)在1,)上的最小值解f(x)是定義域為R的奇函數(shù),f(0)0,k10,即k1.f(1),a,即2a23a20,a2或a(舍去),g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1),則t(x)2xln 22xln 20,t(x)在1,)上為增函數(shù),即t(x)t(1),原函數(shù)變?yōu)閣(t)t24t2(t2)22,當t2時,w(t)min2,此時xlog2(1)即g(x)在xlog2(1)時取得最小值2.10(xx安徽)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0),點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|2|MA|,直線OM的斜率為.(1)求E的離心率e;(2)設(shè)點C的坐標為(0,b),N為線段AC的中點,點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為,求E的方程解(1)由題設(shè)條件知,點M的坐標為,又kOM,從而,進而得ab,c2b,故e.(2)由題設(shè)條件和(1)的計算結(jié)果可得,直線AB的方程為1,點N的坐標為.設(shè)點N關(guān)于直線AB的對稱點S的坐標為,則線段NS的中點T的坐標為.又點T在直線AB上,且kNSkAB1,從而有解得b3.所以a3,故橢圓E的方程為1.11(xx浙江)已知橢圓y21上兩個不同的點A,B關(guān)于直線ymx對稱(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點)解(1)由題意知m0,可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y,得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點,所以2b220,將AB中點M代入直線方程ymx,解得b,由得m或m.(2)令t,則|AB|,且O到直線AB的距離為d.設(shè)AOB的面積為S(t),所以S(t)|AB|d,當且僅當t2時,等號成立故AOB面積的最大值為.12已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*)(1)求數(shù)列an的前三項a1,a2,a3;(2)求證:數(shù)列an(1)n為等比數(shù)列,并求出an的通項公式解(1)在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1,2,3,得解得(2)由Sn2an(1)n(nN*)得,Sn12an1(1)n1(n2),兩式相減得an2an12(1)n(n2),an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2),an(1)n2an1(1)n1(n2)故數(shù)列an(1)n是以a1為首項,2為公比的等比數(shù)列an(1)n2n1,an2n1(1)n(1)n.