《工程流體力學(xué)》第四章 流體運動學(xué)基礎(chǔ)

第 四 章 流 體 運 動 學(xué) 基 礎(chǔ) 1.研 究 對 象 ： 研 究 流 體 的 運 動 規(guī) 律 ， 即 速 度 、 加 速 度 等 各種 運 動 參 數(shù) 的 分 布 規(guī) 律 和 變 化 規(guī) 律 ， 不 涉 及 導(dǎo) 致 運 動 的 力 學(xué)因 素 。 2.適 用 對 象 ： 可 壓 縮 流 體 、 不 可 壓 縮 流 體 ， 理 想 流 體 和 黏性 流 體 。 4.1 研 究 流 體 運 動 的 兩 種 方 法 一 、 拉 格 朗 日 法 1.研 究 方 法 ： 著 眼 于 流 場 中 每 一 個 運 動 的 流 體 質(zhì) 點 ， 跟 蹤觀 察 每 一 質(zhì) 點 的 運 動 軌 跡 （ 跡 線 ） 以 及 運 動 參 數(shù) （ 速 度 、 壓強 、 加 速 度 等 ） 隨 時 間 的 變 化 ， 然 后 綜 合 所 有 質(zhì) 點 的 運 動 ，得 到 整 個 流 場 的 運 動 規(guī) 律 。 2.拉 格 朗 日 變 數(shù) ： 為 了 識 別 運 動 中 的 每 一 個 流 體 質(zhì) 點 ， 在某 一 初 始 時 刻 t0， 以 不 同 的 一 組 數(shù) （ a、 b、 c） 來 標(biāo) 記 不 同 的流 體 質(zhì) 點 ， 這 組 數(shù) （ a、 b、 c） 就 叫 拉 格 朗 日 變 數(shù) 。 于 是 流 體 質(zhì) 點 的 物 理 量 可 以 表 示為 拉 格 朗 日 變 數(shù) 和 時 間 的 函 數(shù) 。 例 如 流 體 質(zhì) 點 的 運 動 速 度 的拉 格 朗 日 描 述 為 ： u=u(a,b,c,t) v=v(a,b,c,t) （ 4-1） w=w(a,b,c,t) 它 表 示 初 始 時 刻 t0、 拉 格 朗 日 變 數(shù) 為 （ a， b， c） 的 流 體 質(zhì) 點在 t時 刻 的 速 度 在 三 個 坐 標(biāo) 軸 上 的 分 量 。 2.壓 強 的 表 示 方 法 ： 同 樣 ， 壓 強 p的 拉 格 朗 日 描 述 為 p=p(a,b,c,t) （ 4-2） 二 、 歐 拉 法 1.研 究 方 法 ： 著 眼 于 運 動 流 體 所 充 滿 的 空 間 ， 即 流 場 。 以流 場 中 各 個 固 定 的 空 間 點 為 參 考 對 象 。 設(shè) 在 某 一 時 刻 ， 觀 察到 流 場 中 各 個 空 間 點 上 流 體 質(zhì) 點 的 流 速 ， 將 這 些 流 速 綜 合 到 一 起 ， 就 構(gòu) 成 了 這 個 時 刻 的 速 度 場 。 如 求 得 各 瞬 時 的 速 度場 ， 就 可 以 得 到 速 度 場 隨 時 間 的 變 化 規(guī) 律 ， 因 此 流 速 場 應(yīng) 該 是 空 間 點 （ x， y， z） 和 時 間 t的 函 數(shù) ， 即 ： u=u(x,y,z,t) v=v(x,y,z,t) （ 4-3） w=w(x,y,z,t) 它 可 以 描 述 同 一 時 刻 不 同 空 間 點 流 體 質(zhì) 點 的 速 度 ， 也 可 以 描述 同 一 空 間 點 上 流 體 質(zhì) 點 的 速 度 隨 時 間 的 變 化 規(guī) 律 。 2.歐 拉 變 數(shù) ： 固 定 空 間 點 的 坐 標(biāo) （ x， y， z） 稱 為 歐 拉 變數(shù) 。 3.加 速 度 場 的 表 示 方 法 ： 加 速 度 場 a可 以 表 示 為 ： a=a(x,y,z,t) （ 4-4） 4.壓 強 場 的 表 示 方 法 ： 壓 強 場 p可 以 表 示 為 ： p=p(x,y,z,t) （ 4-5） 5.流 體 運 動 加 速 度 的 表 示 方 法 ： 根 據(jù) 復(fù) 合 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 ， 流 體 運 動 的 加 速 度 可 以 表 示為 ： （ 4-6）若 用 矢 量 表 示 ， 則 有 ： （ 4-7）式 中 為 速 度 矢 量 ， 為哈 密 爾 頓 矢 性 微 分 算 子 ， 其 中 的 ， ， 為 坐 標(biāo) 軸 上 的 單 位矢 量 。 x d , ,d=d du x y zu u u u ua u v wt t t x y z = = y d , ,d=d dv x y zv v v v va u v wt t t x y z = = z d , ,d=d dw x y zw w w w wa u v wt t t x y z = = kwjviuv = zkyjxi = i j k vvtva = 當(dāng) 地 （ 時 變 ） 加 速 度 ： 上 式 中 的 表 示 在 某 一 固 定 的 空間 點 上 ， 流 體 質(zhì) 點 速 度 對 時 間 的 變 化 率 ， 也 就 是 在 同 一 空 間點 上 ， 由 于 時 間 的 變 化所 引 起 的 加 速 度 ， 一 般 稱 為 當(dāng) 地 加 速 度 或 時 變 加 速 度 。 位 變 （ 遷 移 ） 加 速 度 ： 上 式 中 的 表 示 由 于 流 體 質(zhì)點 經(jīng) 過 不 同 的 空 間 位 置 時 引 起 的 加 速 度 ， 一 般 稱 為 位 變 加 速度 或 遷 移 加 速 度 。 可 見 由 歐 拉 法 描 述 流 體 的 運 動 時 ， 加 速 度 是 由 當(dāng) 地 加 速度 和 遷 移 加 速 度 兩 部 分 組 成 。 6.控 制 體 ： 應(yīng) 用 歐 拉 法 時 ， 常 在 流 場 中 選 取 一 固 定 空 間 區(qū)域 來 觀 察 流 體 的 運 動 ， 這 個 固 定 空 間 區(qū) 域 稱 為 控 制 體 ， 控 制體 的 表 面 稱 為 控 制 面 。 相 對 于 坐 標(biāo) 系 而 言 ， 控 制 體 的 位 置 、形 狀 和 體 積 均 固 定 不 變 ， 而 流 體 則 可 以 流 進(jìn) 或 流 出 控 制 體 。 tv vv 4.2 流 體 運 動 中 的 基 本 概 念 一 、 定 常 流 動 與 非 定 常 流 動 1.定 常 （ 恒 定 ） 流 動 ： 流 場 中 流 體 的 運 動 參 數(shù) （ 速 度 、 加速 度 、 壓 強 、 密 度 、 溫 度 、 動 能 、 動 量 等 ） 不 隨 時 間 變 化 ，而 僅 是 位 置 坐 標(biāo) 的 函 數(shù) ， 則 稱 這 種 流 動 為 定 常 或 恒 定 流 動 。這 時 對 于 速 度 、 壓 強 等 參 數(shù) 有 ： u=u(x,y,z) v=v(x,y,z) （ 4-8） w=w(x,y,z) p=p(x,y,z) （ 4-9）而 （ 4-10） 2.非 定 常 （ 非 恒 定 ） 流 動 ： 流 場 中 流 體 的 運 動 參 數(shù) 不 僅 是位 置 坐 標(biāo) 的 函 數(shù) ， 而 且 隨 時 間 變 化 ， 則 稱 這 種 流 動 為 非 定 ?；?非 恒 定 流 動 。 0= tptwtvtu 3.均 勻 流 場 ： 流 場 中 流 體 的 運 動 參 數(shù) 既 不 隨 時 間 變 化 ， 也不 隨 空 間 位 置 變 化 ， 則 稱 這 種 流 場 為 均 勻 流 場 。 如 圖 所 示 容 器 中 液 位 高 度 H 保 持 不 變 時 ： 液 體 在 AB段 內(nèi) 的 流 動 為均 勻 流 動 ， 既 無 時 變 加 速 度 也 無 遷 移 加 速 度 ； 在 BC段 內(nèi) 的 流動 為 定 常 流 動 ， 只 有 遷 移 加 速 度 而 無 時 變 加 速 度 。 容 器 中 液 位 高 度 H 隨 液 體 的 出 流 而 不 斷 降 低 時 ： 液 體 在AB、 BC段 內(nèi) 均 為 非 定 常 流 動 ， 在 AB段 內(nèi) 只 有 時 變 加 速 度 而無 遷 移 加 速 度 ， 在 BC段 內(nèi) 既 有 時 變 加 速 度 又 有 遷 移 加 速 度 。 二 、 一 維 流 動 、 二 維 流 動 、 三 維 流 動 1.一 維 流 動 ： 流 場 中 流 體 的 運 動 參 數(shù) 僅 是 一 個 坐 標(biāo) 的 函 數(shù)的 流 動 。 真 正 的 一 維 流 動 并 不 存 在 ， 但 是 當(dāng) 采 用 斷 面 的 平 均參 數(shù) 時 ， 就 可 以 近 似 地 按 一 維 流 動 來 處 理 ， 例 如 流 體 在 圓 管內(nèi) 的 流 動 等 。 2.二 維 流 動 ： 運 動 參 數(shù) 是 兩 個 坐 標(biāo) 的 函 數(shù) 的 流 動 。 例 如 流體 在 無 限 寬 傾 斜 縫 隙 內(nèi) 的 流 動 等 。 3.三 維 流 動 （ 空 間 流 動 ） ： 運 動 參 數(shù) 依 賴 于 三 個 坐 標(biāo) 時 的流 動 。 三 、 跡 線 與 流 線 1.跡 線 ： 流 場 中 流 體 質(zhì) 點 的 運 動 軌 跡 。 它 是 拉 格 朗 日 法 描述 流 體 運 動 的 幾 何 基 礎(chǔ) 。 2.流 線 流 線 的 定 義 ： 流 場 中 的 瞬 時 光 滑 曲 線 ， 且 曲 線 上 流 體 質(zhì)點 的 速 度 方 向 與 該 點 的 切 線 方 向 重 合 。 它 是 歐 拉 法 描 述 流 體運 動 的 幾 何 基 礎(chǔ) 。 如 圖 所 示 ， 在 某 一 固 定 時 刻 t0， 取 流 場 中 的 某 一 點 1， 作出 其 速 度 向 量 v1。 在 v1上 靠 近 1點 取 點 2， 經(jīng) 過 點 2作 同 一 時 刻的 速 度 向 量 v2。 在 v2上 靠 近 2點 取 點 3， 再 過 3點 作 出 同 一 時 刻的 速 度 向 量 v3 如 此 繼 續(xù) 下 去 ， 便 可 得 到 t0時 刻 的 一 條 折 線1234567。 當(dāng) 各 點 都 無 限 靠 近 時 ， 折 線 便 成 為 光 滑 曲 線 ， 這 條曲 線 就 是 時 刻 t0經(jīng) 過 點 1的 流 線 。 在 流 場 中 ， 在 同 一 時 刻 可 以作 出 無 數(shù) 條 流 線 。 流 線 的 特 性 在 定 常 流 動 中 ， 因 各 點 速 度 不 隨 時 間 變 化 ， 故 流 線 形 狀不 隨 時 間 而 變 ， 流 線 質(zhì) 點 必 須 沿 某 一 確 定 的 流 線 運 動 ， 此 時流 線 與 跡 線 重 合 。 在 非 定 常 流 動 中 ， 流 線 的 位 置 和 形 狀 隨 時間 而 變 ， 因 此 流 線 與 跡 線 不 重 合 。 一 般 來 講 ， 在 某 一 時 刻 ， 通 過 流 場 中 的 某 一 點 只 能 作 出一 條 流 線 。 流 線 不 能 轉(zhuǎn) 折 ， 也 不 能 相 交 ， 否 則 在 轉(zhuǎn) 折 點 和 相交 點 速 度 不 唯 一 ， 這 是 不 可 能 的 。 只 有 在 速 度 為 零 的 駐 點 ，或 速 度 為 無 窮 大 的 奇 點 才 有 這 種 可 能 。 如 圖 所 示 。 某 時 刻 t0， 過 流 線 上 任 意 一 點 ， 取 一 微 小 線段 。 dx、 dy、 dz是 線 段 在 x、 y、 z坐 標(biāo)軸 上 的 分 量 ， 過 該 點 的 速 度 向 量 為 ， u、 v、 w是 速 度 的 坐 標(biāo) 分 量 。 根 據(jù) 流 線 的 定義 有 ：在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 上 式 變 為 ： （ 4-11）這 就 是 t 0時 刻 的 流 線 微 分 方 程 式 。 四 、 流 管 與 流 束 1.流 管 ： 在 流 場 中 任 取 一 條 不 是 流 線 的 封 閉 曲 線 L，過 曲 線 上 的 每 一 點 作 流 線 ， 這 些 流 線 所 組 成 的 管 狀 表面 稱 為 流 管 ， 如 圖 所 示 。 由 于 流 管 表 面 是 由 流 線 組成 ， 所 以 流 體 質(zhì) 點 不 能 穿 出 或 穿 入 流 管 表 面 ， 這 樣 流管 就 好 像 剛 體 壁 面 一 樣 ， 把 流 體 的 運 動 限 制 在 流 管 內(nèi) 或 流 管外 。 kzjyixl dddd =ldkwjviuv = 0d =vl wzvyux ddd = 2.流 束 ： 流 管 內(nèi) 部 的 全 部 流 體 。 總 流 ： 如 果 封 閉 曲 線 取 在 管 道 內(nèi) 部 周 線 上 ， 則 流 束 就 是充 滿 管 道 內(nèi) 部 的 全 部 流 體 ， 這 種 情 況 通 常 稱 為 總 流 。 微 小 流 束 ： 如 果 封 閉 曲 線 取 得 極 小 ， 甚 至 縮 為 一 點 ， 則極 限 近 于 一 條 流 線 的 流 束 ， 稱 為 微 小 流 束 。 五 、 過 流 斷 面 、 流 量 和 平 均 流 速 1.過 流 斷 面 ： 流 束 中 處 處 與 速 度 方 向 相 垂 直 的 橫 截 面 稱 為該 流 束 的 過 流 斷 面 。 過 流 斷 面 可 能 是 平 面 A-A， C-C， 如 下 右圖 所 示 ， 也 可 能 是 曲 面 B-B。 2.流 量 ： 單 位 時 間 內(nèi) 通 過 某 一 過 流 斷 面 的 流 體 量 。 體 積 流 量 （ qV） ： 用 體 積 來 度 量 的 流 體 量 。 質(zhì) 量 流 量 （ qm） ： 用 質(zhì) 量 來 度 量 的 流 體 量 。 在 流 束 的 某 一 過 流 斷 面 A上 ， 任 取 一 微 元 面 積 dA， 如 圖 所示 。 dA上 各 點 的 速 度 u可 以 認(rèn) 為 相 同 。 且 u與 dA垂 直 ， 則 單 位時 間 內(nèi) 通 過 dA的 流 體 體 積 ， 即 微 小 流 量 為 ： dqV=udA （ 4-12）將 上 式 在 整 個 過 流 斷 面 A上 積 分 可 得 總 的 過 流 斷 面 流 量 ： （ 4-13）相 應(yīng) 的 質(zhì) 量 流 量 為 ： （ 4-14） = A Auqq dd VV = A Auqq dVm 3.平 均 速 度 ： 工 程 計 算 中 ， 為 了 簡 化 問 題 ， 常 將 通 過 某 一過 流 斷 面 的 流 量 qV與 該 過 流 斷 面 面 積 A相 除 ， 得 到 一 個 均 勻 分布 的 速 度 V， 稱 為 平 均 速 度 ： （ 4-15）或 qV=VA （ 4-16） AAuAqV A= dV 4.3 連 續(xù) 性 方 程 式 將 質(zhì) 量 守 恒 定 律 應(yīng) 用 于 運 動 的 流 體 上 ， 得 到 的 就 是 連 續(xù)性 方 程 ， 它 是 流 體 力 學(xué) 中 最 重 要 、 最 基 本 的 方 程 之 一 。 一 、 一 維 流 動 的 連 續(xù) 性 方 程 設(shè) 有 一 如 圖 所 示 的 過 流 斷 面 1-1、 2-2及 管 壁 所 圍 成 的 體積 ， 稱 為 控 制 體 ， 以 Vc表 示 。 因 為 流 體 不 能 穿 過 流 管 表 面 流動 ， 只 能 通 過 過 流 斷 面 1-1、 2-2流 進(jìn) 和 流 出 。 根 據(jù) 質(zhì) 量 守 恒定 律 ， t時 刻 控 制 體 Vc內(nèi) 流 體 質(zhì) 量 為 mt， 那 么 tdt時 刻 控 制 體 Vc中 流 體 質(zhì) 量 為 ： （ 4-17）式 中 是 dt時 間 內(nèi) 從 2-2斷 面 流 出 的 流 體 質(zhì)量 ， 是 dt時 間 內(nèi) 從 1-1流 進(jìn) 的 流 體 質(zhì) 量 。 -= 12 dddd 1122tdt AAt AutAutmm 2 dd 22A Aut 1 dd 11A Aut 另 外 ， 控 制 體 Vc內(nèi) 流 體 在 t+dt時 刻 的 質(zhì) 量 也 可 以 表 示 為 ： （ 4-18）式 中 是 流 體 密 度 對 時 間 的 變 化 率 。 由 式 （ 4-17） 和 式 （ 4-18） 兩 式 得 ： （ 4-19）這 就 是 連 續(xù) 性 方 程 的 基 本 形 式 ， 它 表 明 控 制 體 內(nèi) 流 體 質(zhì) 量 的時 間 變 化 率 等 于 流 入 與 流 出 控 制 體 流 體 質(zhì) 量 的 差 值 。 從 這 一方 程 可 以 得 到 更 為 有 用 的 形 式 。 當(dāng) 流 體 在 管 道 內(nèi) 做 定 常 流 動 時 ， ， 于 是 （ 4-20） ctdtt ddmm Vtt V = t =- VAA VtAuAu 0ddd c1122 12 0=t = 21 dd 2211 AA AuAu 或 1A1V1=2A2V2 （ 4-21）如 果 流 體 不 可 壓 縮 ， =C， 于 是 ： （ 4-22）或 A1V1=A2V2=qV （ 4-23）這 就 是 一 維 流 動 的 連 續(xù) 性 方 程 ， 它 適 用 于 恒 定 或 非 恒 定 流 動的 不 可 壓 縮 流 體 。 = 21 dd 21 AA AuAu 二 、 微 分 形 式 的 連 續(xù) 性 方 程 在 流 場 中 任 取 一 微 小 平 行 六 面 體 ， 其 邊 長 分 別 為 dx、dy、 dz， 坐 標(biāo) 按 如 圖 所 示 選 取 。 設(shè) 頂 點 A的 流 體 速 度 為 ， 它在 坐 標(biāo) 軸 上 的 分 量 為 u、 v、 w。 則 單 位 時 間 內(nèi) 沿 x方 向 從 后 表面 流 入 六 面 體 的 流 體 質(zhì) 量 為 ： udydz從 前 表 面 流 出 六 面 體 的 流 體 質(zhì) 量 為 ： d d ddux u x y zx x v 如 以 流 出 為 正 ， 流 入 為 負(fù) ， 則 在 dt時 間 內(nèi) ， 沿 x軸 流 出 、流 入 六 面 體 流 體 的 質(zhì) 量 的 差 值 為 ：同 理 ， 則 在 dt時 間 內(nèi) ， 沿 y軸 和 z軸 流 出 、 流 入 六 面 體 流 體 的 質(zhì)量 的 差 值 為 ： xd d d dd dd dddduuM x u x y z u y z x y z tx x x = - = yd ddddvM x y z ty= zd ddddwM x y z tz= 于 是 ， dt時 間 內(nèi) 通 過 六 面 體 表 面 凈 流 出 質(zhì) 量 為 ： （ 4-24） x y zd =d d d ddddu v wM M M M x y z tx y z = 根 據(jù) 質(zhì) 量 守 恒 定 律 ， 單 位 時 間 內(nèi) 流 出 、 流 入 六 面 體 表 面的 質(zhì) 量 差 值 ， 必 會 引 起 六 面 體 密 度 的 變 化 。 假 設(shè) t時 刻 流 體 的密 度 為 ， 則 tdt時刻 流 體 的 密 度 為 。 那 么 dt時 間 內(nèi) ， 六 面 體 內(nèi) 流 體的 質(zhì) 量 將 由 udxdydz變 為 ， 即 六 面 體 內(nèi) 流體 質(zhì) 量 的 改 變 量 為 ： （ 4-25）dtt d dddt x y zt d = ddd d dddM x y z t x y zt - ddddx y z t t=- 由 連 續(xù) 性 原 理 可 得 ： dM=dM （ 4-26）將 式 （ 4-24） 和 式 （ 4-25） 代 入 上 式 并 簡 化 得 ： （ 4-27）這 就 是 微 分 形 式 的 連 續(xù) 性 方 程 式 。 對 于 不 可 壓 縮 流 體 （ 恒 定 或 非 恒 定 流 動 ） ，=C， 上 式 簡 化 為 ： （ 4-28）對 于 二 維 流 動 ， 上 式 變 為 ： （ 4-29） 0u v wt x y z = 0u v w x y z = 0u vx y = 4.4 流 體 微 團(tuán) 運 動 的 分 析 流 體 的 運 動 較 剛 體 更 為 復(fù) 雜 。 流 體 微 團(tuán) 除 平 移 和 轉(zhuǎn) 動外 ， 還 有 變 形 運 動 （ 角 變 形 和 線 變 形 ） 。 取 一 流 體 微 團(tuán) ， 設(shè) 它 在 yoz平 面 上 為 矩 形 abcd。 1.平 移 ： 只 考 慮 流 體 微 團(tuán) 做 平 移 運 動 時 ， 經(jīng) dt時 間 后 流 體 微團(tuán) 由 實 線 位 置 運 動 至 虛 線 位 置 ， 其 方 位 與 形 狀 均 不 變 ， 如 圖所 示 。 2.線 變 形 ： 只 考 慮 微 團(tuán) 發(fā) 生 線 變 形 時 ， 如 圖 所 示 ， 由 于 a、b兩 點 與 c、d兩 點 在 y方 向 的 速 度 差 同 為 ， 因 此 經(jīng) dt時 間 后 ， ab、 cd伸 長 了 ， 定 義 單 位 時 間 內(nèi) 單 位 長 度 的 線 變 形 為 線 變 形 速 率 ，所 以 微 團(tuán) 在 y方 向 的 線 變 形 速 率 為 ：同 理 ， x、 z方 向 的 線 變 形 速 率 為 ： （ 4-30）yyvdtyyv dd yv= y xu=x zw=z 3.角 變 形 與 轉(zhuǎn) 動 ： 只 考 慮 微 團(tuán) 發(fā) 生 角 變 形 與 轉(zhuǎn) 動 時 ， 如 圖所 示 ， 由 于 b、 d兩 點 相 對 于 a點 分 別 在 z方 向 和 y方 向 也 存 在 速度 差 ， 因 此 必 須 使 ab、 ad邊 的 相 對 位 置 發(fā) 生 變 化 ， 促 使 流 體微 團(tuán) 發(fā) 生 角 變 形 和 旋 轉(zhuǎn) 。 因 b點 相 對于 a點 在 z方 向 速 度 差 為 ， 經(jīng) dt時 間 后 b點 在 z方 向 比 a點 多移 動 的 距 離 ， ab邊 沿 逆 時 針 方 向 轉(zhuǎn) 過 的 微 小 角 度 為 ： （ 4-31）即 （ 4-32）同 樣 ， 由 于 a、 d兩 點 在 y方 向 的 速 度差 ， 引 起 ad邊 沿 順 時 針 方 向 轉(zhuǎn) 過 微小 角 度 ： （ 4-33）yywd tyyw dd tywy tyyw dd dd/tan 1 = tywdd 1 tzvdd 2 我 們 可 以 將 以 上 運 動 看 成 是 先 發(fā) 生 角 變 形 ， 即 ab、 ad彼 此 相向 各 轉(zhuǎn) 動 一 個 相 等 的 角 度 dj（ 圖 中 虛 線 ） ， 然 后 再 發(fā) 生 轉(zhuǎn)動 ， 即 ab、 ad朝 相 同 的 方 向 各 轉(zhuǎn) 動 相 等 的 角 度 dy， 于 是 有 ： d1=djdy （ 4-34） d2=dj-dy （ 4-35）聯(lián) 立 解 以 上 兩 式 得 ： （ 4-36） （ 4-37）定 義 單 位 時 間 內(nèi) 角 變 形 量 的 兩 倍 為角 變 形 速 度 或 角 變 形 速 率 ， 以 2e表示 。 利 用 以 上 各 式 可 得 繞 x軸 的 角 變 形 率 為 ： 21 dd21d j = 21 dd21d y -= 即 （ 4-38a）同 理 得 ： （ 4-38b） （ 4-38c）單 位 時 間 內(nèi) 的 轉(zhuǎn) 角 稱 為 旋 轉(zhuǎn) 角 速 度w， 繞 x軸 的 旋 轉(zhuǎn) 角 速 度 為 ： ywzvttx = ddddd22 21 je = ywzv21xe = zuxw21ye = xvyu21 ze （ 4-39a）同 理 可 得 ： （ 4-39b） （ 4-39c） =-= zvywtt 21ddd21dd 21x yw = xwzu21yw = yuxv21zw 4.5 有 旋 流 動 與 無 旋 流 動 、 速 度 勢 函 數(shù) 與 流 函 數(shù) 一 、 有 旋 流 動 與 無 旋 流 動 1.有 旋 流 動 ： 流 體 微 團(tuán) 的 旋 轉(zhuǎn) 角 速 度 不 等 于 零 的 流 動 ， 即w0。 2.無 旋 流 動 ： 流 體 微 團(tuán) 的 旋 轉(zhuǎn) 角 速 度 等 于 零 的 流 動 ， 此 時w=0， 即即 滿 足 （ 4-40） 0 zyx = kji wwww zvyw = xwzu = yuxv = 二 、 速 度 勢 函 數(shù) 由 于 無 旋 流 動 時 滿 足 式 （ 4-40） ， 由 數(shù) 學(xué) 分 析 可 知 ， 該式 的 存 在 是 使 udx+vdy+wdz成 為 全 微 分 的 充 要 條 件 ， 因 而 無 旋流 動 中 一 定 存 在 著 這 樣 一 個 函 數(shù) j=j（ x、 y、 z） ， 它 對 坐 標(biāo)的 三 個 偏 導(dǎo) 數(shù) 等 于 流 場 中 一 點 上 的 三 個 速 度 分 量 ， 即 ： （ 4-41）函 數(shù) j=j（ x、 y、 z） 稱 為 速 度 勢 函 數(shù) ， 簡 稱 速 度 勢 。 因 此 無旋 流 動 也 稱 為 有 勢 流 動 。 將 式 （ 4-41） 代 入 不 可 壓 縮 流 體 的連 續(xù) 性 方 程 （ 4-28） 中 ， 可 知 速 度 勢 函 數(shù) 滿 足 拉 普 拉 斯 方 程 式 。 xu = jyv = jzw = j （ 4-42） 三 、 流 函 數(shù) 二 維 不 可 壓 縮 流 體 的 連 續(xù) 性 微 分 方 程 式 為 ：由 數(shù) 學(xué) 分 析 可 知 ， 上 式 的 存 在 是 使 udy-vdx成 為 某 個 函 數(shù) y全微 分 的 充 要 條 件 。 令 ：于 是 ： （ 4-43）符 合 式 （ 4-43） 條 件 的 函 數(shù) y=y（ x、 y、 z） 稱 為 二 維 不 可 壓縮 流 場 的 流 0222222 = zyx jjj 0= yvxu yyxxxvyu ddddd =- yyy yu = y xv -= y 函 數(shù) 。 作 業(yè) ： 4-2、 4-4、 4-9、 4-10