江蘇省泰州市姜堰區(qū)高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題及答案

20142015學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題 (考試時(shí)間：120分鐘 總分160分) 命題人：王鴻、王光華 審題人：孟太、朱善宏注意事項(xiàng)：所有試題的答案均填寫(xiě)在答題紙上，答案寫(xiě)在試卷上的無(wú)效一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1. 已知集合，則 2已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是 3. 若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則 4曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是 5將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，則= 6在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)， 則線段的長(zhǎng)度為 .7. 不等式的解集為 .8. 已知，且，則的值為 9. 在中，“”是“”的 條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 10如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則 11設(shè)，已知在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為 . （第10題圖）12已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，其前四項(xiàng)恰是方程 的四個(gè)根，則 .13已知圓C：，點(diǎn)P在直線l：上，若圓C上存在兩點(diǎn)A、B使得，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 14. 已知兩條平行直線 ：和：（這里），且直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A、B ，直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于C、D若記線段和在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a 、b ，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若（）求的值； （）若，且，求的值16設(shè)，函數(shù)（）已知是的導(dǎo)函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的值；（）若函數(shù)在處取得極小值，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。ABCDEFMNG第17題17某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一個(gè)水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中，且中，經(jīng)測(cè)量得到為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周?chē)鷾?zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作一條直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場(chǎng)（）假設(shè)，試將五邊形的面積表示為的函數(shù)，并注明函數(shù)的定義域；（）問(wèn)：應(yīng)如何設(shè)計(jì)，可使市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出健身廣場(chǎng)的最大面積18. 已知圓：，點(diǎn)是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓M的切線、，切點(diǎn)為、（）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（）求線段長(zhǎng)度的最小值19.若數(shù)列滿足：對(duì)于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列（）若，是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求的前項(xiàng)之和；（）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有 求證：數(shù)列為“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 20. 已知函數(shù)，其中（）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.高三數(shù)學(xué)期中試題（教師版）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1.已知集合，則 答案：2已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是 答案： 3. 若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則 答案：134曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是 答案：5將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，則= 答案： 6在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)， 則線段的長(zhǎng)度為 .答案：47. 不等式的解集為 .答案：8.已知，且，則的值為 答案：9. 在中，“”是“”的 條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 答案：必要不充分10如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則 答案： （第10題圖）11設(shè)，已知在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為 .答案：12已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，其前四項(xiàng)恰是方程的四個(gè)根，則 .答案：13已知圓C：，點(diǎn)P在直線l：上，若圓C上存在兩點(diǎn)A、B使得，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 答案：14. 已知兩條平行直線 ：和：（這里），且直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A、B ，直線與函數(shù)的圖像從左至右相交于C、D若記線段和在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a 、b ，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為 答案：32二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若（）求的值； （）若，且，求的值解：（）因?yàn)椋?由正弦定理得，所以 4分 （）因?yàn)?，所以，所以，由余弦定理得，所?分 所以即 14分16設(shè)，函數(shù)（）已知是的導(dǎo)函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的值；（）若函數(shù)在處取得極小值，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。解：（）， 2分 故 ， 為奇函數(shù)， ，即 ； 6分 （） 列表如下： 9分 在處取得極小值，在處取得極大值， 由題設(shè)，； 12分 所以函數(shù)的遞增區(qū)間為 14分ABCDEFMNG第17題17某小區(qū)想利用一矩形空地建造市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一個(gè)水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中，且中，經(jīng)測(cè)量得到為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周?chē)鷾?zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作一條直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場(chǎng)（）假設(shè)，試將五邊形的面積表示為的函數(shù)，并注明函數(shù)的定義域；（）問(wèn)：應(yīng)如何設(shè)計(jì)，可使市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出健身廣場(chǎng)的最大面積解：（）作GHEF，垂足為H，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，所?2分過(guò)作交于T，則，所以 7分由于與重合時(shí)，適合條件，故,8分（），10分 所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2000， 13分答：當(dāng)時(shí)，得到的市民健身廣場(chǎng)面積最大，最大面積為14分18. 已知圓：，點(diǎn)是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓M的切線、，切點(diǎn)為、（）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（）求線段長(zhǎng)度的最小值解：（）由題可知，圓M的半徑r2，設(shè)P（2b,b），因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以MAP90,所以MP，解得所以 4分（）設(shè)P（2b，b），因?yàn)镸AP90，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓以MP為直徑，其方程為： 即由， 7分解得或，所以圓過(guò)定點(diǎn) 9分（）因?yàn)閳A方程為 即 圓：，即 得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為： 11分點(diǎn)M到直線AB的距離 13分 相交弦長(zhǎng)即： 當(dāng)時(shí)，AB有最小值16分19.若數(shù)列滿足：對(duì)于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列（）若，是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求的前項(xiàng)之和；（）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有 求證：數(shù)列為“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（）易得數(shù)列前項(xiàng)之和 4分（）（）（A） （B）（B）（A）得（） 所以，為公差為2的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列 6分 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 8分 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 12分 故當(dāng)時(shí)， 由，則，解得所以存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（） 16分20. 已知函數(shù)，其中（）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意大于等于2的實(shí)數(shù)，總存在唯一的小于2的實(shí)數(shù)，使得成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（）為減函數(shù)。理由如下：因?yàn)?，由于，且，所以，從而函?shù)為減函數(shù)。（亦可先分別用定義法或?qū)?shù)法論證函數(shù)和在上單調(diào)遞減，再得函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)。） 5分（）若時(shí)，；時(shí)。所以不成立. 7分若時(shí)，所以在單調(diào)遞減.從而，即. 9分(a)若時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，從而，即.要使成立，只需，即成立即可.由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以. 11分(b)若時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.從而，即. 13分要使成立，只需成立，即成立即可.由，得.故當(dāng)時(shí)，恒成立.綜上所述，. 16分