江蘇省鹽城市高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)試題及答案

鹽城市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù) 學(xué) 試 題 (總分160分，考試時(shí)間120分鐘)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上.1.已知集合，集合，則 . 第3題2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù) . 3.根據(jù)如圖所示的偽代碼，則輸出的的值為 . 4.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則的值為 .5.某單位有840名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查, 將840人按1, 2, , 840隨機(jī)編號(hào), 則抽取的42人中, 編號(hào)落入?yún)^(qū)間61, 120的人數(shù)為 6.某公司從四名大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁中錄用兩人，若這四人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲與乙中至少有一人被錄用的概率為 7.若滿足約束條件, 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 8.已知正四棱錐的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則側(cè)棱的長(zhǎng)為 .9.若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則的值為 . 10.動(dòng)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，的值為 . 11.若函數(shù)，則是函數(shù)為奇函數(shù)的 條件. (選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)12.在邊長(zhǎng)為1的菱形中，若點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為 . 13.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足且，則的最小值為 14.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，且，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為 .二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).15. (本小題滿分14分)已知，記函數(shù).（1）求函數(shù)取最大值時(shí)的取值集合；（2）設(shè)的角所對(duì)的邊分別為，若，求面積的最大值.16(本小題滿分14分)第16題在直三棱柱中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).（1）求證:/平面；（2）求證:平面平面.17(本小題滿分14分)某地?cái)M建一座長(zhǎng)為米的大橋，假設(shè)橋墩等距離分布，經(jīng)設(shè)計(jì)部門(mén)測(cè)算，兩端橋墩、造價(jià)總共為萬(wàn)元，當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為米時(shí)（其中），中間每個(gè)橋墩的平均造價(jià)為萬(wàn)元，橋面每1米長(zhǎng)的平均造價(jià)為萬(wàn)元.（1）試將橋的總造價(jià)表示為的函數(shù)；（2）為使橋的總造價(jià)最低，試問(wèn)這座大橋中間(兩端橋墩、除外)應(yīng)建多少個(gè)橋墩？第17題18. (本小題滿分16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn). 當(dāng)直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)， 弦的長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連結(jié)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積；第18題（3）是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在處的切線互相垂直，求的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)（其中），且存在無(wú)窮數(shù)列，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)還可以表示為.（1）求（用表示）；（2）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；（3）若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式.鹽城市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)附加題部分（本部分滿分40分，考試時(shí)間30分鐘）21選做題 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi). A.（選修41：幾何證明選講）在中，已知是的平分線，的外接圓交于點(diǎn).若，求的長(zhǎng).B.（選修42：矩陣與變換）若矩陣屬于特征值3的一個(gè)特征向量為，求矩陣的逆矩陣.C（選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.D(選修4-5：不等式選講）已知為正實(shí)數(shù)，求證：，并求等號(hào)成立的條件. 必做題 第22、23題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).22（本小題滿分10分）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)，底面，設(shè)點(diǎn)滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小為，求的值.23（本小題滿分10分）設(shè).（1）若數(shù)列的各項(xiàng)均為1，求證：；（2）若對(duì)任意大于等于2的正整數(shù)，都有恒成立，試證明數(shù)列是等差數(shù)列.鹽城市2015屆高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.1. 2. 3. 15 4. 1 5. 6. 7. 6 8. 9. 10. 11. 充分不必要 12. 13. 14. 5 二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).15解：（1）由題意，得，當(dāng)取最大值時(shí)，即，此時(shí)，所以的取值集合為.7分（2）因，由（1）得，又，即，所以，解得，在中，由余弦定理，得，所以，所以面積的的最大值為.14分16. 證明：（1）在直三棱柱中，且，因點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，即且，又且，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，所以平面.7分（2）因，所以四邊形是菱形，所以，又點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，即，所以.因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，由直三棱柱，知底面，即，所以平面，則，所以平面，又平面，所以平面平面14分17解：（1）由橋的總長(zhǎng)為米，相鄰兩個(gè)橋墩的距離為米，知中間共有個(gè)橋墩，于是橋的總造價(jià)，即（）7分（表達(dá)式寫(xiě)成同樣給分）（2）由（1）可求，整理得，由，解得，（舍），又當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，所以當(dāng)，橋的總造價(jià)最低，此時(shí)橋墩數(shù)為14分18解：（1）由，設(shè)，則，所以橢圓的方程為，因直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，即，代入橢圓方程，解得，于是，即，所以橢圓的方程為5分（2）將代入，解得，因點(diǎn)在第一象限，從而，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得，又過(guò)原點(diǎn)，于是，所以直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，10分（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由，解得，所以若存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值2. 12分根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)，又設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，所以，又，所以，將上述關(guān)系代入，化簡(jiǎn)可得.綜上所述，存在點(diǎn)，使得為定值216分19解：（1）當(dāng)時(shí)，在處的切線斜率，由，在處的切線斜率，.4分（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又，由題意，得的最小值為負(fù)，（注：結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到），（注：結(jié)合消元利用基本不等式也可）.9分（3）令，其中則，設(shè)在單調(diào)遞減，在區(qū)間必存在實(shí)根，不妨設(shè)即，可得（*）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，代入（*）式得根據(jù)題意恒成立.又根據(jù)基本不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等式成立所以,.代入（*）式得,即16分(以下解法供參考，請(qǐng)酌情給分)解法2：，其中根據(jù)條件對(duì)任意正數(shù)恒成立即對(duì)任意正數(shù)恒成立且，解得且，即時(shí)上述條件成立此時(shí).解法3：，其中要使得對(duì)任意正數(shù)恒成立，等價(jià)于對(duì)任意正數(shù)恒成立，即對(duì)任意正數(shù)恒成立，設(shè)函數(shù)，則的函數(shù)圖像為開(kāi)口向上，與正半軸至少有一個(gè)交點(diǎn)的拋物線，因此，根據(jù)題意，拋物線只能與軸有一個(gè)交點(diǎn)，即，所以.20解:（1）由題意，得，顯然的系數(shù)為0，所以，從而，.4分（2）由，考慮的系數(shù)，則有，得，即， 所以數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，.10分（3）由（2），因數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以對(duì)一切都成立，若，則，與矛盾，若數(shù)列是等比數(shù)列，又據(jù)題意是等差數(shù)列，則是常數(shù)列，這與數(shù)列的公差不為零矛盾，所以，即，由（1）知，所以.16分（其他方法：根據(jù)題意可以用、表示出，由數(shù)列為等差數(shù)列，利用，解方程組也可求得.）解法2：由（1）可知，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，.又由（2），所以得，若即時(shí)，與條件公差不為零相矛盾，因此則.由,可得,整理可得代入,或若,則，與矛盾，若,則,滿足題意, 所以附加題答案B解：由題意，得，解得，所以.設(shè)，則，解得，即.10分C解：將直線與曲線的方程化為普通方程，得直線：，曲線：，所以曲線是以為圓心，半徑為的圓，所以圓心到直線的距離，因此，直線與曲線相交. 10分22. 解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則，所以，.當(dāng)時(shí)，得，所以，設(shè)平面的法向量，則，得，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，所以，即直線與平面所成角的正弦值.5分（2）易知平面的一個(gè)法向量.設(shè)，代入，得，解得，即，所以，設(shè)平面的法向量，則，消去，得，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，所以，解得或，因?yàn)?，所?10分23. 證：（1）因數(shù)列滿足各項(xiàng)為1，即，由，令，則，即.3分（2）當(dāng)時(shí)，即，所以數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列.假設(shè)當(dāng)時(shí)，由，可得數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列，5分因?qū)θ我獯笥诘扔?的正整數(shù)，都有恒成立，所以成立，所以，兩式相減得，因，所以，即，由假設(shè)可知也成等差數(shù)列，從而數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列.綜上所述，若對(duì)任意恒成立，則數(shù)列是等差數(shù)列. 10分19