2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理(含解析).doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理(含解析)1(xx山東,12分)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn(1)n1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)因?yàn)镾1a1,S22a122a12,S44a124a112,由題意得(2a12)2a1(4a112),解得a11,所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn1.所以Tn2(xx浙江,14分)已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足a1a2a3an()bn(nN*)若an為等比數(shù)列,且a12,b36b2.(1)求an與bn;(2)設(shè)cn(nN*)記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.求Sn;求正整數(shù)k,使得對(duì)任意nN*,均有SkSn.解:(1)由題意a1a2a3an()bn,b3b26,知a3()b3b28.又由a12,得公比q2(q2舍去),所以數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n(nN*)所以a1a2a3an2()n(n1)故數(shù)列bn的通項(xiàng)為bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知cn(nN*),所以Sn1(nN*)因?yàn)閏10,c2>0,c3>0,c4>0;當(dāng)n5時(shí),cn,而>0,得<1,所以,當(dāng)n5時(shí),cn<0.綜上,對(duì)任意nN*恒有S4Sn,故k4.3(xx江西,12分)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列an,bn(bn0,nN*),滿(mǎn)足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn,求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式;(2)若bn3n1,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解析:(1)因?yàn)閍nbn1an1bn2bn1bn0,bn0(nN*),所以2,即cn1cn2.所以數(shù)列cn是以首項(xiàng)c11,公差d2的等差數(shù)列,故cn2n1.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1,于是數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn130331532(2n1)3n1,3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n,相減得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n,所以Sn(n1)3n1.4(xx四川,12分)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12,點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn;(2)若a11,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線(xiàn)在x軸上的截距為2,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由已知,b72a7,b82a84b7,有2a842a72a72,解得da8a72.所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù)f(x)2x在(a2,b2)處的切線(xiàn)方程為y2a2(2a2ln 2)(xa2),它在x軸上的截距為a2.由題意知,a22,解得a22.所以da2a11.從而ann,bn2n,所以Tn,2Tn.因此,2TnTn12.所以Tn.5(xx福建,5分)已知等比數(shù)列an的公比為q,記bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m,nN*),則以下結(jié)論一定正確的是()A數(shù)列bn為等差數(shù)列,公差為qmB數(shù)列bn為等比數(shù)列,公比為q2mC數(shù)列cn為等比數(shù)列,公比為qm2D數(shù)列cn為等比數(shù)列,公比為qmm解析:本題考查等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生轉(zhuǎn)化和化歸能力、公式應(yīng)用能力和運(yùn)算求解能力等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1qn1,所以cnam(n1)1am(n1)2am(n1)ma1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm(n1)m(n1)1m(n1)m1aqm2(n1)aqm2(n1),因?yàn)閝m2,所以數(shù)列cn為等比數(shù)列,公比為qm2.答案:C6(xx重慶,5分)已知an是等差數(shù)列,a11,公差d0,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8_.解析:本題考查等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算,意在考查考生的基本運(yùn)算能力因?yàn)閍n為等差數(shù)列,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,所以a1(a14d)(a1d)2,解得d2a12,所以S864.答案:647(xx江蘇,16分)設(shè)an是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d0),Sn是其前n項(xiàng)的和記bn,nN*,其中 c為實(shí)數(shù)(1)若c0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snkn2Sk(k,nN*);(2)若bn是等差數(shù)列,證明:c0.證明:本題考查等差、等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,意在考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力與推理論證能力由題設(shè),Snnad.(1)由c0,得bnad.又b1,b2,b4成等比數(shù)列,所以bb1b4,即2a,化簡(jiǎn)得d22ad0.因?yàn)閐0,所以d2a.因此,對(duì)于所有的mN*,有Smm2a.從而對(duì)于所有的k,nN*,有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1,則bnb1(n1)d1,即b1(n1)d1,nN*,代入Sn的表達(dá)式,整理得,對(duì)于所有的nN*,有n3n2cd1nc(d1b1)令A(yù)d1d,Bb1d1ad,Dc(d1b1),則對(duì)于所有的nN*,有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分別取n1,2,3,4,得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1,從而有由,得A0,cd15B,代入方程,得B0,從而cd10.即d1d0,b1d1ad0,cd10.若d10,則由d1d0,得d0,與題設(shè)矛盾,所以d10.又cd10,所以c0.8(xx浙江,14分)在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a110,且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d,an;(2) 若d<0,求|a1|a2|a3|an|.解:本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念,等差數(shù)列通項(xiàng)公式,求和公式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力(1)由題意得5a3a1(2a22)2,即d23d40.故d1或d4.所以ann11,nN*或an4n6,nN*.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0,由(1)得d1,ann11.則當(dāng)n11時(shí),|a1|a2|a3|an|Snn2n.當(dāng)n12時(shí),|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.綜上所述,|a1|a2|a3|an|9(xx四川,12分)在等差數(shù)列an中,a1a38,且a4為a2和a9的等比中項(xiàng),求數(shù)列an的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和解:本題考查等差數(shù)列、等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想設(shè)該數(shù)列公差為d,前n項(xiàng)和為Sn.由已知,可得2a12d8,(a13d)2(a1d)(a18d)所以,a1d4,d(d3a1)0,解得a14,d0,或a11,d3,即數(shù)列an的首項(xiàng)為4,公差為0,或首項(xiàng)為1,公差為3.所以,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn4n或Sn.10(xx湖南,5分)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn(1)nan,nN*,則(1)a3_;(2)S1S2S100_.解析:本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和等知識(shí),考查推理論證能力及分類(lèi)討論思想(1)當(dāng)n1時(shí),S1(1)a1,得a1.當(dāng)n2時(shí),Sn(1)n(SnSn1).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),SnSn1,從而S1,S3,又由S3S2,得S20,則S3S2a3a3.(2)由(1)得S1S3S5S99,S101,又S2S4S6S1002S32S52S72S1010,故S1S2S100.答案:11(xx湖南,13分)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a10,2ana1S1Sn,nN*. (1)求a1,a2,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和解:本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和,結(jié)合轉(zhuǎn)化思想,意在考查考生的運(yùn)算求解能力(1)令n1,得2a1a1a,即a1a.因?yàn)閍10,所以a11.令n2,得2a21S21a2,解得a22.當(dāng)n2時(shí),由2an1Sn,2an11Sn1兩式相減得2an2an1an,即an2an1.于是數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列因此,an2n1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)知,nann2n1.記數(shù)列n2n1的前n項(xiàng)和為Bn,于是Bn122322n2n1,2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.從而B(niǎo)n1(n1)2n.12(xx江西,12分)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足:S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)令bn,數(shù)列bn的前項(xiàng)n項(xiàng)和為T(mén)n.證明:對(duì)于任意的nN*,都有Tn<.解:本題主要考查求一類(lèi)特殊數(shù)列的和,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算求解能力(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0,得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列,所以Sn>0,Snn2n.于是a1S12,n2時(shí),anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)證明:由于an2n,故bn.Tn<.13(xx山東,12分)在等差數(shù)列an中,a3a4a584,a973.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意mN*,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.解:(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列,所以a3a4a53a484,a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則5da9a4732845,故d9.由a4a13d得28a139,即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對(duì)mN*,若9m<an<92m,則9m8<9n<92m8.因此9m11n92m1.故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).14(xx廣東,14分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足2Snan12n11,nN*,且a1,a25,a3成等差數(shù)列(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有<.解:(1)當(dāng)n1時(shí),2a1a241a23,當(dāng)n2時(shí),2(a1a2)a381a37,又a1,a25,a3成等差數(shù)列,所以a1a32(a25),由解得a11.(2)2Snan12n11,當(dāng)n2時(shí),有2Sn1an2n1,兩式相減得an13an2n,則1,即2(2)又23,知2是首項(xiàng)為3,公比為的等比數(shù)列,23()n1,即an3n2n,n1時(shí)也適合此式,an3n2n.(3)證明:由(2)得<,<11(1)<.