2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明(文、理)(含詳解13高考題) .doc
2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明(文、理)(含詳解,13高考題)1.(xx北京高考理科20)已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An,第n項(xiàng)之后各項(xiàng),的最小值記為Bn,dn=AnBn(1)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意nN*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;(2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列;(3)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3),則an的項(xiàng)只能是1或2,且有無窮多項(xiàng)為1【解題指南】(1)根據(jù)dn的定義求.(2)充分性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義求dn;必要性:先證明an是不減數(shù)列,再利用定義證明等差.(3)可通過取特殊值和反證法進(jìn)行證明.【解析】(1),。(2) 充分性:若為公差為的等差數(shù)列,則.因?yàn)槭欠秦?fù)整數(shù),所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列.,(n=1,2,3,).必要性:若,假設(shè)是第一個(gè)使得的項(xiàng),則,這與矛盾.所以是不減數(shù)列.,即,是公差為的等差數(shù)列.(3)首先中的項(xiàng)不能是0,否則,與已知矛盾.中的項(xiàng)不能超過2,用反證法證明如下:若中有超過2的項(xiàng),設(shè)是第一個(gè)大于2的項(xiàng),中一定存在項(xiàng)為1,否則與矛盾.當(dāng)時(shí),否則與矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之間,使得,此時(shí),矛盾.綜上中沒有超過2的項(xiàng).綜合,中的項(xiàng)只能是1或2.下面證明1有無數(shù)個(gè),用反證法證明如下:若為最后一個(gè)1,則,矛盾.因此1有無數(shù)個(gè). 2.(xx北京高考文科20)給定數(shù)列a1,a2,an。對(duì)i=1,2,n-l,該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai,后n-i項(xiàng)ai+1,ai+2,an的最小值記為Bi,di=Ai-Bi.(1)設(shè)數(shù)列an為3,4,7,1,寫出d1,d2,d3的值.(2)設(shè)a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比數(shù)列,且a10.證明:d1,d2,dn-1是等比數(shù)列。(3)設(shè)d1,d2,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,且d10,證明:a1,a2,an-1是等差數(shù)列?!窘忸}指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出dn的通項(xiàng),再利用等比數(shù)列的定義證明dn是等比數(shù)列.(3)先證明an是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列an的最小項(xiàng),最后證明an是等差數(shù)列.【解析】(1),。(2)由是公比大于1的等比數(shù)列,且a10,可得的通項(xiàng)為且為單調(diào)遞增數(shù)列。于是當(dāng)時(shí),為定值。因此d1,d2,dn-1構(gòu)成首項(xiàng),公比的等比數(shù)列。(3)若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則0<d1<d2<<dn-1,先證明a1,a2,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列,否則,設(shè)ak是第一個(gè)使得akak-1成立的項(xiàng),則Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此a1,a2,an-1是單調(diào)遞增數(shù)列.再證明an為數(shù)列an中的最小項(xiàng),否則設(shè)ak<an(k=1,2,n-1),顯然k1,否則d1=A1-B1=a1-B1a1-a1=0,與di>0矛盾.因而k2,此時(shí)考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.因此,an為數(shù)列an中的最小項(xiàng).綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,n-1),于是ak=dk+an,從而a1,a2,an-1是等差數(shù)列.