2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五講 韋達(dá)定理學(xué)案 新人教版.doc
2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五講 韋達(dá)定理學(xué)案 新人教版【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)會(huì)用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值。2、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理求待定系數(shù)。3、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理構(gòu)造方程,解方程組。4、能應(yīng)用韋達(dá)定理分解二次三項(xiàng)式。知識(shí)框圖 求代數(shù)式的值 求待定系數(shù)一元二次 韋達(dá)定理 應(yīng) 用 構(gòu)造方程方程的求根公式 解特殊的二元二次方程組 二次三項(xiàng)式的因式分解【典型例題】例1、已知 、是方程x-5x+1=0 的兩個(gè)根,求下列代數(shù)式的值(1) + (2)( - ) (3) + (4)+ (5)-5+3-解:由韋達(dá)定 理知+=5,=1(1)+=(+)-2=23(2)(-)=(+)-4=21(3) + = = =(4)+ =(+)-3(+)=110(5)-5+3-=3-(+)= -2評(píng)注:求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值,關(guān)鍵是將所給代數(shù)式合理地進(jìn)行恒等變形,使其轉(zhuǎn)化成+,表示的形式,主要運(yùn)用配方法,通分,因式分解等方法。例2:已知方程2x-kx+4=0的一個(gè)根是1+ ,求另一根及k的值。解:設(shè)方程的另一根為x,由韋達(dá)定理知 解得方程的另一根為 -1,k的值為4。評(píng)注:本例主要熟悉并掌握運(yùn)用根的定義及韋達(dá)定理求待定系數(shù)和方程的根。例3:已知關(guān)于x的方程x+2(m-2)x+m+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)根的平方和比兩根積大21,求m的值。解:設(shè)x+2(m-2)x+m+4=0的兩根值為x1, x2則x1+x2= -2(m-2), x1 x2=m+4由題意得:x12+ x22= x1 x2+21(x1+ x2) -3 x1x2-21=04(m-2) -3(m+4)-21=0m=17 , m= -1 把 m1=17 代入原方程得x+30x+293=0, 0方程無實(shí)數(shù)根, m1=17 不合題意,舍去 把 m2= -1代入原方程得x-6x+5=0 , 0m= -1評(píng)注:應(yīng)用韋達(dá)定理求一元二次方程中待定系數(shù)是一種常見的方法,但應(yīng)特別注意一元二次方程是否有根的檢驗(yàn),同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)及本身隱含的取值范圍。例4:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。(1)x-x+1 (2)-3y+y+1 (3)4x+8xy-y解:(1)令x-x+1=0,解方程得x= x-x+1 =(x- )(x- ) (2)令-3y+y+1=0,解方程得y= -3y+y+1=-3(y- )(y- )(3)把4x+8xy-y=0看作關(guān)于x為未知數(shù)的方程。令4x+8xy-y=0解方程得x= y ,4x+8xy-y=4(x- y ) (x- y) =(2x+2y- y)(2x+2y+ y)評(píng)注:當(dāng)二次三項(xiàng)式不能公式進(jìn)行分解時(shí),往往令二次三項(xiàng)式等于0轉(zhuǎn)化為一元二次方程,令ax+bx+c=0 兩根為x,x,則ax+bx+c=a(x-x)(x-x),注意分解時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)不要漏掉,當(dāng)二次三項(xiàng)式含有兩個(gè)字母時(shí)把其中一個(gè)字母看作未知數(shù),另一個(gè)字母看作常數(shù)來解?!具x講例題】例:在三角形ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊,且C=5 ,若關(guān)于x的方程(5 +b) x2+2ax+(5 -b)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,又方程2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為6,求ABC的面積。解:方程(5 +b)x+2ax+(5 -b)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=4a-(5 +b)(5 -b)=0即a+b=75c=5 a+b=cABC為 直角三角形,用C=90設(shè)x1,x2是2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x1+ x2=5SinA ,x1 x2= SinAx1+ x2=6 (5SinA ) -SinA=6SinA= 或SinA= - (舍去)在RtABC中,C=5 , a=c, SinA=3b= =4SABC= ab=18評(píng)注:這是一道典型的綜合性題,這匯集了根的判別式,勾股定理,根與系數(shù)的關(guān)系,三角函數(shù),三角形面積等多方面的知識(shí),解這類綜合題時(shí),要理清楚思路,抓拄每個(gè)給出的條件,得到相應(yīng)的結(jié)論,從而環(huán)環(huán)地將繩索解開?!净A(chǔ)練習(xí)】1、填空:(1)設(shè),是方程3x-5x+1=0的兩根,則+=_(2)若 +1是方程x-kx+1=0的一個(gè)根,則k=_(3)分解因式2x+3x-1=_(4)若方程3x-x+m-4=0有一正一負(fù)兩個(gè)根,則m的取值范圍是_(5)已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的兩個(gè)根,則(a+ma+1)(b+mb+1)的值為_(6)方程x+8x-1=0的兩個(gè)根為,則3+2+8-9=_2、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 的值。3、三角形ABC 的三邊長分別為 a,b,c,滿足b=8-c, a-12a-bc+52=0,試判斷三角形ABC的形狀。4、s,t滿足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ,并且st1,求 的值。【課堂小結(jié)】1、掌握韋達(dá)定理 2、掌握韋達(dá)定理的幾個(gè)應(yīng)用?!眷柟叹毩?xí)】1、因式分解6xy+7xy-3=_2、解方程組3、如果直角三角形三條邊a,b,c,都滿足方程x-mx+ =0,求三角形的面積。4、已知方程2x-8x-1=0的兩個(gè)根為,不解方程,求解以 + ,( -1)( -1)為根的一元二次方程。5、已知某二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為p,q,且滿足關(guān)系式 , 試求這個(gè)一元二次方程。6、已知, 是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)根(1)是否存在實(shí)數(shù)根k,使(2-)( -2)= -成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。(2)求使 + -2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值?!菊n后反思】