九年級數(shù)學(xué) 第9講 幾何問題探究-與中點(diǎn)相關(guān)問題教案.doc
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九年級數(shù)學(xué) 第9講 幾何問題探究-與中點(diǎn)相關(guān)問題教案.doc
教學(xué)過程幾何問題探究與中點(diǎn)相關(guān)問題知識點(diǎn)1.中點(diǎn)的定義2.中點(diǎn)的表示方法:等量關(guān)系、倍的關(guān)系、分的關(guān)系3.三角形中線的作用:等分線段4.全等三角形的中線的作用:倍長中線(延長中線至*,連接*,證明三角形全等)教學(xué)目標(biāo)熟練掌握有中點(diǎn)為背景的全等三角形證明的方法.教學(xué)重點(diǎn)在實(shí)際問題中能對中線倍長法模型的建立,利用中線倍長法解決問題.教學(xué)難點(diǎn)利用中線倍長法構(gòu)造全等三角形解決問題.教學(xué)過程幾何在初中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)谋戎兀谌珖鞯氐闹锌紨?shù)學(xué)試卷中圖形與幾何的探究問題占到20%到30%的比重。主要考查了圖形的一些基本性質(zhì),借助圖形的變換(平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換、相似變換)進(jìn)行線段和角的一些相關(guān)問題的探討,主要考查了學(xué)生的觀察能力、空間想象能力、動(dòng)手操作能力以及所學(xué)幾何基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用能力。解決幾何綜合問題,是需要厚積而薄發(fā),所謂的“幾何感覺”,是建立在足夠的知識積累的基礎(chǔ)上的,熟悉基本圖形及常用的輔助線,在遇到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對應(yīng)的模型,找到“新”問題與“舊“模型間的關(guān)聯(lián),明確努力方向,才能進(jìn)一步探究綜合問題。注重對基本模型及輔助線的積累是非常必要的。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)三角形中線的定義:三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線。三角形中線的相關(guān)定理:1. 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。2. 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)。中線中位線相關(guān)問題(涉及中點(diǎn)的問題)見到中線(中點(diǎn)),我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理,尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí),倍長中線的應(yīng)用更是較為常見。三、知識講解考點(diǎn)1 三角形的中位線1. 三角形中位線的定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。2. 三角形中位線的定理:三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。3. 中位線判定定理:經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊。考點(diǎn)2 全等三角形的概念及其性質(zhì)1.定義:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2.性質(zhì)定理:(1)全等三角形的對應(yīng)角相等。 (2)全等三角形的對應(yīng)邊相等。(3)能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)。 (4)全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。(5)全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。(6)全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。(7)全等三角形面積和周長相等。 (8)全等三角形的對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等??键c(diǎn)3 全等三角形的解題技巧一般來說考試中線段和角相等需要證明全等。因此我們可以來采用逆向思維的方式,要想證明全等,需要什么條件。例如:要想證明某某邊等于某某邊,那么首先要證明含有那兩個(gè)邊的三角形全等,然后把所得到的等式運(yùn)用(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)證明三角形全等,有時(shí)還需要輔助線。分析完畢后要注意書寫格式,在全等三角形中,如果格式不寫好那么就容易出現(xiàn)看漏的現(xiàn)象,同時(shí)注意隱含的條件。四、例題精析考點(diǎn)一 倍長中線問題例1 如圖,已知在ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長BE交AC于F,AF=EF,求證:AC=BE例2 如圖所示, OAB,OCD為等腰直角三角形,AOB=COD=90.(1) 如圖1,點(diǎn)C在OA邊上,點(diǎn)D在OB邊上,連接AD,BC,M為線段AD的中點(diǎn),求證:OMBC.(2) 如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,將OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(為銳角),M為線段AD的中點(diǎn).線段OM與線段BC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系?寫出并證明你的結(jié)論;OMBC是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.考點(diǎn)二 構(gòu)造中位線問題例3如圖,在ABC和PQD中,AC = kBC,DP = kDQ,C =PDQ,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線BC上,連結(jié)EQ交PC于點(diǎn)H猜想線段EH與AC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想例4 如圖,在ABC和DAE中,AB=k AC,AD=k AE(k>1)且BAC=DAE=,H為BC的中點(diǎn),G為ED的中點(diǎn),F(xiàn)為CD的中點(diǎn),連結(jié)FG,F(xiàn)H,請?zhí)骄縁H與FG的關(guān)系,并證明你的結(jié)論。說明:如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題,可以選?。?)(2)中的一個(gè)條件完成你的探究(1)k=1;(2)點(diǎn)D在BA上,點(diǎn)E在AC 上??键c(diǎn)三 證明中點(diǎn)問題例5如圖,ABCBDE,M、M分別為AB、DB中點(diǎn),直線MM交CE于K試探索CK與EK的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)四 與直角三角形斜邊中點(diǎn)相關(guān)問題例6如圖1,在ACB和AED中,AC=BC,AE=DE,ACB=AED=90,點(diǎn)E在AB上,F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn),連接CE、FE(1)請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果,不需說明理由);(2)將圖1中的AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AED的一邊AE恰好與ACB的邊AC在同一條直線上(如圖2),連接BD,取BD的中點(diǎn)F,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;(3)將圖1中的AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度(如圖3),連接BD,取BD的中點(diǎn)F,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由。課程小結(jié)本節(jié)課主要研究了與中點(diǎn)相關(guān)的問題,如若遇到一個(gè)中點(diǎn),可先考慮倍長中線,注意二次全等問題;如若遇到多個(gè)中點(diǎn),可先考慮嘗試中位線,當(dāng)然倍長中線也可以嘗試考慮;如若遇到直角三角形和中點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn),那么一定要記得“直角三角形斜邊的中線是等于斜邊一半“的這條性質(zhì)。幾何問題的探究,是一個(gè)長期積累的過程,注重幾何知識的綜合運(yùn)用,積累基本型是重中之重。例1【規(guī)范解答】延長到,使,連結(jié),又, 【總結(jié)與反思】作倍長AD,得到,可以把AC轉(zhuǎn)移到BDG中,利用等腰的性質(zhì)得到兩邊相等。例2【規(guī)范解答】1、證明:AOB和COD是等腰直角三角形,OAOB,ODOC,AOB90AOD BOC,OADOBC,M是AD中點(diǎn),OMAM,OADMOA,OBCMOA MOA+MOBAOB90,OBC+MOB90BMO180-9090,OMBC。2、結(jié)論:BC2OM,OMBC。延長OM至E,使OMEM,連接AE,又AMDM,AMEDMOAME DMO,AEDO,EAMODMAOB和COD是等腰直角三角形,OAOB, ODOC,AOBDOC90AEOC。OAEOAD+EAMOAD+ODM180-AODBOCAOB+COD-AOD90+90-AOD180-AODOAEBOC,由可得,OAEBOC,OEBC,AOEOBC,OE2OM,BC2OM。延長BC交OE于F,AOE+BOEAOB90,OBC+BOE90 BFO180-9090,OEBF即OMBC。【總結(jié)與反思】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可證AODBOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明OMBC;(2)延長OM至E,使OMEM,連接AE,先證明AME DMO ,再證明OAEBOC 即可證明BC2OM,延長BC交OE于F,推導(dǎo)出BFO=90,即可證明OMBC.例3【規(guī)范解答】證明: 取BC中點(diǎn)M,連接DE,DM D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)DM=AC 且 DMAC, DE=BC 且 DEBC,C=MDE又PDQ=C,PDQ=C ,又 PDQ+QDM =MDE+QDM,PDM=QDE又AC = kBC,DM = kDE,又DP= kDQ,PDMDQE,DEQ=DMP,又DEBC,DMAC,DEQ=EHC, DMP=C,EHC=C,EH=EC=AC【總結(jié)與反思】本題中出現(xiàn)了兩個(gè)中點(diǎn),由所給信息,運(yùn)用中位線的知識我們可以構(gòu)造出PDMDQE ,從而得到角的關(guān)系,便可以證明EH與AC的數(shù)量關(guān)系了。例4【規(guī)范解答】證明:連接BD、CEBAC=DAE=,BAC-BAE=DAE-BAE即 BAD=CAE又AB=kAC , AD=kAE, ACEABD,BD= kCE又H為BC的中點(diǎn),G為ED的中點(diǎn),F(xiàn)為CD的中點(diǎn),HF=BD, FG=CEHF= kFG【總結(jié)與反思】本題要我們探究FH與FG的關(guān)系,觀察圖形及所給的已知信息,我們可以首先考慮嘗試運(yùn)用中位線,連接BD,CE,要探究FH與FG的關(guān)系便可以轉(zhuǎn)化為探究BD及CE的關(guān)系,我們可以通過證明ACEABD便可以得到BD及CE的關(guān)系,同樣就可以得知FH與FG的關(guān)系了。例5【規(guī)范解答】CK與EK的數(shù)量關(guān)系為相等,理由如下:延長MK到N,使得NK=MM,連接EM、CM、EN,如圖,可得NK+KM=MM+MK,即NM=MK,ABCBDE,M、M分別為AB、DB中點(diǎn),EM=CM,BM=BM,EMD=CMB,由BM=BM得:BMM=BMM=KMD,NME=CMK,在EMN和CMK中,NM=MK,NME=CMK,EM=CM,EMNCMK,(SAS)CK=EN,N=CKM=NKE,EK=EN,CK=EK【總結(jié)與反思】由已知條件不能得到相關(guān)條件,可作輔助線,延長MK到N,使得NK=MM,連接EM、CM、EN,再根據(jù)輔助條件證明EMNCMK即可例6【規(guī)范解答】(1)如圖1,連接CF,線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE;(2)(1)中的結(jié)論仍然成立如圖2,連接CF,延長EF交CB于點(diǎn)G, ACB=AED=90,DEBC,EDF=GBF,又EFD=GFB,DF=BF, EDFGBF,EF=GF,BG=DE=AE,AC=BC,CE=CG,EFC=90,CF=EF,CEF為等腰直角三角形,CEF=45度,CE=FE;(3)(1)中的結(jié)論仍然成立 如圖3,取AD的中點(diǎn)M,連接EM,MF,取AB的中點(diǎn)N,連接FN、CN、CF,DF=BF,F(xiàn)MAB,且FM=AB,AE=DE,AED=90,AM=EM,AME=90,CA=CB,ACB=90CN=AN=AB,ANC=90,MFAN,F(xiàn)M=AN=CN,四邊形MFNA為平行四邊形,F(xiàn)N=AM=EM,AMF=FNA,EMF=FNC,EMFFNC,F(xiàn)E=CF,EFM=FCN,由MFAN,ANC=90,可得CPF=90,F(xiàn)CN+PFC=90,EFM+PFC=90,EFC=90,CEF為等腰直角三角形,CEF=45,CE=FE【總結(jié)與反思】(1)連接CF,直角DEB中,EF是斜邊BD上的中線,因此EF=DF=BF,F(xiàn)EB=FBE,同理可得出CF=DF=BF,F(xiàn)CB=FBC,因此CF=EF,由于DFE=FEB+FBE=2FBE,同理DFC=2FBC,因此EFC=EFD+DFC=2(EBF+CBF)=90,因此EFC是等腰直角三角形,CF=EF;(2)思路同(1)也要通過證明EFC是等腰直角三角形來求解連接CF,延長EF交CB于點(diǎn)G,先證EFC是等腰三角形,可通過證明CF是斜邊上的中線來得出此結(jié)論,那么就要證明EF=FG,就需要證明DEF和FGB全等這兩個(gè)三角形中,已知的條件有一組對頂角,DF=FB,只要再得出一組對應(yīng)角相等即可,我們發(fā)現(xiàn)DEBC,因此EDB=CBD,由此構(gòu)成了兩三角形全等的條件EF=FG,那么也就能得出CFE是個(gè)等腰三角形了,下面證明CFE是個(gè)直角三角形就能得出(1)中的結(jié)論了;(3)思路同(2)通過證明CFE來得出結(jié)論,通過全等三角形來證得CF=FE,取AD的中點(diǎn)M,連接EM,MF,取AB的中點(diǎn)N,連接FN、CN、CF那么關(guān)鍵就是證明MEF和CFN全等,利用三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線,我們不難得出EM=PN=AD,EC=MF=AB,我們只要再證得兩對應(yīng)邊的夾角相等即可得出全等的結(jié)論我們知道PN是ABD的中位線,那么我們不難得出四邊形AMPN為平行四邊形,那么對角就相等,于是90+CNF=90+MEF,因此CNF=MEF,那么兩三角形就全等了證明CFE是直角的過程與(1)完全相同那么就能得出CEF是個(gè)等腰直角三角形,于是得出的結(jié)論與(1)也相同