中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識(shí)點(diǎn)30 直角三角形、勾股定理.doc

知識(shí)點(diǎn)30 直角三角形、勾股定理一、選擇題1. （xx山東濱州，1，3分）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（ ） A5 B6 C7 D8【答案】A【解析】三角形為直角三角形，三邊滿足勾股定理，弦為：5【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理2. （xx四川瀘州，8題，3分） “趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖3所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b,若ab=8，大正方形的面積為25,則小正方形的邊長(zhǎng)為（ ）A. 9 B.6 C. 4 D.3第8題圖【答案】D【解析】因?yàn)閍b=8，所以三角形的面積為ab=4，則小正方形的面積為25-44=9，邊長(zhǎng)為3【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，三角形面積，平方根3. （xx年山東省棗莊市，12，3分）如圖，在中，垂足為，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).若，則的長(zhǎng)為（ ）A B C D【答案】A【思路分析】在中， ， 平分，可知CE=CF，過F作FH垂直于AB，F(xiàn)H=CF，在RtFBH中設(shè)CF=x，利用勾股定理列方程求出CF的長(zhǎng)，從而得到CE的長(zhǎng).【解題過程】解：在中， ，ACD=B，平分，CAF=BAF，CEF=CFE，CE=CF，如圖，過點(diǎn)F作FGAB，平分，CF=FG，AG=AC=3，BG=2，設(shè)CF=FG=x， ，BC=4，則BF=4-x，在RtFBG中，解得，即CE=CF=，故選A.【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形4. （xx湖南長(zhǎng)沙，11題，3分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦久韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中的“里”是我國市制長(zhǎng)度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（ ）A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米【答案】A【解析】將里換算為米為單位,則三角形沙田的三邊長(zhǎng)為2.5千米,6千米,6.5千米,因?yàn)?.52+62=6.52，所以這個(gè)三角形為直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2.5千米和6千米，所以S=62.5=7.5(平方千米)，故選A【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理，三角形面積5. (xx山東青島中考，6，3分)如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，BAC=90，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕EF交BC于點(diǎn)F已知，則BC的長(zhǎng)是（ ）A B C3 D 【答案】B【解析】AB=AC，BAC=90，B=45由折疊的性質(zhì)可得BEF=90，BFE=45，BE=EF=點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AB=AC=3在RtABC中，BC=故選B【知識(shí)點(diǎn)】折疊的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)與判定；勾股定理；6.（xx山東省淄博市，12，4分）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3、4、5，則ABC的面積為（A）9+ （B）9+ （C）18+ （D）18+【答案】A【思路分析】將APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AHC，作AICH交CH延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，則APH為等邊三角形，利用已知線段證明PHC為直角三角形，從而得到AHC=150，AHI=30，求得AI、IH，進(jìn)而求得IC，利用勾股定理求出AC，再利用正三角形面積公式求出三角形ABC的面積.【解題過程】將APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AHC，作AICH交CH延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，則APH為等邊三角形，HA=HP=PA=3，HC=PB=4，PC=5，PC2=PH2+CH2，PHC=90，AHI=30，AI=，HI=，CI=+4，AC2=（）2+（+4）2=25+12，SABC=AC2=（25+12）=9+.【知識(shí)點(diǎn)】圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形；正三角形的面積；勾股定理及逆定理1. （xx湖北黃岡，5題，3分）如圖，在RtABC中，ACB=90，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，則CD=（ ）A.2 B.3 C.4 D.第5題圖【答案】C【解析】在RtABC中，CE為AB邊上的中線，所以CE=AB=AE，因?yàn)镃E=5，AD=2，所以DE=3，因?yàn)镃D為AB邊上的高，所以在RtCDE中，=4，故選C【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理2. （xx四川涼山州，3，4分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，ABOA于A，且AB1，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，則OC長(zhǎng)為（ ）A.3 B. C. D. 【答案】D【解析】ABOA于A，OAB=90.在RtOAB中，由勾股定理得OB=.OC=OB=.故選擇D.【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的判定，勾股定理，尺規(guī)作圖.二、填空題1. （xx年山東省棗莊市，15，4分） 我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式.即：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則該三角形的面積為，已知的三邊長(zhǎng)分別為，則的面積為 .【答案】1【解析】方法一：把代入三角形的面積得，故填 1.方法二：由的三邊長(zhǎng)分別為，根據(jù)勾股定理的逆定理得是直角三角形，其面積為，故填 1.【知識(shí)點(diǎn)】二次根式；勾股定理的逆定理2. （xx四川省成都市，14，4）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；作直線MN交CD于點(diǎn)E，若DE2，CE3，則矩形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為 【答案】【思路分析】因?yàn)橛勺鲌D可知MN為線段AC的垂直平分線，則有AECE3，在RtADE中，由勾股定理可以求出AD的長(zhǎng)，然后再在RtADC中用勾股定理求出AC即可【解析】解：連接AE，由作圖可知MN為線段AC的垂直平分線，AECE3，在RtADE中，AD，在RtADC中，CDDECE5，AC【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理3. （xx天津市，18，3）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上.（1）ACB的大小為 （度）；（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn).A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于BAC，把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P.當(dāng)CP最短時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明） 【答案】90; 如圖，取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.【解析】分析：本題考查了勾股定理及其逆定理解題的關(guān)鍵是分析題意并構(gòu)造出如圖所示的三對(duì)格點(diǎn)解：(1)在網(wǎng)格中由勾股定理得：ABC為直角三角形，ACB=90(2) 如圖，取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)；取格點(diǎn)，連接交延長(zhǎng)線于點(diǎn)；取格點(diǎn)，連接交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求.【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理定理及逆定理；格點(diǎn)作圖4. （xx浙江湖州，16，4）在每個(gè)小正方形的邊為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，此時(shí)正方形EFGH的面積為5問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是 （不包括5）圖1 【答案】9，13和49【解析】設(shè)圖中直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，則a2+b265小正方形的面積為（ab）2只要能把長(zhǎng)為a和b的線段在網(wǎng)格中畫出來，并且a和b的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上即可65可以寫作64+1或49+16，所以a，b的值分別為8，1或7，4此時(shí)小正方形的面積為49或9另外，長(zhǎng)為13和5的線段也可以在網(wǎng)格中畫出，所以65還可以寫成52+13或45+20，此時(shí)a，b的值分別為2，和3，2此時(shí)小正方形的面積為13和5小正方形的面積為9，13和49對(duì)應(yīng)的圖形分別為下圖的故填9，13和49. 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理1. （xx湖北黃岡，13題，3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為_cm（杯壁厚度不計(jì)）第13題圖【答案】20【解析】如圖，點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，連接EB，即為螞蟻爬行的最短路徑，過點(diǎn)B做BCAE于點(diǎn)C，則RtEBC中，BC=322=16cm，EC=3+14-5=12cm，所以第13題解圖【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱，勾股定理2. （xx重慶A卷，16，4）如圖，把三角形紙片折疊，使點(diǎn)B、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為DE、FG，得到AGE30，若AEEG厘米，則ABC的邊BC的長(zhǎng)為 厘米 【答案】46 【解析】如下圖，過點(diǎn)E作EMAG于點(diǎn)M，則由AEEG，得AG2MG AGE30，EG厘米， EMEG（cm） 在RtEMG中，由勾股定理，得MG3（cm），從而AG6cm 由折疊可知，BEAE（cm），GCAG6cm BCBEEGGC646（cm） 【知識(shí)點(diǎn)】翻折；軸對(duì)稱；勾股定理；直角三角形的性質(zhì)；等腰三角形3. （xx江蘇淮安，15，3） 如圖，在份RtABC中，C=90，AC=3, BC=5,分別以A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q,過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，則CD 的長(zhǎng)是 .(第15題）【答案】1.6【解析】本題考查勾股定理和基本作圖，連結(jié)AD,由線段的垂直平分線的性質(zhì)可知AD=BD,再由勾股定理可求得CD.解：連結(jié)AD由作法可知AD=BD,在RtACD中設(shè)CD=x,則AD=BD=5-x,AC=3.由勾股定理得，CD2+AC2=AD2即x2+32=(5-x)2解得x=1.6故答案為1.6【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；軸對(duì)稱；線段的垂直平分線；基本作圖4. （xx山東德州，15，4分）如圖,為的平分線，則點(diǎn)到射線的距離為 【答案】3 【解析】因?yàn)?，所以CM=3，過點(diǎn)C作CMOA于N，又因?yàn)闉榈钠椒志€，所以CN= CM=3，即點(diǎn)到射線的距離為3【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，角平分線的性質(zhì)5. （xx福建A卷，13，4）如圖，在RtABC中，ACB=90，AB=6，D為AB的中點(diǎn)，則CD= _【答案】3【思路分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出CD的值.【解析】解：在ABC中，以ACB為直角的直角三角形的斜邊AB=6，CD是AB邊上的中線，CD=AB=3.【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形6.（xx福建A卷，15，4）把兩個(gè)相同大小的含45角的三角板如圖所示放置，其中一個(gè)三角板的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，另外三角板的銳角頂點(diǎn)B、C、D在同一直線上，若AB=，則CD=_【答案】【思路分析】首先利用勾股定理計(jì)算出BC、AD的長(zhǎng)，過點(diǎn)A作AFBC，由“三線合一”及等腰直直角三角形的性質(zhì)易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理計(jì)算出DF的長(zhǎng)度，問題便獲得解決.【解析】解：過點(diǎn)A作AFBC，垂足為點(diǎn)F， AB=AC，CF=， AB=AC=，AD=，CF=1，C=45，AF=CF=1，.【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理7. （xx福建B卷，13，4）如圖，在RtABC中，ACB=90，AB=6，D為AB的中點(diǎn)，則CD= _【答案】3【思路分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出CD的值.【解題過程】解：在ABC中，以ACB為直角的直角三角形的斜邊AB=6，CD是AB邊上的中線，CD=AB=3.【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形8. （xx福建B卷，15，4）把兩個(gè)相同大小的含45角的三角板如圖所示放置，其中一個(gè)三角板的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，另外三角板的銳角頂點(diǎn)B、C、D在同一直線上，若AB=，則CD=_【答案】【思路分析】首先利用勾股定理計(jì)算出BC、AD的長(zhǎng)，過點(diǎn)A作AFBC，由“三線合一”及等腰直直角三角形的性質(zhì)易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理計(jì)算出DF的長(zhǎng)度，問題便獲得解決.【解析】解：過點(diǎn)A作AFBC，垂足為點(diǎn)F， AB=AC，CF=， AB=AC=，AD=，CF=1，C=45，AF=CF=1，.【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理9.（xx湖北省襄陽市，15，3分）已知CD是ABC的邊AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，則BC的長(zhǎng)為= .【答案】【解析】解：分兩種情況討論：當(dāng)CD在ABC內(nèi)部時(shí)，如圖在RtACD中，由勾股定理得AC=2.AB=2AC=4，BD=AB-AD=3.在RtBCD中，由勾股定理得，BC=.當(dāng)CD在ABC外部時(shí)，如圖此時(shí)，AB=4，BD=BA+AD=5,在RtABD中，由勾股定理得，BC=.綜上所述，BC的長(zhǎng)為.故答案為.【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，分類討論思想10. （xx廣西玉林，17題，3分）如圖，在四邊形ABCD中，B=D=90，A=60，AB=4，則AD的取值范圍是_第17題圖【答案】2<AD<8【解析】由題，A=60，AB=4，已確定，AD的長(zhǎng)度可以變化，如下圖（1），是AD最短的情況，此時(shí)AD=ABcos60=2，如下圖（2），是AD最長(zhǎng)的情況，此時(shí)AD=AB/cos60=8，而這兩種情況四邊形ABCD就變成了三角形，故都不能達(dá)到，故AD的取值范圍是2<AD<8 第17題圖（1） 第17題圖（2）【知識(shí)點(diǎn)】動(dòng)態(tài)問題，特殊的三角函數(shù)值三、解答題1. （xx四川廣安，題號(hào)24，分值8） 下面有4張形狀，大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合，具體要求如下：（1）畫一個(gè)直角邊為4，面積為6的直角三角形.（2）畫一個(gè)底邊為4，面積為8的等腰三角形.（3）畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形.（4）畫一個(gè)邊長(zhǎng)為22，面積為6的等腰三角形.第24題圖【思路分析】對(duì)于（1），根據(jù)面積公式求出兩條直角邊即可畫出圖形；對(duì)于（2），根據(jù)面積公式求出底邊上的高，再畫出圖形即可；對(duì)于（3），根據(jù)面積公式求出直角邊，即可畫出圖形；對(duì)于（4）根據(jù)腰長(zhǎng)為22不成立，可知以22為底邊，再求出底邊上的高，可畫出圖形.【解題過程】如圖所示.（1）直角邊為4，3的直角三角形；.2分（2）底邊為4，底邊上的高為4的等腰三角形；.4分（3）直角邊為10的等腰直角三角形；.6分（4）底邊為22，底邊上的高為32的等腰三角形8分第24題答圖【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，三角形的面積1. （xx湖北荊門，19，9分） 如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，.（1）求證：；（2）若，在邊上找一點(diǎn)，使得最小，并求出這個(gè)最小值.【思路分析】（1）首先根據(jù)E為AB邊的中點(diǎn)可得BC=AE，根據(jù)DEB為等邊三角形可得DB=DE，DEA=DBC，然后根據(jù)全等三角形的判定即可證明出結(jié)論；（2）作點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)H，由作圖可知：EH+BH=BE，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【解題過程】（1）證明：在RtABC中，BAC=30，E為AB邊為中點(diǎn)，BC=EA，ABC=60.DEB為等邊三角形，DB=DE，DEB=DBE=60，DEA=120，DBC=120，DEA=DBC，ADECDB.（2） 解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)H. 則點(diǎn)H即為符合條件的點(diǎn).由作圖可知：EH+BH=BE，AE=AE，EAC=BAC=30，EAE=60，EAE為等邊三角形，EE=EA=AB，AEB=90，在RtABC中，BAC=30，BC=，AB=2，AE=AE=，BE=3，BH+EH的最小值為3.【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，利用軸對(duì)稱作圖，勾股定理