高中數(shù)學(xué)第一章解三角形第五課時解三角形應(yīng)用舉例教案一蘇教版必修5

第五課時 解三角形應(yīng)用舉例（一）教學(xué)目標(biāo)：會在各種應(yīng)用問題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系，理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問題的能力；通過解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用.教學(xué)重點(diǎn)：1.實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；2.解斜三角形的方法.教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定.教學(xué)過程：.課題導(dǎo)入解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實(shí)際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力.下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用.講授新課例1自動卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)時需要計(jì)算油泵頂桿BC的長度.已知車箱的最大仰角為60，油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為195 m，AB與水平線之間的夾角為620，AC長為140 m，計(jì)算BC的長（保留三個有效數(shù)字）.分析：求油泵頂桿BC的長度也就是在ABC內(nèi)，求邊長BC的問題，而根據(jù)已知條件，AC140 m，AB195 m，BAC606206620.相當(dāng)于已知ABC的兩邊和它們的夾角，所以求解BC可根據(jù)余弦定理.解：由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA195214022195140cos66203571BC189（m）答：油泵頂桿BC約長189 m.評述：此題雖為解三角形問題的簡單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應(yīng)注意“仰角”這一概念的意義，并排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出來.例2某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9 n mileh的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mileh的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時間. 分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為x h，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因?yàn)槿鐖D中的1，2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題.解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為x h，則AB21x n mile，BC9x n mile，AC10 n mile，ACB1245（180105）120根據(jù)余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcos120得（21x）2102（9x）22109xcos120，即36x29x2100解得x1，x2（舍去）AB21x14，BC9x6再由余弦定理可得：cosBAC09286，BAC2147，4521476647.而艦艇方位角為6647，小時即40分鐘.答：艦艇應(yīng)以6647的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘.評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，其范圍是（0，360）.在利用余弦定理建立方程求出x后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利用余弦定理.從上述兩個例題，大家可以看出，實(shí)際問題的解決關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為具體的解三角形問題，從而與我們已知的知識方法產(chǎn)生聯(lián)系.在下面的例題分析中，我們繼續(xù)加以體會.例3如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（1）海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間. 解：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲（在D點(diǎn)）走私船，則CD10t海里，BD10t海里.BC2AB2AC22ABACcosA（1）2222（1）2cos1206BCsinABCABC45，B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD9030120sinBCD，BCD30，DCE903060由CBD120，BCD30，得D30BDBC，即10tt（小時）15（分鐘）答：緝私船沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，需時約15分鐘.例4用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是和,已知B、D間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一個條件，需要再有一邊長被確定，而EAC中有較多已知條件，故可在EAC中考慮EA邊長的求解，而在EAC中有角，EAC180兩角與BDa一邊，故可以利用正弦定理求解EA.解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根據(jù)正弦定理，得AE在RtAEG中，EGAEsinEFEGbb，答：氣球的高度是b.評述：此題也可以通過解兩個直角三角形來解決，思路如下：設(shè)EGx，在RtEGA中，利用cot表示AG；在RtEGC中，利用cot表示CG，而CGAGCABDa，故可以求出EG，又GFCDb，故EF高度可求.例5如圖所示，已知半圓的直徑AB2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC1，點(diǎn)P為半圓上的一個動點(diǎn)，以DC為邊作等邊PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動與POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入POB作為自變量建立函數(shù)關(guān)系.四邊形OPDC可以分成OPC與等邊PDC，SOPC可用OPOCsin表示，而等邊PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決.解：設(shè)POB，四邊形面積為y，則在POC中，由余弦定理得PC2OP2OC22OPOCcos54cosySOPCSPCD12sin（54cos）2sin（）當(dāng)即時，ymax2.評述：本題中余弦定理為表示PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識到這兩個定理的重要性.另外,在求三角函數(shù)最值時,涉及到兩角和正弦公式sin()sincoscossin的構(gòu)造及逆用，應(yīng)要求學(xué)生予以重視.課堂練習(xí)課本P20 練習(xí)1，2，3，4.課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解解斜三角形知識在實(shí)際中的應(yīng)用的同時，掌握由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實(shí)際應(yīng)用題的能力.課后作業(yè)課本P21習(xí)題 1，2，3.4