概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案

真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題四1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故 3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X -1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因,又,由聯(lián)立解得4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？【解】記A=從袋中任取1球?yàn)榘浊颍瑒t 5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.【解】 從而(1)(2)11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求（1） 系數(shù)c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 12.袋中有12個(gè)零件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 -200元 故 (元).14.設(shè)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，記，S2=.（1） 驗(yàn)證=， =；（2） 驗(yàn)證S2=；（3） 驗(yàn)證E（S2）=2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 15.對隨機(jī)變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,計(jì)算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).16.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|1時(shí)， 當(dāng)|y|1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.17.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表18 / 18X -101 PY -101 PXY -101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知XY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨(dú)立的.18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 19.設(shè)（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)XY.【解】 從而同理 又 故 20.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 21.對于兩個(gè)隨機(jī)變量V，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：E（VW）2E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy -Schwarz）不等式.【證】令顯然 可見此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式0，即 故22.假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間X服從參數(shù)=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開機(jī)后無故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間XE(),E(X)=5.依題意Y=min(X,2).對于y<0,f(y)=PYy=0.對于y2,F(y)=P(Xy)=1.對于0y<2,當(dāng)x0時(shí)，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為PXx=1 -e -x,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1 -e -y/5.23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為, Z=k0123Pk因此，(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 24.假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？ 【解】 故得 兩邊取對數(shù)有解得 (毫米)由此可得，當(dāng)u=10.9毫米時(shí)，平均利潤最大.25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=對X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令 則.因?yàn)榧?所以,從而26.兩臺(tái)同樣的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開啟.試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T=T1+T2的概率密度fT(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. 【解】由題意知：因T1,T2獨(dú)立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).當(dāng)t<0時(shí)，fT(t)=0;當(dāng)t0時(shí)，利用卷積公式得故得由于Ti E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X -Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X -Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .28.某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0<p<1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求E（X）和D（X）. 【解】記q=1 -p,X的概率分布為PX=i=qi -1p,i=1,2,，故又 所以 題29圖29.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在點(diǎn)（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY) -E(X)E(Y).由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 30.設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間 -2,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量X= Y=試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計(jì)算（X，Y）的4個(gè)可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.Px= -1,Y= -1=PU -1,U1 PX= -1,Y=1=PU -1,U>1=P=0,PX=1,Y= -1=PU> -1,U1.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以31.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=，（ -<x<+）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并問X與|X|是否不相關(guān)？（3） 問X與|X|是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨(dú)立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對定義域 -<x<+中的子區(qū)間（0,+）上給出任意點(diǎn)x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨(dú)立.32.已知隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)XY= -1/2，設(shè)Z=.（1） 求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)XZ；（3） 問X與Z是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，得X與Z不相關(guān).又因，所以X與Z也相互獨(dú)立.33.將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次數(shù).試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由條件知X+Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=,從而有 所以 故= -1.34.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX -101P0.080.720.2所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0從而 =035.對于任意兩事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,則稱=為事件A和B的相關(guān)系數(shù).試證：（1） 事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是=0；（2） |1. 【證】（1）由的定義知，=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) -P(A)P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨(dú)立的定義，即=0是A和B獨(dú)立的充分必要條件.(2) 引入隨機(jī)變量X與Y為 由條件知，X和Y都服從0 -1分布，即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(),D(Y)=P(B)P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)P(B)所以，事件A和B的相關(guān)系數(shù)就是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二元隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可得|1.36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為.當(dāng)y0時(shí)， ，；當(dāng)0y1時(shí)，；當(dāng)1y<4時(shí)， ；當(dāng)y4時(shí)，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .