教輔高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)空間幾何體的表面積與體積

考點(diǎn)十三空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1(2020天津高考)若棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A12 B24 C36 D144答案C解析正方體的外接球半徑等于正方體的體對(duì)角線長的一半，即外接球半徑R3，所以這個(gè)球的表面積為S4R243236.故選C.2.(2020山東濟(jì)南6月針對(duì)性訓(xùn)練)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切若O1O22，則圓柱O1O2的表面積為()A4 B5C6 D答案C解析因?yàn)樵撉蚺c圓柱的上、下底面，母線均相切，不妨設(shè)圓柱的底面半徑為r，故2rO1O22，解得r1.故該圓柱的表面積為2r22rO1O2246.故選C.3(2020山東聊城三模)最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的數(shù)書九章(1247年)該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測雨”“圓罌測雨”“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”其中“天池測雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸當(dāng)盆中積水深九寸(注：1尺10寸)時(shí)，平地降雨量是()A9寸 B7寸 C8寸 D3寸答案D解析由已知，得天池盆盆口的半徑為14寸，盆底的半徑為6寸，則盆口的面積為196平方寸，盆底的面積為36平方寸又盆高18寸，積水深9寸，則積水的水面半徑為10(寸)，積水的水面面積為100平方寸，積水的體積為V(36100)9588(立方寸)，所以平地降雨量為3(寸)4(2020山東德州高三4月模擬)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC，則球O的體積為()A. B C4 D答案B解析根據(jù)余弦定理，BC2AC2AB22ABACcosBAC3，故BC.根據(jù)正弦定理，2r2，故r1(r為ABC外接圓半徑)，設(shè)R為三棱錐SABC外接球的半徑，則R2r222，故R，故VR3.故選B.5如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EFb<a，若Q是A1D1上的定點(diǎn)，P在C1D1上滑動(dòng)，則四面體PQEF的體積()A是變量且有最大值B是變量且有最小值C是變量無最大、最小值D是常量答案D解析EF是定長，Q到EF的距離就是Q到AB的距離，也為定長，即QEF的底和高都是定值，QEF的面積是定值，C1D1平面QEF，P在C1D1上滑動(dòng)，P到平面QEF的距離是定值即三棱錐PQEF的高也是定值，于是體積固定三棱錐PQEF的體積是定值，即四面體PQEF的體積是定值6(2020全國卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，O1為ABC的外接圓，若O1的面積為4，ABBCACOO1，則球O的表面積為()A64 B48 C36 D32答案A解析設(shè)圓O1的半徑為r，球的半徑為R，依題意，得r24，r2.由正弦定理可得2r，AB2rsin602.OO1AB2.根據(jù)球中圓截面的性質(zhì)得OO1平面ABC，OO1O1A，ROA4，球O的表面積S4R264.故選A.7(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，若線段MN的最小值為1，則()A正方體的外接球的表面積為12B正方體的內(nèi)切球的體積為C正方體的棱長為2D線段MN的最大值為2答案ABC解析設(shè)正方體的棱長為a，則正方體外接球的半徑為體對(duì)角線長的一半，即a；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即.M，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，MNminaa1，解得a2，即正方體的棱長為2，C正確；正方體的外接球的表面積為4()212，A正確；正方體的內(nèi)切球的體積為，B正確；線段MN的最大值為a1，D錯(cuò)誤故選ABC.8(多選)若正三棱柱ABCABC的所有棱長都為3，外接球的球心為O，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是()A其外接球的表面積為21B直線AB與直線BC所成的角為CAOBCD三棱錐OABC的體積為答案ACD解析如圖，球心O到下底面的距離OO，AO3，所以其外接球的半徑R，所以其外接球的表面積為4R221，A正確；直線AB與直線BC所成的角即直線AB與直線BC所成的角，設(shè)其為，在ABC中，cos，故B錯(cuò)誤；由OO平面ABC，得OOBC，O為ABC的重心，則AOBC，故BC平面AOO，即BCAO，故AOBC，C正確；根據(jù)三棱錐的體積公式可得VOABC，D正確二、填空題9(2020浙江高考)已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2，且為半圓，則底面半徑為_答案1解析設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，則解得r1，l2.10學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為圓錐底部挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10 cm，高為10 cm，打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_ g(取3.14)答案358.5解析設(shè)被挖去的正方體的棱長為x cm，圓錐底面半徑為r cm，高為h cm，則，即，解得x5，所以制作該模型所需材料質(zhì)量約為mV0.90.350100.9125358.5 g.11(2020山東泰安二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為_答案144解析如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑的端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VOABCVCAOBR2RR336，故R6，則球O的表面積為S4R2144.12.(2020山東聊城一模)點(diǎn)M，N分別為三棱柱ABCA1B1C1的棱BC，BB1的中點(diǎn)，設(shè)A1MN的面積為S1，平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面的面積為S，五棱錐A1CC1B1NM的體積為V1，三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，則_，_.答案解析如圖所示，延長NM交直線C1C于點(diǎn)P，連接PA1交AC于點(diǎn)Q，連接QM.平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面為四邊形A1NMQ.BB1CC1，M為BC的中點(diǎn)，則PCMNBM.點(diǎn)M為PN的中點(diǎn)A1MN的面積S1SA1NP，QCA1C1，A1QM的面積SA1PM，.BMN的面積S四邊形B1C1CB，五棱錐A1CC1B1NM的體積為V1V四棱錐A1B1C1CB，而四棱錐A1B1C1CB的體積V，.三、解答題13如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，AA13，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)(1)證明：平面BEF平面DA1C1；(2)求三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間部分的體積解(1)證明：E，F(xiàn)分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn)，EFA1C1，EF平面DA1C1，A1C1平面DA1C1，EF平面DA1C1，D，E分別是AB和A1B1的中點(diǎn)，DB綊A1E，四邊形BDA1E是平行四邊形，BEA1D，BE平面DA1C1，A1D平面DA1C1，BE平面DA1C1，BEEFE，平面BEF平面DA1C1.(2)由題圖可知，三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分，可看作三棱臺(tái)DBGA1B1C1減掉三棱錐BB1EF后的剩余部分，SDBGSB1EF12，SA1B1C122，三棱臺(tái)DBGA1B1C1的體積為V13，三棱錐BB1EF的體積V23，三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間部分的體積為VV1V2.14.如圖，已知棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD60，SASD，SB，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱SC上，且，SA平面BEF.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求三棱錐FEBC的體積解(1)連接AC，設(shè)ACBEG，則平面SAC平面EFBFG，SA平面EFB，SAFG，GEAGBC，.SFSC，.(2)SASD，SEAD，SE2，又ABAD2，BAD60，BE，SE2BE2SB2.SEBE，SE平面ABCD，VFEBCVSEBCVSABCD22sin602.一、選擇題1.(2020山東臨沂一模)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中商功有如下問題：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，問積及為粟幾何？”意思是“有粟若干，堆積在平地上，它底圓周長為12丈，高為1丈，問它的體積和粟各為多少？”如圖，主人意欲賣掉該堆粟，已知圓周率約為3，一斛粟的體積約為2700立方寸(單位換算：1立方丈106立方寸)，一斛粟米賣270錢，一兩銀子1000錢，則主人賣后可得銀子()A200兩 B240兩 C360兩 D400兩答案D解析該堆粟的底面半徑為r2，體積V32214立方丈4106立方寸斛，故主人賣后可得銀子2701000400兩故選D.2(2020?？谑懈呖寄M演練)一個(gè)底面邊長為3的正三棱錐的體積與表面積為24的正方體的體積相等，則該正三棱錐的高為()A12 B C D12答案C解析因?yàn)檎襟w的表面積為24，所以其棱長為2，體積為238.設(shè)正三棱錐的高為h，因?yàn)檎忮F的體積與正方體的體積相等，所以33h8，解得h.3.(2020海南中學(xué)高三摸底)已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V()A1 B1 C D1答案A解析根據(jù)平面展開圖，還原幾何體如右圖所示，故該幾何體是由棱長為1的正方體和底邊棱長為1的正四棱錐組合而成則其體積V13111.故選A.4(2020海南高考調(diào)研測試)張衡是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱錐ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB底面BCD，BCCD，且ABCD，BC2，利用張衡的結(jié)論可得球O的表面積為()A30 B10 C33 D12答案B解析因?yàn)锽CCD，所以BD，又AB底面BCD，所以球O的球心為側(cè)棱AD的中點(diǎn)，從而球O的直徑為.利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球O的表面積為421010.故選B.5(2020山東青島三模)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAC，側(cè)棱AA1底面ABC，若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，且球O的表面積的最小值為4，則該三棱柱的側(cè)面積為()A6 B3 C3 D3答案B解析如圖，設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為O1，O2，則O1O2的中點(diǎn)為O，設(shè)球O的半徑為R，則OAR，設(shè)ABBCACa，AA1h，則OO2h，O2AABa，則在RtOO2A中，R2OA2OOO2A2h2a22haah，當(dāng)且僅當(dāng)ha時(shí)，等號(hào)成立，所以S球4R24ah，所以ah4，所以ah，所以該三棱柱的側(cè)面積為3ah3.故選B.6(2020山東安丘模擬)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝. 它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如圖2所示，已知球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為R2.設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1，下部分(半球)的體積為V2，則()A2 B C1 D答案A解析由球的半徑為R，得半球表面積為2R2，又酒杯內(nèi)壁表面積為R2，圓柱的側(cè)面積為R2.設(shè)圓柱的高為h，則2RhR2，即hR.V1R2RR3，V2R3.2.故選A.7(多選)沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的(細(xì)管長度忽略不計(jì))假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則以下結(jié)論正確的是(3.14)()A沙漏中細(xì)沙的體積為 cm3B沙漏的體積是128 cm3C細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4 cmD該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒答案ACD解析對(duì)于A，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比，所以細(xì)沙的底面半徑r4 cm，所以沙漏中細(xì)沙的體積V沙r2 cm3，A正確；對(duì)于B，沙漏的體積V漏22h2428 cm3，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后的高度為h1，根據(jù)細(xì)沙體積不變可知，2h1，所以h1，所以h12.4 cm，C正確；對(duì)于D，因?yàn)榧?xì)沙的體積為 cm3，沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，所以一個(gè)沙時(shí)為501985秒，D正確故選ACD.8.(多選)(2020山東青島一模)已知四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB2，A1B1，AA1BB1CC12，則下述正確的是()A該四棱臺(tái)的高為BAA1CC1C該四棱臺(tái)的表面積為26D該四棱臺(tái)外接球的表面積為16答案AD解析由題意可得該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)由棱臺(tái)的性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐，如圖，由AB2，A1B1可知SA1B1與SAB的相似比為12，所以SA2AA14，AO2，所以SO2，所以O(shè)O1，故該四棱臺(tái)的高為，A正確；因?yàn)镾ASCAC4，所以AA1與CC1的夾角為60，不垂直，B錯(cuò)誤；該四棱臺(tái)的表面積為SS上底S下底S側(cè)284106，C錯(cuò)誤；易知該四棱臺(tái)外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1，B1O11，則OB12OB，即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)B1的距離相等，則該四棱臺(tái)外接球的半徑rOB2，該四棱臺(tái)外接球的表面積為16，D正確，故選AD.二、填空題9已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的側(cè)面積等于_答案4解析圓柱的底面半徑為r1，母線長為l2，其側(cè)面積為S2rl2124.10.(2020江蘇高考)如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是_cm3.答案12解析正六棱柱體積為622212 cm3，挖去的圓柱體積為22 cm3，故此六角螺帽毛坯的體積為 cm3.11(2020江蘇南京金陵中學(xué)、南通海安高級(jí)中學(xué)、南京外國語學(xué)校第四次模擬)設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_答案解析不妨設(shè)V127，V29，故V1a327，所以a3，所以S16a254.如圖所示，因?yàn)閂2hr2r39，所以r3，又lr，所以S2l2rr29，所以.12(2020山東濰坊高密二模)在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AP2，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且AB1，AD3，直線PM與平面ABCD所成的角為.記點(diǎn)M的軌跡長度為，則tan_；當(dāng)三棱錐PABM的體積最小時(shí)，三棱錐PABM的外接球的表面積為_答案8解析如圖，因?yàn)镻A平面ABCD，垂足為A，則PMA為直線PM與平面ABCD所成的角，所以PMA.因?yàn)锳P2，所以AM2，所以點(diǎn)M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，記點(diǎn)M的軌跡為圓弧.連接AF，則AF2.因?yàn)锳B1，AD3，所以AFBFAE，則的長度2，所以tan.當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)F時(shí)，三棱錐PABM的體積最小，又PAFPBF，所以三棱錐PABM的外接球的球心為PF的中點(diǎn)因?yàn)镻F2，所以三棱錐PABM的外接球的表面積S4()28.三、解答題13如圖1，在菱形ABCD中，AB2，DAB60，M是AD的中點(diǎn)，以BM為折痕，將ABM折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A1的位置，且平面A1BM平面BCDM，如圖2.(1)求證：A1MBD；(2)若K為A1C的中點(diǎn)，求四面體MA1BK的體積解(1)證明：在圖1中，連接BD(如圖a)，四邊形ABCD是菱形，DAB60，M是AD的中點(diǎn)，ADBM，故在圖2中，BMA1M，平面A1BM平面BCDM，平面A1BM平面BCDMBM，A1M平面BCDM，又BD平面BCDM，A1MBD.(2)在圖1中，四邊形ABCD是菱形，ADBM，ADBC，BMBC，且BM，在圖2中，連接CM(如圖b)，則VA1BCMSBCMA1M21，K為A1C的中點(diǎn)，VMA1BKVKMA1BVCMA1BVA1BCM.四面體MA1BK的體積為.