高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單元測試2 北師大版選修11
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高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單元測試2 北師大版選修11
6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第四章第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 (時間:100 分鐘,滿分:120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題,每小題 4 分,共 40 分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1使函數(shù)f(x)x 2cos x在0,2上取最大值的x為( ) A0 B.4 C.3 D.2 解析:選 B.f(x)1 2sin x,所以f(x)在0,4上是遞增的,在4,2上是遞減的,所以選 B. 2定義在 R R 上的函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示,則關(guān)于x的不等式xf(x)0,又xf(x)0, 所以x(,1) 當x(1,1)時,f(x)0, 又xf(x)0, 所以x(0,1)綜上可知解集為(,1)(0,1)故選 C. 3函數(shù)f(x)xa x在x1,4上是遞減的,則實數(shù)a的最小值為( ) A1 B2 C3 D4 解析:選 D.依題意得,當x1,4時,f(x)1a2x0,即a2x恒成立注意到x1,4時,y2x的最大值是 2 44,因此,實數(shù)a的最小值為 4,選 D. 4已知f(x)x3ax2(a6)x1 有極大值和極小值,則a的取值集合為( ) Aa|1a2 Ba|3a6 Ca|a2 Da|a6 解析:選 D.f(x)3x22ax(a6), 因為函數(shù)f(x)有極大值和極小值, 所以f(x)0 有兩個不同實根, 即0,(2a)243(a6)0, 解得a6. 5若函數(shù)f(x)12x2mln x在(12,)內(nèi)是遞增的,則實數(shù)m的取值范圍是( ) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 Am14 B0m0 且f(1)0,則f(x)0解集是( ) A(,1) B(0,) C(,1)(0,) D(1,0) 解析:選 C.令F(x)xf(x),由f(x)xf(x)0 知F(x)0,F(xiàn)(x)在 R R 上是遞增的,又f(1)0,所以F(1)0,當x(,1)時,F(xiàn)(x)xf(x)0; 當x(1,)時,F(xiàn)(x)xf(x)0,若x(1,0時,f(x)0,若x(0,)時f(x)0. 故f(x)0 的解集為(,1)(0,) 8已知函數(shù)g(x)ax3bx2cx(aR R 且a0),g(1)0,且g(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(0)f(1)0.若方程f(x)0 有兩個實根,則ba的取值范圍為( ) A23,2 B23,1 C23,1 D23,3 解析:選 C.因為g(x)ax3bx2cx, 所以g(1)abc0,即cba. 又f(x)g(x)3ax22bxc, 由f(0)f(1)0,得c(3a2bc)0, 所以(ba)(3b2a)0. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 因為a0,所以(ba1)(3ba2)0, 解得23ba1. 又 3ax22bxc0(a0)的根的判別式(2b)243ac4b212a(ba)4(b32a)23a20,滿足題意,所以ba的取值范圍是23,1 9已知 e 為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),則( ) A當k1 時,f(x)在x1 處取到極小值 B當k1 時,f(x)在x1 處取到極大值 C當k2 時,f(x)在x1 處取到極小值 D當k2 時,f(x)在x1 處取到極大值 解析: 選 C.當k1 時,f(x)(ex1)(x1), 則f(x)ex(x1)(ex1)exx1,所以f(1)e10,所以f(1)不是極值 當k2 時,f(x)(ex1)(x1)2, 則f(x)ex(x1)22(ex1)(x1)ex(x21)2(x1)(x1)ex(x1)2, 所以f(1)0,且當x1 時,f(x)0;在x1 附近的左側(cè),f(x)1 時,g(x)0,g(x)是遞增的, 當x1 時,g(x)0,g(x)是遞減的,且x趨于,g(x)趨于 0. g(x)最小g(1)1e,g(0)0,所以f(x)y|xex|的圖像如圖, 由題意知,f(x)有兩個不等正值使方程成立設(shè)為a,b(a1e. 由根與系數(shù)的關(guān)系t240tab01ab, 所以taba1a在(0,1e)是遞減的,a1ae1e,故t(e1e),即t的取值范圍為(,e21e)所以選 D. 二、填空題(本大題共 5 小題,每小題 5 分,共 25 分把答案填在題中的橫線上) 11一個邊長為 12 cm 的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長都為x的小正方形,然后做成一個無蓋方盒,要使方盒的容積最大,x的值應(yīng)為_ 解析:V4x(6x)24(x312x236x)(0 x0),令f(x)0 得,0 xe12. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 所以f(x)的遞減區(qū)間是(0,e12) 答案:(0,e12)(寫成(0,e12也正確) 13 已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(1, 1)上的奇函數(shù), 且對于x(1, 1)恒有f(x)0成立,若f(2a22)f(a22a1)0,則實數(shù)a的取值范圍是_ 解析:因為當x(1,1)時,f(x)0, 所以f(x)在(1,1)上是減少的 由題意,得f(2a22)f(a22a1) 又f(x)為奇函數(shù), 所以f(2a22)f(a22a1), 即12a221,1a22a1a22a1.所以1a22. 答案:(1,22) 14若函數(shù)f(x)x3x2ax4 在區(qū)間1,1上恰有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍為_ 解析:f(x)3x22xa,由題意知f(x)在1,1內(nèi)有一個變號零點,有三種情況: (1)若f(1)f(1)0,即(1a)(5a)0,所以 1a0,即1a0,5a0所以a1. (3)若f(1)0,f(1)0即1a0,5a0無解, 故a的取值范圍是1,5) 答案:1,5) 15已知函數(shù)f(x)13x3x23x43,直線l:9x2yc0,若當x2,2時,函數(shù)yf(x)的圖像恒在直線l的下方,則c的取值范圍是_ 解析:由題意知h(x)f(x)9xc20,h(x)在2,2上是遞增的,h(x)最大h(2)3c20, 所以c0,f(x)是遞增的, 當x(3,1)時,f(x)0,f(x)是遞增的, 所以極大值為f(3)6e3,極小值為f(1)2e. 17(本小題滿分 10 分)已知函數(shù)f(x)x32x24x5. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)求f(x)在3,1上的最大值和最小值 解:(1)f(x)x32x24x5, 所以f(x)3x24x4, 令f(x)0,則x23,令f(x)0,則2x23, 所以遞增區(qū)間為(,2),(23,),遞減區(qū)間為(2,23) (2)令f(x)0,得x2 或x23, x 3,2) 2 (2,23) 23 (23,1 f(x) 0 0 f(x) 13 9527 所以x2 為極大值點,x23為極小值點, 又f(3)8,f(2)13,f(23)9527,f(1)4, 所以yf(x)在3,1上的最大值為 13,最小值為9527. 18 (本小題滿分 10 分)已知函數(shù)f(x)x1ln x對任意x(0, ),f(x)2bx恒成立,求實數(shù)b的取值范圍 解:依題意對任意x(0,),f(x)2bx恒成立 等價于x1ln x2bx在(0,)上恒成立 可得b11xln xx在(0,)上恒成立, 令g(x)11xln xx, g(x)ln x2x2, 令g(x)0,得xe2. 列表如下: x (0,e2) e2 (e2,) g(x) 0 g(x) 11e2 所以函數(shù)yg(x)的最小值為g(e2)11e2, 根據(jù)題意b的取值范圍為b|b11e2 19(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)x3ax24x3(xR R) (1)當a2 時,求f(x)在點(1,f(1)處的切線方程; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解:(1)當a2 時,由f(x)x32x24x3 知f(x)3x24x4,f(1)3, 又f(1)2,故所求切線方程為y23(x1),即 3xy10. (2)由f(x)x3ax24x3 知f(x)3x22ax4, 因為f(x)在區(qū)間(1,2)上是遞減的,所以f(x)0 在(1,2)上恒成立, 即 3x22ax40a2x32x, 設(shè)h(x)2x32x,x(1,2), 所以ah(x)minh(2)2, 故實數(shù)a的取值范圍為(,2 20(本小題滿分 13 分)如圖,在半徑為 10 3 cm 的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD,其中點A、B在直徑上,點C、D在圓周上,將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗),記圓柱形罐子的體積為V(cm3) (1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式: 設(shè)ADx cm,將V表示為x的函數(shù); 設(shè)AOD(rad),將V表示為的函數(shù); (2)請您用(1)問中的一個函數(shù)關(guān)系,求圓柱形罐子的最大體積 解:(1)AB2(10 3)2x22r,r300 x2, Vf(x)(300 x2)2x1(x3300 x),0 x10 3. AD10 3sin ,AB20 3cos 2r,r10 3cos , Vg()(10 3cos )210 3sin 3 000 3sin cos2,02. (2)選用f(x):f(x)3(x2100) 3(x10)(x10),0 x10 3, 令f(x)0,則x10. 列表得: x (0,10) 10 (10,10 3) f(x) 0 f(x) 極大值 所以f(x)maxf(10)2 000; 選用g():令tsin ,02,0t1,h(t)3 000 3t(1t2), 所以h(t)3 000 3(3t21)9 000 3(t33)(t33), 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 令h(t)0,則t33. 列表得: t (0,33) 33 (33,1) h(t) 0 h(t) 極大值 所以h(t)maxh(33)2 000,即g()max2 000. 即圓柱形罐子的最大體積為2 000.