高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)13 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修21
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高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)13 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修21
課時分層作業(yè)(十三) 拋物線的簡單幾何性質(zhì)(建議用時:40分鐘)基礎(chǔ)達標(biāo)練一、選擇題1方程y2所表示曲線的形狀是()D方程y2等價于故選D.2過拋物線C:y212x的焦點作直線l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若x1x26,則|AB|()A16 B12C10D8B由題意知p6,故|AB|x1x2p12.3過點(2,4)的直線與拋物線y28x只有一個公共點,這樣的直線有() 【導(dǎo)學(xué)號:46342115】A1條B2條 C3條D4條B點(2,4)在拋物線y28x上,則過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點,故選B.4已知拋物線y22px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 ()Ax1Bx1Cx2Dx2B易知拋物線的焦點為F,所以過焦點且斜率為1的直線的方程為yx,即xy,代入y22px得y22p2pyp2,即y22pyp20,由根與系數(shù)的關(guān)系得p2(y1,y2分別為點A,B的縱坐標(biāo)),所以拋物線的方程為y24x,準(zhǔn)線方程為x1.5設(shè)拋物線y28x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點,PAl,A為垂足,如果直線AF的斜率為,那么|PF|()A4B8 C8D16B設(shè)P(x0,y0),則A(2,y0),又F(2,0)所以,即y04.由y8x0得8x048,所以x06.從而|PF|628.二、填空題6直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個公共點,則k_.0或1當(dāng)k0時,直線與拋物線有唯一交點,當(dāng)k0時,聯(lián)立方程消去y得k2x24(k2)x40,由題意16(k2)216k20,k1.72017設(shè)拋物線y24x的焦點為F,準(zhǔn)線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若FAC120,則圓的方程為_(x1)2(y)21由y24x可得點F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x1.由圓心C在l上,且圓C與y軸正半軸相切(如圖),可得點C的橫坐標(biāo)為1,圓的半徑為1,CAO90.又因為FAC120,所以O(shè)AF30,所以|OA|,所以點C的縱坐標(biāo)為.所以圓的方程為(x1)2(y)21.8拋物線y24x上的點到直線xy40的最小距離為_. 【導(dǎo)學(xué)號:46342116】設(shè)與直線xy40平行且與拋物線y24x相切的直線方程為xym0.由得x2(2m4)xm20則(2m4)24m20,解得m1即直線方程為xy10直線xy40與直線xy10的距離為d.即拋物線y24x上的點到直線xy40的最小距離為.三、解答題9已知拋物線C的頂點在原點,焦點在x軸上,且拋物線上有一點P(4,m)到焦點的距離為6.(1)求拋物線C的方程(2)若拋物線C與直線ykx2相交于不同的兩點A,B,且AB中點橫坐標(biāo)為2,求k的值解(1)由題意設(shè)拋物線方程為y22px,其準(zhǔn)線方程為x,因為P(4,m)到焦點的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離,所以46,所以p4,所以拋物線C的方程為y28x.(2)由消去y,得k2x2(4k8)x40.因為直線ykx2與拋物線相交于不同的兩點A,B,則有k0,64(k1)>0,解得k>1且k0.又2,解得k2或k1(舍去),所以k的值為2.10已知AB是拋物線y22px(p>0)的過焦點F的一條弦設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0)求證:(1)若AB的傾斜角為,則|AB|;(2)x1x2,y1y2p2;(3)為定值. 【導(dǎo)學(xué)號:46342117】證明(1)設(shè)直線AB的方程為xmy,代入y22px,可得y22pmyp20,y1y2p2,y1y22pm,yy2p(x1x2)(y1y2)22y1y24p2m22p2,x1x22pm2p,90時,m0,x1x2p,|AB|x1x2p2p;90時,m,x1x2p,|AB|x1x2p2p.|AB|.(2)由(1)知,y1y2p2,x1x2;(3).能力提升練1已知拋物線x22py(p>0)的焦點為F,過F作傾斜角為30的直線與拋物線交于A,B兩點,若(0,1),則()A. B. C. D.C因為拋物線的焦點為F,故過點F且傾斜角為30的直線的方程為yx,與拋物線方程聯(lián)立得x2pxp20,解方程得xAp,xBp,所以,故選C.2過拋物線C:y24x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點N在l上,且MNl,則M到直線NF的距離為()A.B2 C2D3C拋物線y24x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x1.由直線方程的點斜式可得直線MF的方程為y(x1)聯(lián)立得方程組解得或點M在x軸的上方,M(3,2)MNl,N(1,2)|NF|4,|MF|MN|4.MNF是邊長為4的等邊三角形點M到直線NF的距離為2.故選C.3已知點A(2,0),B(4,0),動點P在拋物線y24x上運動,則取得最小值時的點P的坐標(biāo)是_(0,0)設(shè)P(x0,y0),則(x02,y0),(x04,y0),所以(x02)(x04)y,又y4x0,所以x10x08(x05)217,因為x00,所以當(dāng)x00時,取得最小值此時點P的坐標(biāo)為(0,0)4已知拋物線y24x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則yy的最小值是_. 【導(dǎo)學(xué)號:46342118】32y4x1,y4x2,則yy4(x1x2)若過點P(4,0)的直線垂直于x軸,則直線方程為x4,此時x1x28,yy32,若過點P(4,0)的直線存在斜率,則設(shè)直線方程為yk(x4),由得k2x2(8k24)x16k20,則x1x28>8,此時yy>32因此yy的最小值為32.5已知點A,B是拋物線y22px(p>0)上的兩點,且OAOB.(1)求兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積(2)求證:直線AB過定點解(1)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則有kOA,kOB.因為OAOB,所以kOAkOB1,所以x1x2y1y20.因為y2px1,y2px2,所以y1y20.因為y10,y20,所以y1y24p2,所以x1x24p2.(2)證明:因為y2px1,y2px2,兩式相減得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2),所以,所以kAB,故直線AB的方程為yy1(xx1),所以yy1,即y.因為y2px1,y1y24p2,代入整理得y,所以y(x2p),即直線AB過定點(2p,0).6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375