高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式學(xué)案 新人教A版必修4

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式(重點)2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明(難點)3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用(易錯點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2sin 22sin_cos_C2cos 2cos2sin2T2tan 22余弦的二倍角公式的變形3正弦的二倍角公式的變形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1±sin 2(sin_±cos_)2.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角()(2)存在角，使得sin 22sin 成立()(3)對于任意的角，cos 22cos 都不成立()解析(1)×.二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且±k(kZ)，故此說法錯誤(2).當(dāng)k(kZ)時，sin 22sin .(3)×.當(dāng)cos 時，cos 22cos .答案(1)×(2)(3)×2sin 15°cos 15°_.sin 15°cos 15°×2sin 15°cos 15°sin 30°.3cos2_.cos2×.4若tan 2則tan 2_.tan 2.合 作 探 究·攻 重 難給角求值(1)coscoscos的值為()ABCD(2)求下列各式的值：cos415°sin415°；12sin275°；. 【導(dǎo)學(xué)號：84352329】(1)D(1)coscos，coscos，coscoscoscoscoscos.(2)cos415°sin415°(cos215°sin215°)(cos215°sin215°)cos215°sin215°cos 30°.12sin275°1(1cos 150°)cos 150°cos 30°.2×2×2.4.規(guī)律方法對于給角求值問題，一般有兩類：(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值(1)cos 72°cos 36°；(2).解(1)cos 36°cos 72°.(2)原式4.給值求值、求角問題(1)已知cos，求cos的值；(2)已知，且sin 2sin，求.思路探究依據(jù)以下角的關(guān)系設(shè)計解題思路求解：(1)與2，與2具有2倍關(guān)系，用二倍角公式聯(lián)系；(2)2與2差，用誘導(dǎo)公式聯(lián)系解(1)，.cos0，sin，cos 2sin2sincos2××，sin 2cos12cos212×2，coscos 2sin 2××.(2)sin 2cos12cos2，sinsincoscos，原式可化為12cos2cos，解得cos1或cos.，故0或，即或.母題探究：1.在例2(1)的條件下，求sin 4的值解由例2(1)解析知sin 42sin 2cos 22××.2將例2(1)的條件改為sin，0x，求的值解0x，x.又sin，cos.又cos 2xsin2sincos2××，cossinsin，原式.規(guī)律方法解決條件求值問題的方法(1)有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.(2)當(dāng)遇到f(,4)±x這樣的角時可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論溝通.cos 2xsin類似的變換還有：化簡證明問題探究問題1解答化簡證明問題時，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情況，通常要如何處理？提示：通常要切化弦后再進(jìn)行變形2證明三角恒等式時，通常的證明方向是什么？提示：由復(fù)雜一側(cè)向簡單一側(cè)推導(dǎo)(1)化簡：_.(2)證明：4. 思路探究(1)通分變形(2)(1)tan 2(1)原式tan 2.(2)左邊4右邊，所以原等式成立規(guī)律方法證明三角恒等式的原則與步驟(1)觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明恒等式的一般步驟：先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.跟蹤訓(xùn)練2求證：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.證明(1)左邊(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右邊，等式成立(2)法一：左邊cos2cos2sin2cos 2右邊法二：右邊cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左邊當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1下列各式中，值為的是()A2sin 15°cos 15°Bcos215°sin215°C2sin215°Dsin215°cos215°B2sin 15°cos 15°sin 30°；cos215°sin215°cos 30°；2sin215°1cos 30°1；sin215°cos215°1，故選B.2(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()Af(x)的最小正周期為，最大值為3Bf(x)的最小正周期為，最大值為4Cf(x)的最小正周期為2，最大值為3Df(x)的最小正周期為2，最大值為4B易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos 2x，則f(x)的最小正周期為，當(dāng)xk(kZ)時，f(x)取得最大值，最大值為4.3若sin 3cos ，則_.66.4設(shè)sin 2sin ，則tan 2的值是_.sin 2sin ，2sin cos sin .由知sin 0，cos ，tan 2tantan.5已知，cos .(1)求tan 的值；(2)求sin 2cos 2的值解(1)因為cos ，所以sin ，所以tan .(2)因為sin 22sin cos ，cos 22cos21，所以sin 2cos 2.我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。