高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國(guó)新課標(biāo)數(shù)學(xué)文科高考備考方法策略：專題篇數(shù)列 4一類數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 Word版含答案

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5一類數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 定理1 對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，有：(1)若對(duì)N*恒成立，則對(duì)N*也恒成立；(2)若對(duì)N*恒成立，則對(duì)N*也恒成立.證明 (1).(2)同理可證.定理2 對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，有：(1)若對(duì)N*恒成立，則對(duì)N*也恒成立；(2)若對(duì)N*恒成立，則對(duì)N*也恒成立.定理3 對(duì)于數(shù)列，有：(1)若對(duì)N*恒成立，則有對(duì)N*也恒成立；(2)若對(duì)N*恒成立，則有對(duì)N*也恒成立.證明 (1).(2)同理可證.定理4 對(duì)于數(shù)列，有：(1)若對(duì)N*恒成立，則有對(duì)N*也恒成立；(2)若對(duì)N*恒成立，則有對(duì)N*也恒成立.(請(qǐng)讀者思考：定理2-1，定理2-3的結(jié)論中的等號(hào)何時(shí)取到？)題1 (高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科第17題)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明：.解 (1)略.(2)只證時(shí)的情形.易得，所以.由定理2-2(2)，得，所以得欲證成立.題2 (高考全國(guó)大綱卷理科第22題)函數(shù)f(x)ln(x1)(a>1)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a11，an1ln(an1)，證明：<an.解 (1)(1)易知f(x)的定義域?yàn)?1，)，f(x).(i)當(dāng)1<a<2時(shí)，若x(1，a22a)，則f(x)>0，所以f(x)在(1，a22a)是增函數(shù)；若x(a22a，0)，則f(x)<0，所以f(x)在(a22a，0)是減函數(shù)；若x(0，)，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)是增函數(shù)(ii)當(dāng)a2時(shí)，若f(x)0，f(x)0成立當(dāng)且僅當(dāng)x0，所以f(x)在(1，)是增函數(shù). (iii)當(dāng)a>2時(shí)，若x(1，0)，則f(x)>0，所以f(x)在(1，0)是增函數(shù)；若x(0，a22a)，則f(x)<0，所以f(x)在(0，a22a)是減函數(shù)；若x(a22a，)，則f(x)>0，所以f(x)在(a22a，)是增函數(shù)(2)用數(shù)學(xué)歸納法易證.當(dāng)a2時(shí)，由(1)的結(jié)論知，f(x)在(0，3)上是增函數(shù)，所以，即，所以.由定理3(2)，得.當(dāng)a3時(shí)，由(1)的結(jié)論知，f(x)在(0，3)上是減函數(shù)，所以，即，所以.由定理3(1)，得.所以<an.題3 (高考廣東卷理科第19題)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足N*，且成等差數(shù)列.(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.解 (1)(過(guò)程略).(2)(過(guò)程略).(3)只證時(shí)的情形.當(dāng)時(shí)，得，把這兩式相減，得.由(1),(2)問(wèn)的答案知，所以N*).所以.由定理2-2(2)，得，所以 得欲證成立.題4 (高考安徽卷理科第21題)設(shè)數(shù)列滿足N*，其中為實(shí)數(shù).(1)證明：對(duì)任意N*成立的充分必要條件是；(2)設(shè)，證明：N*；(3)略.證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2)：即證，由結(jié)論(1)及定理1(2)知，只需證明，理由是.題5 (高考浙江卷理科第22題)已知函數(shù)，數(shù)列的第一項(xiàng)，以后各項(xiàng)按如下方式?jīng)Q定：曲線在點(diǎn)處的切線與經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線平行.當(dāng)N*時(shí)，求證：(1)；(2).證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2)：因?yàn)?，可得，所以由定?(1)及其證明，得.又，對(duì)于數(shù)列用定理1(2)及其證明，得.題6 (1)(高考陜西卷文科第22(3)題)設(shè)，比較與的大小，并說(shuō)明理由.(2)(華約自主招生數(shù)學(xué)試題第7題)(i)設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；(ii)若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列遞減，且.證明 (1)略.(2)(i)略.(ii)易用數(shù)學(xué)歸納法證得.先證數(shù)列遞減：由(i)的結(jié)論，得，又，所以，即遞減.再證.只證時(shí)的情形.由(1)的結(jié)論，可得.再由定理2-2(1)，得.題7 設(shè)數(shù)列滿足N)，求證：N*).證明 當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，得得證明成立.