專題43 商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系法求三角函數(shù)值(解析版)
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專題43 商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系法求三角函數(shù)值(解析版)
專題43 商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系法求三角函數(shù)值一、單選題1已知,則( )ABCD【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值,再利用誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得,因此,.故選:D.2若,且是第二象限角,則( )ABCD【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系,由題中條件先求正弦,進(jìn)而可求出正切.【詳解】因?yàn)?,且是第二象限角,所以,因?故選:B.3已知是第四象限角,且,則( )ABCD【答案】A【分析】由題求出,再求得解.【詳解】,是第四象限角,則,故選:A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:三角恒等變換常用的方法:三看(看角看名看式)三變(變角變名變式).要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.4若,則的值為( )A2B3C4D6【答案】B【分析】先利用代換,再由可化簡得解.【詳解】,又,.故選:B5在中,角、的對邊分別為、,已知,若最長邊為,則最短邊長為( )ABCD【答案】A【分析】先結(jié)合角的范圍利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得角的正余弦,再利用三角形內(nèi)角和為和誘導(dǎo)公式計(jì)算角的正余弦,判斷c為最大邊,為最短邊,利用正弦定理求出即可.【詳解】由知,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得,由知,得,即為鈍角,為最大角,故c為最大邊,有,由知,最短邊為,于是由正弦定理,即求得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于通過計(jì)算內(nèi)角的正余弦值判斷c為最大邊,為最短邊,才能再利用已知條件和正弦定理計(jì)算突破答案.6己知,則的值為( )ABCD【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得的值,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得,則,因此,.故選:A.7已知,則等于( )ABCD【答案】D【分析】求出的范圍,用上平方關(guān)系即可求解.【詳解】解:,故選:D.8化簡的結(jié)果是( )ABC1D【答案】C【分析】應(yīng)用平方關(guān)系化簡即可.【詳解】解:原式故選:C9已知,且是第四象限角,那么的值是( )ABCD【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式對已知式子和所求式子進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式:,所以,故.故選:B【點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式的記憶方法:奇變偶不變,符號看象限.10在中,則的面積為( )ABCD【答案】A【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求,再運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,故,所以的面積為.故選:A.11已知數(shù)列首項(xiàng),且當(dāng)時(shí)滿足,若的三邊分別為、,則最大角的正弦值為( )ABCD【答案】D【分析】由題意得數(shù)列為等差數(shù)列,則可求出、,然后利用余弦定理求解最大角的余弦值,再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解出最大角的正弦值.【詳解】解:由題意知:當(dāng)時(shí),滿足,則數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,則、分別為,設(shè)中最大角為,則最大角的余弦值為:,又,最大角的正弦值為.故選:D.12已知,則( )ABCD【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角公式可求得,利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由得:,.故選:.13已知,在第二象限內(nèi),那么的值等于( )ABCD以上都不對【答案】A【分析】結(jié)合各個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得,利用二倍角公式構(gòu)造方程,結(jié)合終邊位置可確定結(jié)果.【詳解】在第二象限內(nèi),由得:,解得:,即,在第二象限內(nèi),為第一或第三象限角,.故選:.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:求解三角函數(shù)值時(shí),需注意角所處的范圍,從而確定所求三角函數(shù)值的符號.14已知,則( )ABCD【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式,可得的值,根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系,結(jié)合的范圍,可求得的值,即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,又,所以為第二象限角,所以所以故選:A二、解答題15已知,且是第四象限角.(1)求和的值;(2)求的值;【答案】(1),;(2).【分析】(1)根據(jù)象限和公式求出的正弦,再用倍角公式計(jì)算即可(2)求出角正切值,再展開,代入計(jì)算即可.【詳解】解:(1),由得,又是第四象限角,.(2)由(1)可知,.16已知(1)求及的值;(2)求的值【答案】(1),;(2).【分析】(1)在等式兩邊平方可求得的值,計(jì)算出的值,判斷出的符號,即可求得的值;(2)聯(lián)立方程組求出、的值,利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值.【詳解】(1)在等式兩邊平方可得,解得,則,所以,因此,;(2)由已知條件可得,解得,因此,.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:求解有關(guān)、關(guān)系的問題時(shí),常用以下公式求解:(1);(2).17已知(1)若為第三象限角,且,求的值(2)若,且,求函數(shù)的最小值,并求出此時(shí)對應(yīng)的x的值【答案】(1) (2) 函數(shù)的最小值為1,此時(shí)【分析】(1)先化簡函數(shù)解析式得,則由條件可得,得出答案.(2)由條件可得,則由,設(shè),根據(jù)二次函數(shù)即可得出答案.【詳解】由已知有(1)若為第三象限角,且,則,則(2),設(shè)即,當(dāng),即 時(shí),有最小值1所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查根據(jù)三角函數(shù)求值和將函數(shù)化為的二次式求最值,解答本題的關(guān)鍵是由將函數(shù)化為二次式,根據(jù)求最小值,屬于中檔題.18已知,(1)化簡;(2)若,求【答案】(1);(2)當(dāng)是第二象限角時(shí), ,當(dāng)是第三象限角時(shí),【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角公式化簡可得結(jié)果;(2)由得,再討論的象限可求得結(jié)果.【詳解】(1)(2),可得,是第二或第三象限角,當(dāng)是第二象限角時(shí),當(dāng)是第三象限角時(shí),【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:掌握誘導(dǎo)公式和同角公式是解題關(guān)鍵.19已知,且為第二象限角(I)求:的值;(II)求:的值【答案】();().【分析】()根據(jù)題意以及同角基本關(guān)系可知,再利用二倍角公式即可求出結(jié)果;()根據(jù)()的結(jié)果利用兩角差余弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】(),又為第二象限角,得,;()20已知,(1)求證:(2)若為第一象限角,為第四象限角,求的值【答案】(1)證明見解析;(2)【分析】(1)分別將已知條件展開,兩式相減、相加可得,的值,兩式相除即可求證;(2)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合角所在的象限求出、的值,利用即可求解.【詳解】(1)由題意可得:得得得:,即(2)若為第一象限角,因?yàn)闉榈谒南笙藿牵?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系,要證,化切為弦即證,所以想到將已知條件展開,給值求值型的關(guān)鍵是用已知角表示所要求的角,即.21設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c且,.(1)求;(2)當(dāng)取最小值時(shí),求的面積.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)已知條件利用正弦定理化邊為角得到,再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得,最后利用誘導(dǎo)公式即得;(2)結(jié)合余弦定理化簡,求二次函數(shù)取最小值時(shí)的取等號條件即確定邊,再結(jié)合,利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】解:(1)由正弦定理及與得:,(R是的外接圓半徑)兩式相除,得設(shè),B是的內(nèi)角,由得,即得,.(2)由(1)及余弦定理知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值.又,.最小時(shí)的面積為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:解有關(guān)三角形的題目時(shí),要有意識地根據(jù)已知條件判斷用哪個(gè)定理更合適. 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí),要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理.22已知.(1)求的值.(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)把平方即得解;(2)求出,即得解.【詳解】解:(1),.(2),又,原式.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解答本題的關(guān)鍵是判斷的符號,要結(jié)合的范圍判斷.23已知,其中(1)求的值;(2)求的值【答案】(1);(2).【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式可得出,根據(jù)題意可得出關(guān)于、的值,求出、的值,利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值;(2)將所求代數(shù)式變形為,在分式的分子和分母中同時(shí)除以,利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】(1),由誘導(dǎo)公式可得,由已知可得,解得,因此,;(2).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:三角函數(shù)求值問題中已知,求關(guān)于、的代數(shù)式的值時(shí),一般利用弦化切公式后直接代入的值,在關(guān)于、的齊次式中,常常利用弦化切的方程轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式.24設(shè)是鈍角,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)及題干條件,可求得的值,根據(jù)即可得答案;(2)根據(jù)(1)可得的值,利用兩角和的余弦公式,即可求得答案.【詳解】(1)是鈍角,根據(jù),解得,所以.(2),.25(1)若,求、;(2)若,求的值.【答案】(1)答案見解析;(2).【分析】(1)分為第二象限角和第三象限角兩種情況討論,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得、的值;(2)在所求分式的分子和分母中同時(shí)除以,利用弦化切思想可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】(1),則角為第二象限角或第三象限角.若角為第二象限角,則,;若角為第三象限角,則,.綜上所述,若角為第二象限角,;若角為第三象限角,則,;(2),.26已知,為銳角,.(1)求的值.(2)求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式即可求值;(2)先求出,再利用即可求解.【詳解】解:(1)由題意知:為銳角,且,解得:,;(2)由(1)知,則,故.27已知,且為第三象限角.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2),.【分析】(1)將化為即可求出;(2)由,即可求出.【詳解】(1),;(2),即,即,為第三象限角,.28已知,且是第四象限的角(1)求;(2)【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系,先求出余弦值,再求正切值即可;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系,將原式化簡整理,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)椋堑谒南笙薜慕牵?,因此;?)由(1)可得:.29(1)若,求的值;(2)已知,求的值【答案】(1);(2).【分析】(1)由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得,再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為,即可得解;(2)由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得,進(jìn)而可得,即可得解.【詳解】(1)因?yàn)椋?原式=;(2)因?yàn)?,所以,所以,則,因?yàn)椋?,所?0已知,求和的值【答案】; .【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及兩角和的正弦求解即可.【詳解】解:,31已知,(1)求的值;(2)求的值【答案】(1);(2).【分析】(1)先根據(jù)的值和二者的平方關(guān)系聯(lián)立求得 的值,再把平方即可求出;(2)結(jié)合(1)求,的值,最后利用商數(shù)關(guān)系求得的值,代入即可得解【詳解】(1),,,.(2)由,解得,【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:三角恒等常用的方法:三看(看角、看名、看式),三變(變角、變名、變式).32的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知.(1)求;(2)若,求的面積,并求的最小值.【答案】(1);(2);.【分析】(1)利用兩角和的正切公式展開,根據(jù)角A的范圍,可求得的值,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,即可求得答案;(2)利用數(shù)量積公式,結(jié)合(1),可求得的值,代入面積公式,即可求得的面積;利用余弦定理,可求得的表達(dá)式,結(jié)合基本不等式,可求得的最小值.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,則,因?yàn)?,所以(舍去? 因?yàn)?,所以?因?yàn)?,所以,? (2)因?yàn)椋?所以, ,所以的面積. 由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即等號成立, 所以的最小值為.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正余弦定理,面積公式,并靈活應(yīng)用,在利用數(shù)量積公式時(shí),需注意兩向量的夾角為銳角還是鈍角,考查分析理解,計(jì)算求值的能力,屬基礎(chǔ)題.三、填空題33若且,則_【答案】【分析】先由已知求出,再由商數(shù)關(guān)系即可求出.【詳解】且,.故答案為:.34已知,且有,則_.【答案】【分析】運(yùn)用正弦、余弦的二倍角公式化簡已知等式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】,因?yàn)?,所以,因此由,而,把代入得:,而,因?故答案為:35已知,則_【答案】【分析】根據(jù)同角平方關(guān)系,先求出,再根據(jù)商數(shù)關(guān)系,求出.【詳解】由,可得,則根據(jù)商數(shù)關(guān)系得.故答案為:.36已知,則_.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求,再利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,可?所以,故答案為:.37已知,則_【答案】【分析】由已知結(jié)合范圍,可得,利用平方差公式即可計(jì)算求解【詳解】因?yàn)?,所以,又,所以,又,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)求值,解題的關(guān)鍵是會(huì)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題38已知角是第四象限角,且滿足,則_【答案】【分析】由題可得,進(jìn)而得出,即可求出.【詳解】,即,角是第四象限角,.故答案為:.39,則_【答案】【分析】將平方,求出的值,再利用弦化切即可求解.【詳解】 ,所以,所以.故答案為:40已知,則_.【答案】【分析】由條件結(jié)合三角函數(shù)的同角基本關(guān)系可解出,然后可得答案.【詳解】因?yàn)椋钥山獾盟怨蚀鸢笧椋?1若,是第三象限角,則_.【答案】【分析】先化簡,再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可得答案.【詳解】解:,為第三象限角,故答案為:【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合半角公式化簡,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.42已知且,則_.【答案】【分析】本題考查同角三角函數(shù)及其關(guān)系,借助公式,求解即可,求解時(shí)需要判定符號的正負(fù).【詳解】解:法一:由可得,代入解得,因?yàn)?,所以,所?法二:由且可取終邊上的一點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)三角函數(shù)終邊定義公式.故答案為:.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:同角三角函數(shù)基本關(guān)系的3個(gè)應(yīng)用技巧:(1)弦切互化利用公式實(shí)現(xiàn)角的弦切互化;(2)和(差)積轉(zhuǎn)換利用進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化;(3)巧用“1”的變換.43已知,則=_【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式可得cos的值,及的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tan的值即可【詳解】cos,sin,,故答案為:44已知,則_【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系,可得的值,即可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,故答案為?5已知,則_.【答案】【分析】根據(jù)的范圍,先利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出,再根據(jù),即可求出.【詳解】解:,又,.故答案為:.46已知,則_.【答案】【分析】結(jié)合二倍角余弦公式解方程求得,由同角三角函數(shù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】,或(舍),.故答案為:.47已知,是第二象限角,則_.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式,先求出,再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系,求出,進(jìn)而可得出正切值.【詳解】因?yàn)?,所以,又是第二象限角,所以,則,所以.故答案為:.48已知,則 _.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得的值,由此求得的值.【詳解】依題意,兩邊平方得,而,所以,所以.由解得,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】知道其中一個(gè),可通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得另外兩個(gè),在求解過程中要注意角的范圍.49已知,則_【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求出.【詳解】,.故答案為:.50在中,若,則_.【答案】【分析】根據(jù)題意及即可求解.【詳解】解:將兩邊平方得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】解決同三角函數(shù)問題:(1)利用可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化,開方時(shí)要根據(jù)角所在象限確定符號;利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化;(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用:對于這三個(gè)式子,利用,可以知一求二;(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用:.