新課標高三數(shù)學一輪復習 第11篇 復數(shù)的概念與運算學案 理
高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第六十九課時 復數(shù)的概念與運算(課前預習案)考綱要求1.了解復數(shù)的有關(guān)概念及復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義。2.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除的運算法則。3.了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關(guān)系及擴充的基本思想?;A(chǔ)知識梳理1復數(shù):形如 的數(shù)叫做復數(shù),其中a , b分別叫它的 和 2分類:設(shè)復數(shù):(1) 當 0時,z為實數(shù);(2) 當 0時,z為虛數(shù);(3) 當 0, 且 0時,z為純虛數(shù).3復數(shù)相等:如果兩個復數(shù) 相等且 相等就說這兩個復數(shù)相等.4共軛復數(shù):當兩個復數(shù)實部 ,虛部 時這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)(當虛部不為零時,也可說成互為共軛虛數(shù))5若zabi, (a, bR), 則 | z | ; z .6復平面:建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面, x軸叫做 , 叫虛軸7復數(shù)zabi(a, bR)與復平面上的點 建立了一一對應的關(guān)系8兩個實數(shù)可以比較大小、但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù),就 比較它們的大小.9. 復數(shù)的運算:(1)(a+bi) (c+di)= ;(2)(a+bi)(c+di)= ; (3)(a+bi)(c+di)= ;(4)i具有周期性:4n+1= ;4n+2= ; 4n+3= ; 4n= ;n+n+1+n+2+n+3 = (nN)(1+i)2 ; (1-i)2 ; ; . 預習自測1 i是虛數(shù)單位,則i_.2 若復數(shù)(1i)(1ai)是純虛數(shù),則實數(shù)a_.3 復數(shù)(34i)i(其中i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4 (20xx浙江)把復數(shù)z的共軛復數(shù)記作,i為虛數(shù)單位若z1i,則(1z)等于()A3i B3iC13i D35 (20xx北京)設(shè)a,bR.“a0”是“復數(shù)abi是純虛數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件第六十九課時 復數(shù)的概念與運算(課堂探究案)典型例題考點1.復數(shù)的概念【典例1】 (1)已知aR,復數(shù)z12ai,z212i,若為純虛數(shù),則復數(shù)的虛部為()A1 Bi C. D0(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR),z232i,則“m1”是“z1z2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件【變式1】(1)(20xx年高考上海卷(理)設(shè),是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m=_(2)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(理)已知a, bR, i是虛數(shù)單位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 則a + bi = _.考點2.復數(shù)的運算【典例2】(1)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學(理)設(shè)復數(shù)滿足,則()ABCD(2)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(理)復數(shù)的模為()ABCD(3)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(理)已知是虛數(shù)單位,則()ABCD【變式2】 (1)已知復數(shù)z,是z的共軛復數(shù),則z_.(2)復數(shù)的值是_(3)已知復數(shù)z滿足2i,則z_.考點3.復數(shù)的幾何意義【典例3】(1)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(理)若復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi),對應的點的坐標是()ABCD(2)(20xx年高考湖南卷(理)復數(shù)在復平面上對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限 (3)(20xx年高考湖北卷(理)在復平面內(nèi),復數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限(4)(20xx年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(理)已知復數(shù)的共軛復數(shù)(i為虛數(shù)單位),則在復平面內(nèi)對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【變式3】已知z是復數(shù),z2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位),且復數(shù)(zai)2在復平面內(nèi)對應的點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍當堂檢測1 (20xx廣東)設(shè)i為虛數(shù)單位,則復數(shù)等于()A65i B65iC65i D65i2 (20xx山東)若復數(shù)z滿足z(2i)117i(i為虛數(shù)單位),則z為()A35i B35iC35i D35i3 (20xx福建)若復數(shù)z滿足zi1i,則z等于()A1i B1i C1i D1i4 若1bi,其中a,b都是實數(shù),i是虛數(shù)單位,則|abi|等于()A. B. C. D15 (20xx上海)計算:_(i為虛數(shù)單位)第六十九課時 復數(shù)的概念與運算(課后鞏固案) A組全員必做題1 (20xx湖北)方程x26x130的一個根是()A32i B32iC23i D23i2 設(shè)f(n)nn(nN*),則集合f(n)中元素的個數(shù)為()A1 B2 C3 D無數(shù)個3 對任意復數(shù)zxyi(x,yR),i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A|z|2y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x|y|4 (20xx湖南)已知復數(shù)z(3i)2(i為虛數(shù)單位),則|z|_.5設(shè)復數(shù)z滿足i(z1)32i(i為虛數(shù)單位),則z的實部是_6 (20xx江蘇)設(shè)a,bR,abi(i為虛數(shù)單位),則ab的值為_B組提高選做題1 已知復數(shù)z滿足12i,則復數(shù)z_.2已知復數(shù)zxyi,且|z2|,則的最大值為_3.已知復數(shù)z1滿足(z12)(1i)1i(i為虛數(shù)單位),復數(shù)z2的虛部為2,且z1z2是實數(shù),求z2.4復數(shù)z1(10a2)i,z2(2a5)i,若1z2是實數(shù),求實數(shù)a的值5.已知復數(shù)z,且|z|2,求|zi|的最大值,以及取得最大值時的z.第六十九課時復數(shù)的概念與運算參考答案預習自測1 答案i解析iii.2 答案1解析由(1i)(1ai)(1a)(a1)i是純虛數(shù)得,由此解得a1.3答案B解析由于(34i)i43i,因此該復數(shù)在復平面上對應的點的坐標是(4,3),相對應的點位于第二象限,選B.4答案A解析(1z)(2i)(1i)3i.5答案B解析當a0,且b0時,abi不是純虛數(shù);若abi是純虛數(shù),則a0.故“a0”是“復數(shù)abi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.典型例題【典例1】【答案】(1)A(2)A解析(1)由i是純虛數(shù),得a1,此時i,其虛部為1.(2)由,解得m2或m1,所以“m1”是“z1z2”的充分不必要條件【變式1】(1)m=-2. (2) 【典例2】(1)A;(2)B ;(3)B 【變式2】答案(1)(2)16(3)i解析(1)方法一|z|,z|z|2.方法二z,z.(2)2416.(3)由2i,得ziiiii.【典例3】(1)C ;(2)B ;(3)D ;(4)D 【變式3】解設(shè)zxyi(x、yR),z2ix(y2)i,由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i,由題意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i,根據(jù)條件,可知,解得2<a<6,實數(shù)a的取值范圍是(2,6)當堂檢測1答案D解析(5i6i2)(5i6)65i,故選D.2答案A解析z(2i)117i,z35i.3答案A解析方法一由zi1i得z11i.方法二設(shè)zabi(a,bR),由zi1i,得(abi)i1i,即bai1i.由復數(shù)相等的充要條件得即z1i.4答案A解析由1bi得a2,b1,所以abi2i,所以|abi|.所以選A.5答案12i解析12i. A組全員必做題1答案A解析方法一x32i,故應選A.方法二令xabi,a,bR,(abi)26(abi)130,即a2b26a13(2ab6b)i0,解得即x32i,故應選A.2 答案C解析f(n)nnin(i)n,f(1)0,f(2)2,f(3)0,f(4)2,f(5)0,集合中共有3個元素3答案D解析xyi(x,yR),|z|xyixyi|2yi|2y|,A不正確;對于B,z2x2y22xyi,故不正確;|z|2y|2x不一定成立,C不正確;對于D,|z|x|y|,故D正確4答案10解析方法一z(3i)2,|z|(3i)2|3i|210.方法二z(3i)296ii286i,|z|10.5答案1解析設(shè)zabi(a、bR),由i(z1)32i,得b(a1)i32i,a12,a1.6答案8解析(2515i)53i,a5,b3.ab8.B組提高選做題1 答案i解析zi.2答案解析|z2|,(x2)2y23.由圖可知max.3.解(z12)(1i)1iz12i.設(shè)z2a2i,aR,則z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R,a4.z242i.4解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是實數(shù),a22a150,解得a5或a3.又(a5)(a1)0,a5且a1,故a3.5.解方法一設(shè)zxyi(x,yR),|z|2,x2y24,|zi|xyii|x(y1)i|.y24x24,2y2.故當y2時,52y取得最大值9,從而取最大值3,此時x0,即|zi|取得最大值3時,z2i.方法二類比實數(shù)絕對值的幾何意義,可知方程|z|2表示以原點為圓心,以2為半徑的圓,而|zi|表示圓上的點到點A(0,1)的距離如圖,連接AO并延長與圓交于點B(0,2),顯然根據(jù)平面幾何的知識可知,圓上的點B到點A的距離最大,最大值為3,即當z2i時,|zi|取得最大值3.