高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學(xué)案 理 北師大版

第六節(jié)拋物線考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用(對應(yīng)學(xué)生用書第141頁)基礎(chǔ)知識填充1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y0x0焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0知識拓展已知y22px，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，l的傾斜角為，如圖8­6­1，則圖8­6­1(1)|AB|x1x2p；(2)x1x2，y1y2p2；(3)；(4)SAOB；(5)|CD|2p，即通徑，通徑是過拋物線焦點(diǎn)弦中最短的弦基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準(zhǔn)線方程為y1.3(教材改編)若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()ABCD0BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y，設(shè)M(x，y)，則y1，y.4頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(4，2)的拋物線方程是_x28y設(shè)拋物線的方程為x2my，將點(diǎn)P(4，2)代入x2my，得m8，所以拋物線方程是x28y.5(20xx·浙江高考)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_9設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x1的距離為x1，由拋物線的定義知x110，x9，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.(對應(yīng)學(xué)生用書第142頁)拋物線的定義及應(yīng)用(1)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個交點(diǎn)，若4 ，則|QF|()ABC3D2(2)(20xx·全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.(1)C(2)6(1)4 ，|4|，.如圖，過Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|4，|QQ|3.根據(jù)拋物線定義可知|QF|QQ|3.(2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.規(guī)律方法應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化.(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x|或|PF|y|.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y24x上的一個動點(diǎn)，Q是圓(x3)2(y1)21上的一個動點(diǎn)，N(1,0)是一個定點(diǎn)，則|PQ|PN|的最小值為()A3B4C5 D1(2)動圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：79140289】(1)A(2)y24x(1)由拋物線方程y24x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合過圓(x3)2(y1)21的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.(2)設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)(20xx·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2B4C6D8(1)D(2)B(1)將yax2化為x2y.當(dāng)a>0時，準(zhǔn)線y，則36，a.當(dāng)a<0時，準(zhǔn)線y，則6，a.拋物線方程為x212y或x236y.(2)設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.規(guī)律方法1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可.(2)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量.2.研究拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程，必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，正確的求出p.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線的方程為 ()Ay26xBy28xCy216xDy2(2)若拋物線y22x上一點(diǎn)M到它的焦點(diǎn)F的距離為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MFO的面積為()A BC D(1)B(2)B(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由拋物線定義知x2p，所以xp，所以y±p.又MFO的面積為4，所以××p4，解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.(2)由題意知，拋物線準(zhǔn)線方程為x.設(shè)M(a，b)，由拋物線的定義可知，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為，所以a1，代入拋物線方程y22x，解得b±，所以SMFO××.直線與拋物線的位置關(guān)系角度1直線與拋物線的交點(diǎn)問題(20xx·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N，連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由解(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，故N，故直線ON的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N為OH的中點(diǎn)，即2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點(diǎn)角度2與拋物線弦長或中點(diǎn)有關(guān)的問題(20xx·北京高考)已知拋物線C：y22px過點(diǎn)P(1,1)過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)解(1)由拋物線C：y22px過點(diǎn)P(1,1)，得p.所以拋物線C的方程為y2x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x.(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，則x1x2，x1x2.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為yx，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)直線ON的方程為yx，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)閥12x10，所以y12x1，故A為線段BM的中點(diǎn)規(guī)律方法解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的三種常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、弦中點(diǎn)等相關(guān)問題時，一般采用“設(shè)而不求，整體代入”的解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時一般用“點(diǎn)差法”求解.跟蹤訓(xùn)練已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|PB|，求FAB的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：79140290】解(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，8)，(8)22p×8，2p8，拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.