高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案 理 北師大版

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例考綱傳真(教師用書(shū)獨(dú)具)1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第74頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，如圖4­3­1，作a，b，則AOB(0°180°)叫作a與b的夾角圖4­3­1當(dāng)0°時(shí)，a與b同向當(dāng)180°時(shí)，a與b反向當(dāng)90°時(shí)，a與b垂直(2)向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，由定義可知零向量與任一向量的數(shù)量積為0 ，即0·a0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的射影|b|cos 的乘積，或b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上射影|a|cos 的乘積2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·bb·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)·b(a·b)a·(b)；(3)分配律：a·(bc)a·ba·c.3平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos aba·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|·知識(shí)拓展兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角a·b0且a，b不共線(xiàn)；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角a·b0且a，b不共線(xiàn)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(2)由a·b0，可得a0或b0.()(3)向量ab的充要條件：a·b0x1x2y1y20.()(4)若a·b0，則a和b的夾角為銳角；若a·b0，則a和b的夾角為鈍角()(5)a·ba·c(a0)，則bc.()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)×2(20xx·全國(guó)卷)已知向量，則ABC()A30°B45°C60°D120°A因?yàn)?，所?amp;#183;.又因?yàn)?amp;#183;|cosABC1×1×cosABC，所以cosABC.又0°ABC180°，所以ABC30°.故選A3向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)·a()A1B0C1D2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，a·b3，從而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2ab)·a(1,0)·(1，1)1，故選C4(教材改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120°，則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi)2由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4×cos 120°2.5(20xx·全國(guó)卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab與a垂直，則m_.7a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab與a垂直，(ab)·a0，即(m1)×(1)3×20，解得m7.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第75頁(yè))平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(1)(20xx·南寧二次適應(yīng)性測(cè)試)線(xiàn)段AD，BE分別是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC在邊BC，AC邊上的高，則·()ABCD(2)(20xx·北京高考)已知點(diǎn)P在圓x2y21上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，O為原點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140156】(1)A(2)6(1)由等邊三角形的性質(zhì)得|，120°，所以·|cos，××，故選A(2)法一：根據(jù)題意作出圖像，如圖所示，A(2,0)，P(x，y)由點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0)·|cos ，|2，|，cos ，所以·2(x2)2x4.點(diǎn)P在圓x2y21上，所以x1,1所以·的最大值為246.法二：如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2y21上，所以可設(shè)P(cos ，sin )(0<2)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，·2cos 4246，當(dāng)且僅當(dāng)cos 1，即0，P(1,0)時(shí)“”號(hào)成立規(guī)律方法向量數(shù)量積的兩種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b|a|b|cos .(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.易錯(cuò)警示：(1)要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵是用基向量表示題目中所求相關(guān)向量.(2)注意向量夾角的大小，以及夾角0°，90°，180°三種特殊情形.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·太原模擬(二)已知a(2,1)，b(1,1)，則a在b方向上的投影為()A B C D(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_(kāi)；·的最大值為_(kāi)(1)A(2)11由題意，得|b|，a·b1，所以a在b方向上的投影為|a|cos ，故選A法一：以射線(xiàn)AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故·的最大值為1.法二：由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，所以·|·11，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大，即為DC1，所以(·)max|·11.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)角度1平面向量的模(20xx·合肥二檢)設(shè)向量a，b滿(mǎn)足|ab|4，a·b1，則|ab|()A2 B2 C3 D2B由|ab|4兩邊平方可得|a|2|b|2162a·b14，則|ab|2，故選B角度2平面向量的夾角(20xx·濟(jì)南一模)設(shè)向量a與b的夾角為，若a(3，1)，ba(1,1)，則cos _.(2)已知平面向量a，b的夾角為120°，且a·b1，則|ab|的最小值為 ()A B C D1(1)(2)A(1)由題意得向量b(ba)a(2,0)，所以cos .(2)由題意可知：1a·b|a|·|b|cos 120°，所以2|a|·|b|.即|a|2|b|24，|ab|2a22a·bb2a2b22426，所以|ab|.角度3平面向量的垂直(20xx·深圳二調(diào))已知平面向量a，b，若|a|，|b|2，a與b的夾角，且(amb)a，則m()A B1 C D2B由(amb)a可得(amb)·aa2ma·b3m××2×cos0，解得m1，故選B 規(guī)律方法平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用類(lèi)型與求解策略(1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，.(2)兩向量垂直的應(yīng)用：aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，則|a|.(4)射影的數(shù)量(投影)a在b上的投影|a|a，b.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·山西四校聯(lián)考)已知|a|1，|b|，且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為()A B C D(2)(20xx·全國(guó)卷)已知向量a，b的夾角為60°，|a|2，|b|1，則|a2b|_.(3)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140157】(1)B(2)2(3)a(ab)，a·(ab)a2a·b1cosa，b0，cosa，b，a，b.(2)法一：|a2b|2.法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60°，所以|a2b|2.(3)，由于，所以·0，即()·()22(1)·94(1)×3×2×0，解得.平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題(20xx·湖北仙桃一中期中)已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b|ab|，求f(x)的最大值和最小值解(1)a·bcoscossin·sincos 2x.ab，|ab|2|cos x|.x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12.x，cos x1，當(dāng)cos x時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)cos x1時(shí)，f(x)取得最大值1. 規(guī)律方法平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線(xiàn)或垂直或等式成立的方法等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.跟蹤訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)因?yàn)閙，n(sin x，cos x)，mn.所以m·n0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因?yàn)閨m|n|1，所以m·ncos，即sin xcos x，所以sin，因?yàn)?x，所以x，所以x，即x.平面向量與三角形的“四心”O(jiān)是平面上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的()A內(nèi)心B外心C垂心D重心A1，表示與A的平分線(xiàn)共線(xiàn)的向量又，即，P一定在A(yíng)的平分線(xiàn)上，即P點(diǎn)一定通過(guò)ABC的內(nèi)心 規(guī)律方法1.要注意弄清向量的線(xiàn)性運(yùn)算所表達(dá)的幾何意義，即利用向量加，減法的平行四邊形法則或三角形法則，明確向量所代表的意義.2.要注意等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化和三角形“四心”的特征.跟蹤訓(xùn)練已知A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，在平面上一點(diǎn)O滿(mǎn)足0，則O是ABC的_重心設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D0，2，共線(xiàn)，經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D同理過(guò)BC的中點(diǎn)，過(guò)AC的中點(diǎn)，故O是ABC的重心