高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第7章 立體幾何 第7節(jié) 第2課時(shí) 利用空間向量求空間角學(xué)案 理 北師大版

第2課時(shí)利用空間向量求空間角(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第125頁(yè))求異面直線的夾角如圖7­7­15，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，CACBCDBD2，ABAD.圖7­7­15(1)求證：AO平面BCD；(2)求異面直線AB與CD夾角的余弦值解(1)證明：連接OC，由CACBCDBD2，ABAD，O是BD的中點(diǎn)，知CO，AO1，AOBD.在AOC中，AC2AO2OC2，則AOOC又BDOCO，因此AO平面BCD.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，(1,0，1)，(1，0)，所以|cos，|.即異面直線AB與CD夾角的余弦值為.規(guī)律方法利用向量法求異面直線夾角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.(2)求出兩直線的方向向量v1，v2.(3)代入公式|cosv1，v2|求解.易錯(cuò)警示：兩異面直線夾角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是0，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.跟蹤訓(xùn)練(20xx·湖南五市十校3月聯(lián)考)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD夾角的余弦值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140254】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.取BC的中點(diǎn)O，連接OA、OD，等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，OA，OC，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(0,0，)，B(0，1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，(0，1，)，(，1,0)，cos，異面直線AB和CD夾角的余弦值為.求直線與平面的夾角(20xx·浙江高考)如圖7­7­16，已知四棱錐P­ABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E為PD的中點(diǎn)圖7­7­16(1)證明：CE平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC夾角的正弦值解(1)證明：如圖，設(shè)PA的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA的中點(diǎn)，所以EFAD且EFAD.又因?yàn)锽CAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CEBF.因?yàn)锽F平面PAB，CE平面PAB，所以CE平面PAB.(2)分別取BC，AD的中點(diǎn)M，N.連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF的中點(diǎn)在平行四邊形BCEF中，MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，BCAD，BCAD，N是AD的中點(diǎn)得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN.過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直線CE與平面PBC的夾角設(shè)CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH.所以，直線CE與平面PBC夾角的正弦值是.規(guī)律方法(1)線面角范圍，向量夾角范圍為0，.(2)線面角的正弦值等于斜線對(duì)應(yīng)向量與平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值.即sin .即斜向量，n為平面法向量.跟蹤訓(xùn)練(20xx·廣州綜合測(cè)試(二)如圖7­7­17 ，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，BAD60°，EB平面ABCD，F(xiàn)D平面ABCD，EB2FDa.圖7­7­17(1)求證：EFAC；(2)求直線CE與平面ABF夾角的正弦值解(1)證明：連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.因?yàn)镕D平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACFD.因?yàn)锽DFDD，所以AC平面BDF.因?yàn)镋B平面ABCD，F(xiàn)D平面ABCD，所以EBFD.所以B，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面因?yàn)镋F平面BDFE，所以EFAC(2)法一：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閥軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz.可以求得A，B，F(xiàn)，C(0，a,0)，E.所以(0，a,0)，.設(shè)平面ABF的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，則平面ABF的一個(gè)法向量為n(1,0,1)設(shè)直線CE與平面ABF的夾角為，因?yàn)?，所以sin |cosn，|.所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為.法二：如圖，設(shè)ACBDO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.可以求得A，B，C，E，F(xiàn).所以.設(shè)平面ABF的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，則平面ABF的一個(gè)法向量為n(1，2)設(shè)直線CE與平面ABF夾角為，因?yàn)?，所以sin |cosn，|.所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為.求二面角(20xx·全國(guó)卷)如圖7­7­18，在四棱錐P­ABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.圖7­7­18(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，求二面角A­PB­C的余弦值解(1)證明：由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD.因?yàn)锳BCD，所以ABPD.又APDPP，所以AB平面PAD.因?yàn)锳B平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PFAD，垂足為點(diǎn)F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F­xyz.由(1)及已知可得A，P，B，C，所以，(，0,0)，(0,1,0)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面PCB的一個(gè)法向量，則即所以可取n(0，1，)設(shè)m(x2，y2，z2)是平面PAB的一個(gè)法向量，則即所以可取m(1,0,1)，則cosn，m.所以二面角A­PB­C的余弦值為.規(guī)律方法利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.跟蹤訓(xùn)練(20xx·福州質(zhì)檢)如圖7­7­19(1)，在等腰梯形PDCB中，PBDC，PB3，DC1，DPB45°，DAPB于點(diǎn)A，將PAD沿AD折起，構(gòu)成如圖7­7­19(2)所示的四棱錐P­ABCD，點(diǎn)M在棱PB上，且PMMB.(1)(2)圖7­7­19(1)求證：PD平面MAC；(2)若平面PAD平面ABCD，求二面角M­AC­B的余弦值解(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)N，連接MN，依題意知ABCD，ABNCDN，2.PMMB，2，在BPD中，MNDP.又PD平面MAC，MN平面MAC，PD平面MAC(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAAD，PA平面PAD，PA平面ABCD.又ADAB，PA，AD，AB兩兩垂直以A為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.依題意APAD1，AB2，又PMMB，A(0,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,1)，M，C(1,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)PA平面ABCD.取n1(0,0,1)為平面BAC的一個(gè)法向量設(shè)n2(x，y，z)為平面MAC的法向量，則即令x1，則y1，z1，n2(1，1,1)為平面MAC的一個(gè)法向量，cosn1，n2，二面角M­AC­B的余弦值為.