【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 第5節(jié) 古典概型與幾何概型課時(shí)訓(xùn)練 理

【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 第5節(jié) 古典概型與幾何概型課時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)簡(jiǎn)單的古典概型1、9、11古典概型與其他知識(shí)的綜合4、7、10、15、16與長(zhǎng)度(角度)相關(guān)的幾何概型2、8與面積(體積)相關(guān)的幾何概型3、5、6、12、13、14、16一、選擇題1.(2014蘭州模擬)將一顆骰子擲兩次,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n,向量p=(m,n),q=(3,6).則向量p與q共線(xiàn)的概率為(D)(A)13(B)14(C)16(D)112解析:由題意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,6)的個(gè)數(shù)=66=36.若pq,則6m-3n=0,得到n=2m.滿(mǎn)足此條件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三個(gè)基本事件.因此向量p與q共線(xiàn)的概率為P=336=112.2.在長(zhǎng)為12 cm的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)M,并以線(xiàn)段AM為邊作正方形,則此正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(A)(A)14(B)13(C)427(D)415解析:由題意可知6AM9,于是所求概率為P=9-612=14.故選A.3.(2015河南三市聯(lián)考)在區(qū)間-,內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別為a,b,則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+2有零點(diǎn)的概率為(B)(A)1-8(B)1-4(C)1-2(D)1-34解析:函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+2有零點(diǎn),需=4a2-4(-b2+2)0,即a2+b22成立.而a,b-,建立平面直角坐標(biāo)系,滿(mǎn)足a2+b2,點(diǎn)(a,b)如圖陰影部分所示,所求事件的概率為P=22-322=42-342=1-4.4.拋擲兩枚均勻的骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,那么直線(xiàn)xa+yb=1的斜率k-12的概率為(D)(A)12(B)13(C)34(D)14解析:記a,b的取值為數(shù)對(duì)(a,b),由題意知(a,b)的所有可能取值有36種.由直線(xiàn)xa+yb=1的斜率k=-ba-12,知ba12,那么滿(mǎn)足題意的(a,b)可能的取值為(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9種,所以所求概率為936=14.5.在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到正方體各面的距離都不小于1的概率為(A)(A)127(B)2627(C)827(D)18解析:正方體中到各面的距離不小于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)中心與原正方體中心重合,且棱長(zhǎng)為1的正方體,該正方體的體積是V1=13=1,而原正方體的體積為V=33=27,故所求的概率為P=V1V=127.6.(2014高考湖北卷)由不等式組x0,y0,y-x-20確定的平面區(qū)域記為1,不等式組x+y1,x+y-2確定的平面區(qū)域記為2.在1中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為(D)(A)18(B)14(C)34(D)78解析:由題意作圖,如圖所示,1的面積為1222=2,圖中陰影部分的面積為2-122222=74,則所求概率P=742=78.7.(2014寧波模擬)設(shè)a1,2,3,4,b2,4,8,12,則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間1,2上有零點(diǎn)的概率為(C)(A)12(B)58(C)1116(D)34解析:因?yàn)閒(x)=x3+ax-b,所以f(x)=3x2+a.因?yàn)閍1,2,3,4,因此f(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為增函數(shù).若存在零點(diǎn),則f(1)0,f(2)0,解得a+1b8+2a.因此可使函數(shù)在區(qū)間1,2上有零點(diǎn)的有a=1,2b10,故b=2,b=4,b=8;a=2,3b12,故b=4,b=8,b=12;a=3,4b14,故b=4,b=8,b=12;a=4,5b16,故b=8,b=12.根據(jù)古典概型可得有零點(diǎn)的概率為1116.二、填空題8.在區(qū)間0,10上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得不等式2x2-ax+80在(0,+)上恒成立的概率為.解析:要使2x2-ax+80在(0,+)上恒成立,只需ax2x2+8,即a2x+8x在(0,+)上恒成立.又2x+8x216=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,故只需a8,因此0a8.由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率為8-010-0=45.答案:459.從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中,隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)間的距離為22的概率是.解析:如圖,在正方形ABCD中,O為中心,從O,A,B,C,D這五點(diǎn)中任取兩點(diǎn)的情況有C52=10種.正方形的邊長(zhǎng)為1,兩點(diǎn)距離為22的情況有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4種,故P=410=25.答案:2510.曲線(xiàn)C的方程為x2m2+y2n2=1,其中m、n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù),事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”,那么P(A)=.解析:試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36;若想表示橢圓,則前后兩次的骰子點(diǎn)數(shù)不能相同,則去掉6種可能,既然橢圓焦點(diǎn)在x軸上,則m>n,又只剩下一半情況,即有15種.因此P(A)=1536=512.答案:51211.(2013高考浙江卷)從3男3女共6名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)均等),這2名都是女同學(xué)的概率等于.解析:用A,B,C表示三名男同學(xué),用a,b,c表示三名女同學(xué),則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為:AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15種選法,其中都是女同學(xué)的選法有3種,即ab,ac,bc,故所求概率為315=15.答案:1512.(2014長(zhǎng)沙模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為.解析:V正方體=23=8,V半球=124313=23,V半球V正方體=283=12,P=1-12.答案:1-1213.(2014北京模擬)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投放在關(guān)于x,y的不等式組3x+4y19,x1,y1所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi),則該質(zhì)點(diǎn)到此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率是.解析:畫(huà)出關(guān)于x,y的不等式組3x+4y19,x1,y1,所構(gòu)成的三角形區(qū)域,如圖,三角形ABC的面積為S1=1234=6,離三個(gè)頂點(diǎn)距離都不大于1的地方的面積為S2=12,所以其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都不小于1的地方的概率為P=1-26=1-12.答案:1-1214.(2014高考福建卷)如圖,在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為.解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=ex與函數(shù)y=ln x互為反函數(shù),其圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),又因?yàn)楹瘮?shù)y=ex與直線(xiàn)y=e的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e),所以陰影部分的面積為2(e1-01 exdx)=2e-2ex01=2e-(2e-2)=2,由幾何概型的概率計(jì)算公式,得所求的概率P=S陰影S正方形=2e2.答案:2e2三、解答題15.(2014洛陽(yáng)模擬)現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件,其中8件為正品,2件為次品.(1)如果從中取出一件,然后放回,再取一件,求連續(xù)3次取出的都是正品的概率.(2)如果從中一次取3件,求3件都是正品的概率.解:(1)有放回地抽取3次,按抽取順序(x,y,z)記錄結(jié)果,則x,y,z都有10種可能,所以基本事件總數(shù)為101010=103(種);設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取出正品”,則包含的基本事件共有888=83種,因此P(A)=83103=0.512.(2)可以看作不放回抽樣3次,順序不同,基本事件不同,按抽取順序記錄(x,y,z),則x有10種可能,y有9種可能,z有8種可能,所以基本事件總數(shù)為1098.設(shè)事件B為“3件都是正品”,則事件B包含的基本事件總數(shù)為876,所以P(B)=8761098=715.16.設(shè)f(x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù),若對(duì)任意x1,2,都有|f(x)+g(x)|8,則稱(chēng)f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”,設(shè)f(x)=ax,g(x)=bx.(1)若a1,4,b-1,1,4,求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率;(2)若a1,4,b1,4,求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率.解:(1)設(shè)事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”,則|f(x)+g(x)|(x1,2)所有的情況有x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,4x+1x,4x+4x,共6種且每種情況被取到的可能性相同.又當(dāng)a>0,b>0時(shí)ax+bx在(0,ba)上遞減,在(ba,+)上遞增;x-1x和4x-1x在(0,+)上遞增,對(duì)x1,2可使|f(x)+g(x)|8恒成立的有x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,故事件A包含的基本事件有4種,P(A)=46=23,故所求概率是23.(2)設(shè)事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”,a是從區(qū)間1,4中任取的數(shù),b是從區(qū)間1,4中任取的數(shù),點(diǎn)(a,b)所在區(qū)域是長(zhǎng)為3,寬為3的矩形區(qū)域.要使x1,2時(shí),|f(x)+g(x)|8恒成立,需f(1)+g(1)=a+b8且f(2)+g(2)=2a+b28,事件B表示的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分.P(B)=12(2+114)333=1924,故所求的概率是1924.