第11篇 第4節(jié) 證明方法

第十一篇第4節(jié) 一、選擇題1(2014濰坊模擬)用反證法證明某命題時，對結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)是()A自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)B自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)D自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)解析：“恰有一個”反面應(yīng)是至少有兩個或都是奇數(shù)故選B.答案：B2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1x2>0，則f(x1)f(x2)的值()A恒為負(fù)值B恒等于零C恒為正值 D無法確定正負(fù)解析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1x2>0，可知x1>x2，f(x1)<f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)<0，故選A.答案：A3分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且abc0，求證：<a”索的因應(yīng)是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0解析：<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.故選C.答案：C4(2014汕頭一中月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：123n2(nN*)，則從nk到nk1時左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為()Ak21B(k1)2CD(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：當(dāng)nk時，等式左邊123k2，當(dāng)nk1時，等式左邊123k2(k21)(k22)(k1)2，比較上述兩個式子，當(dāng)nk1時，等式左邊是在假設(shè)nk時等式成立的基礎(chǔ)上，等式的左邊加上了(k21)(k22)(k1)2.故選D.答案：D5(2014遼寧大連模擬)設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運(yùn)算“*”(即對任意的a，bS，對于有序元素對(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng))，若對任意的a，bS，有a*(b*a)b，則對任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是()A(a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)bD(a*b)*b*(a*b)b解析：由已知條件可得對任意a，bS，a*(b*a)b，則b*(b*b)b，a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a，(a*b)*b*(a*b)(a*b)*ab，即選項(xiàng)B，C，D中的等式均恒成立，僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立故選A.答案：A6對于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時，<(k1)1，所以當(dāng)nk1時，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析：在nk1時，沒有應(yīng)用nk時的假設(shè)，故推理錯誤故選D.答案：D二、填空題7設(shè)a>b>0，m，n，則m，n的大小關(guān)系是_解析：法一取a2，b1，得m<n.法二分析法：<>a<b2ab2>0，顯然成立答案：m<n8已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，其中nN*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_解析：由條件得cnanbnn，cn隨n的增大而減小cn1<cn.答案：cn1<cn9用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)用反證法證明時，假設(shè)的內(nèi)容是_解析：“至少有一個”的否定為“都不是”答案：假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)10用數(shù)學(xué)歸納法證明：1222n22212，第二步證明由“k到k1”時，左邊應(yīng)加_解析：當(dāng)nk時，左邊1222k22212；當(dāng)nk1時，左邊1222k2(k1)2k22212.答案：(k1)2k2三、解答題11已知a>0，求證：a2.證明：要證a2.只要證2a.a>0，故只要證22，即a244a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立12(2014湖南常德模擬)設(shè)a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論(1)解：a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明：易知，n1時，猜想正確假設(shè)nk時猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，nk1時猜想正確由知，對于任何nN*，都有an.