【名校資料】人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：67 數(shù)學(xué)歸納法

+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+A組基礎(chǔ)演練·能力提升一、選擇題1凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸(n1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：邊數(shù)增加1，頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè)，它與它不相鄰的n2個(gè)頂點(diǎn)連接成對(duì)角線，原來的一條邊也成為對(duì)角線，因此，對(duì)角線增加n1條答案：C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1f(n)(n2，nN*)的過程，由nk到nk1時(shí)，左邊增加了()A1項(xiàng) Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)解析：1，共增加了2k項(xiàng)答案：D3用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k3時(shí)正確(其中kN*)B假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k1時(shí)正確(其中kN*)C假設(shè)nk時(shí)正確，再推nk1時(shí)正確(其中kN*)D假設(shè)nk(k1)時(shí)正確，再推nk2時(shí)正確(其中kN*)解析：n為正奇數(shù)，n2k1(kN*)答案：B4在數(shù)列an中，a1，且Snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A. B.C. D.解析：由a1，Snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.答案：C5已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立 Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立 Dn2(k2)時(shí)等式成立解析：n為偶數(shù)，故假設(shè)nk成立后，再證nk2等式成立答案：B6在用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)1(nN*，n3)的過程中：假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k3)時(shí)，不等式f(k)1成立，則需證當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)1也成立若f(k1)f(k)g(k)，則g(k)()A. B.C. D.解析：f(k1)，f(k)，f(k1)f(k)，g(k).故選B.答案：B二、填空題7對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根據(jù)上述分解規(guī)律，若n213519，m3(mN*)的分解中最小的數(shù)是21，則mn的值為_解析：依題意得n2100，n10.易知m321m×2，整理得(m5)(m4)0，又mN*，所以m5，所以mn15.答案：158設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有：(Sn1)2anSn.通過計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析：由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想：Sn.答案：9(2014年三亞模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為_解析：當(dāng)nk時(shí)，左端為123k(k1)(k2)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，左端為123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)2三、解答題10設(shè)f(n)1(nN*)求證：f(1)f(2)f(n1)n·f(n)1(n2，nN*)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，來源:f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)11是否存在正整數(shù)m使得f(n)(2n7)·3n9對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由解析：由f(n)(2n7)·3n9得，f(1)36，f(2)3×36，f(3)10×36，f(4)34×36，由此猜想：m36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，顯然成立；假設(shè)nk時(shí)，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)·3k9能被36整除；當(dāng)nk1時(shí)，2(k1)7·3k19(2k7)·3k127272·3k193(2k7)·3k918(3k11)，由于3k11是2的倍數(shù)，故18(3k11)能被36整除，所以當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)也能被36整除由可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f(n)(2n7)·3n9能被36整除，m的最大值為36.12(能力提升)(2014年徐州模擬)已知數(shù)列an中，a1a(a2)，對(duì)一切nN*，an0，an1.求證：an2且an1<an.證明：證法一an1>0，來源:an>1，an220，an2.若存在ak2，則ak12，可推出ak22，a12，與a1a>2矛盾，故an>2.an1an<0，an1<an.證法二(用數(shù)學(xué)歸納法證明an>2)當(dāng)n1時(shí)，a1a2，故命題an2成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即ak2，那么，ak1220.所以ak12，即nk1時(shí)命題也成立綜上所述，命題an2對(duì)一切正整數(shù)成立an1an<0，an1<an.B組因材施教·備選練習(xí)1(2014年余華調(diào)研)若不等式>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，猜想正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論解析：當(dāng)n1時(shí)，>，即>，所以a<26，而a是正整數(shù)，所以取a25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：>.當(dāng)n1時(shí)，已證；來源:假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即>.則當(dāng)nk1時(shí)，有>.因?yàn)?amp;gt;.來源:所以>0，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有>，所以a的最大值等于25.2.如圖，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0<y1<y2<<yn)是曲線C：y23x(y0)上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x軸的正半軸上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn))來源:(1)寫出a1，a2，a3；(2)求出點(diǎn)An(an,0)(nN*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式并證明解析：(1)a12，a26，a312.(2)依題意，得xn，yn·，由此及y3·xn得2(anan1)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：當(dāng)n1時(shí)，命題顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)命題成立，即有akk(k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，由歸納假設(shè)及(ak1ak)22(akak1)，得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即a2(k2k1)ak1k(k1)·(k1)(k2)0，解之，得ak1(k1)(k2)ak1k(k1)<ak不合題意，舍去，即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由、可知，命題ann(n1)(nN*)成立高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品