高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語

精品資料第1講集合及其運(yùn)算知 識(shí) 梳 理1集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系為屬于或不屬于關(guān)系，分別用符號(hào)或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N、正整數(shù)集N*(或N)、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R.(5)集合的分類：按集合中元素個(gè)數(shù)劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集2集合間的基本關(guān)系(1)子集：對(duì)任意的xA，有xB，則AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，則AB(或BA)(3)空集：空集是任意一個(gè)集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，A的非空子集有2n1個(gè)(5)集合相等：若AB，且BA，則AB.3集合的運(yùn)算及其性質(zhì)(1)集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算并集：ABx|xA，或xB；交集：ABx|xA，且xB；補(bǔ)集：UAx|xU，且xAU為全集，UA表示A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(2)集合的運(yùn)算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AA；AAA；ABABA.交集的性質(zhì)：A；AAA；ABAAB.補(bǔ)集的性質(zhì)：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.辨 析 感 悟1元素與集合的辨別(1)若x2,10,1，則x0,1.(×)(2)含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n1，非空真子集的個(gè)數(shù)是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，則ABx|xR(×)2對(duì)集合基本運(yùn)算的辨別(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(AB)(AB)總成立()(5)(2013·浙江卷改編)設(shè)集合Sx|x2，Tx|4x1，則STx|2x1()(6)(2013·陜西卷改編)設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸，則RMx|x1，或x1()感悟·提升1一點(diǎn)提醒求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件如第(3)題就是混淆了數(shù)集與點(diǎn)集2兩個(gè)防范一是忽視元素的互異性，如(1)；二是運(yùn)算不準(zhǔn)確，尤其是運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心，如(6).考點(diǎn)一集合的基本概念【例1】 (1)(2013·江西卷改編)若集合AxR|ax2ax10中只有一個(gè)元素，則a_.(2)(2013·山東卷改編)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個(gè)數(shù)是_解析(1)由ax2ax10只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可得當(dāng)a0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)a0時(shí)，則a24a0，解得a4.(a0不合題意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)4(2)5規(guī)律方法 集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性【訓(xùn)練1】 已知aR，bR，若a2，ab,0，則a2 014b2 014_.解析由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a1應(yīng)舍去，因此a1，故a2 014b2 0141.答案1考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍(2)設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解(1)當(dāng)B時(shí)，有m12m1，則m2.當(dāng)B時(shí)，若BA，如圖則解得2<m4.綜上，m的取值范圍是(，4(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)·(2)4，這兩式不能同時(shí)成立，B2；若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)·(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗(yàn)知m1和m2符合條件m1或2.規(guī)律方法 (1)已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解(2)在解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問題時(shí)，避免出錯(cuò)的一個(gè)有效手段是合理運(yùn)用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論【訓(xùn)練2】 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為_(2)(2014·鄭州模擬)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為_解析(1)由題意知：A1,2，B1,2,3,4又ACB，則集合C可能為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)a0時(shí)，Bx|10A；a0時(shí)，BA，則1或1，故a0或a1或1.答案(1)4(2)考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算【例3】 (1)(2013·山東卷改編)已知集合A，B均為全集U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，則AUB_.(2)(2014·唐山模擬)若集合My|y3x，集合Sx|ylg(x1)，則下列各式正確的是_MSM；MSS；MS；MS審題路線(1)AUB3；(2)先分別求出集合M，S，再判斷各式解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正確答案(1)3(2)規(guī)律方法 一般來講，集合中的元素離散時(shí)，則用Venn圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)時(shí)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為_(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，則A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0x22,2x4，所以Bx|2x4故UBx|x2，或x4，從而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2數(shù)軸和韋恩(Venn)圖是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時(shí)要先把集合中各種形式的元素化簡(jiǎn)，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決創(chuàng)新突破1與集合有關(guān)的新概念問題【典例】 已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為_解析法一(列表法)因?yàn)閤A，yA，所以x，y的取值只能為1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：12345101234210123321012432101543210由題意xyA，故xy只能取1,2,3,4，由表可知實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的取值滿足條件的共有10個(gè)，即B中的元素個(gè)數(shù)為10.法二(直接法)因?yàn)锳1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若xyA，則必有xy0，xy.當(dāng)y1時(shí)，x可取2,3,4,5，共有4個(gè)數(shù)；當(dāng)y2時(shí)，x可取3,4,5，共有3個(gè)數(shù)；當(dāng)y3時(shí)，x可取4,5，共有2個(gè)數(shù)；當(dāng)y4時(shí)，x只能取5，共有1個(gè)數(shù)；當(dāng)y5時(shí)，x不能取任何值綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)為432110.答案10反思感悟 (1)解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運(yùn)算(2)以集合為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常見的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力【自主體驗(yàn)】設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于kA，如果k1A，且k1A，那么稱k是A的一個(gè)“好元素”給定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_個(gè)解析依題，可知由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”，則這3個(gè)元素一定是相連的3個(gè)數(shù)故這樣的集合共有6個(gè)答案6基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1(2013·安徽卷改編)已知Ax|x10，B2，1,0,1則(RA)B_.解析因?yàn)锳x|x1，則RAx|x1，所以(RA)B2，1答案2，12已知集合M1,2,3，N2,3,4，則下列各式不正確的是_MN；NM；MN2,3；MN1,4解析由已知得MN2,3，故選.答案3已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，則P的子集個(gè)數(shù)有_解析PMN1,3，故P的子集共有4個(gè)答案44已知集合Ax|x2x20，Bx|1x1，則A與B的關(guān)系是_解析集合Ax|1x2，Bx|1x1，則BA.答案BA5設(shè)集合Ax|x22x80，Bx|x1，則圖中陰影部分表示的集合為_解析陰影部分是ARB.集合Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2答案x|1x26(2013·湖南卷)已知集合U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，則(UA)B_.解析由集合的運(yùn)算，可得(UA)B6,82,6,86,8答案6,87集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，則a的值為_解析根據(jù)并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.答案48集合AxR|x2|5中的最小整數(shù)為_解析由|x2|5，得5x25，即3x7，所以集合A中的最小整數(shù)為3.答案3二、解答題9已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若AB3，求AB.解由AB3知，3B.又a211，故只有a3，a2可能等于3.當(dāng)a33時(shí)，a0，此時(shí)A0,1，3，B3，2，1，AB1，3故a0舍去當(dāng)a23時(shí)，a1，此時(shí)A1,0，3，B4，3,2，滿足AB3，從而AB4，3,0,1,210設(shè)Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，(1)若BA，求a的值；(2)若AB，求a的值解(1)A0，4，當(dāng)B時(shí)，4(a1)24(a21)8(a1)0，解得a1；當(dāng)B為單元素集時(shí)，a1，此時(shí)B0符合題意；當(dāng)BA時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得：解得a1.綜上可知：a1或a1.(2)若AB，必有AB，由(1)知a1.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、填空題1若集合A1,1，B0,2，則集合z|zxy，xA，yB中的元素的個(gè)數(shù)為_解析當(dāng)x1，y0時(shí)，z1；當(dāng)x1，y2時(shí)，z1；當(dāng)x1，y0時(shí)，z1；當(dāng)x1，y2時(shí)，z3.故z的值為1,1,3，故所求集合為1,1,3，共含有3個(gè)元素答案32已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，則m_，n_.解析Ax|5<x<1，因?yàn)锳Bx|1<x<n，Bx|(xm)(x2)<0，所以m1，n1.答案113設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，f(x)(xa)·(x2bxc)，g(x)(ax1)(cx2bx1)記集合Sx|f(x)0，xR，Tx|g(x)0，xR若|S|，|T|分別為集合S，T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論：|S|1且|T|0；|S|1且|T|1，|S|2且|T|2；|S|2且|T|3，其中不可能成立的是_解析取a0，b0，c0，則Sx|f(x)x30，|S|1，Tx|g(x)10，|T|0.因此可能成立取a1，b0，c1，則Sx|f(x)(x1)(x21)0，|S|1，Tx|g(x)(x1)(x21)0，|T|1，因此可能成立取a1，b0，c1，則Sx|f(x)(x1)(x21)0，|S|2，Tx|g(x)(x1)·(x21)0，|T|2.因此可能成立對(duì)于，若|T|3，則b24c0，從而導(dǎo)致f(x)(xa)(x2bxc)也有3解，因此|S|2且|T|3不可能成立故不可能成立答案二、解答題4已知集合Ay|y2x1,0x1，Bx|(xa)x(a3)0分別根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(1)ABA；(2)AB.解因?yàn)榧螦是函數(shù)y2x1(0x1)的值域，所以A(1,1，B(a，a3)(1)ABAAB即2a1，故當(dāng)ABA時(shí)，a的取值范圍是(2，1(2)當(dāng)AB時(shí)，結(jié)合數(shù)軸知，a1或a31，即a1或a4.故當(dāng)AB時(shí)，a的取值范圍是(4,1).第2講命題及其關(guān)系、充要條件知 識(shí) 梳 理1命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果pq，qp，則p是q的充要條件辨 析 感 悟1對(duì)四種命題的認(rèn)識(shí)(1)(2012·湖南卷改編)命題“若，則tan 1”的否命題是“若，則tan 1”(×)(2)若原命題“若p，則q”為真，則在這個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為1或2.(×)(3)命題“若x23x20，則x2或x1”的逆否命題是“若1x2，則x23x20”()2對(duì)充分條件、必要條件的理解(4)給定兩個(gè)命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件()(5)“(2x1)x0”的充分不必要條件是“x0”()(6)在ABC中，“A60°”是“cos A”的充分不必要條件(×)感悟·提升1一個(gè)區(qū)別否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念否命題同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)，如(1)把否命題錯(cuò)看成是命題的否定2三個(gè)防范一是分清命題中的條件和結(jié)論，并搞清楚其中的關(guān)鍵詞，如“”與“”，“”與“”，“且”與“或”，“是”與“不是”，“都不是”與“至少一個(gè)是”，“都是”與“不都是”等互為否定，如(3)二是弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B A，且A B，如(5)；而“A是B的充分不必要條件”則是指AB且B A，如(6)三是注意題中的大前提，如(6).考點(diǎn)一命題及其相互關(guān)系【例1】 已知：命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則否命題是“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m1”，是真命題；逆命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”，是假命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”，是真命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”，是真命題以上四個(gè)結(jié)論正確的是_(填序號(hào))解析由f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則f(x)exm0恒成立，m1.命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題答案規(guī)律方法 (1)在判斷四種命題的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，當(dāng)確定了原命題時(shí)，要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫出其他三種命題(2)當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí)，若要寫出其他三種命題，大前提需保持不變(3)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；說明一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例(4)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假【訓(xùn)練1】 (2013·吉林白山二模)命題“若a2b20，則a0且b0”的逆否命題是_答案若a0或b0，則a2b20考點(diǎn)二充分條件、必要條件的判斷【例2】 (1)(2013·福建卷改編)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則“x2且y1”是“點(diǎn)P在直線l：xy10上”的_條件(2)(2013·濟(jì)南模擬)如果a(1，k)，b(k,4)，那么“ab”是“k2”的_條件解析(1)當(dāng)x2且y1時(shí)，滿足方程xy10，但方程xy10有無數(shù)多個(gè)解，不能確定x2且y1，“x2且y1”是“點(diǎn)P在直線l上”的充分而不必要條件(2)因?yàn)閍b，所以1×4k20，即4k2，所以k±2.所以“ab”是“k2”的必要不充分條件答案(1)充分而不必要(2)必要不充分規(guī)律方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題【訓(xùn)練2】 已知條件p：x1，條件q：1，則綈p是q的_條件解析由x1，得1；反過來，由1，不能得知x1，即綈p是q的充分不必要條件答案充分不必要考點(diǎn)三充要條件的應(yīng)用【例3】 (2014·無錫一中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)axbx2(a>0)(1)當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意xR都有f(x)1，證明：a2；(2)當(dāng)b>1時(shí)，證明：對(duì)任意x0,1，|f(x)|1成立的充要條件是b1a2.證明(1)由題意知bx2ax10對(duì)任意xR恒成立，a24b0，又a>0，b>0，a2.(2)先證充分性：b>1，ab1，對(duì)任意x0,1，有axbx2(b1)xbx2b(xx2)xx1，即axbx21；b>1，a2，對(duì)任意x0,1，有axbx22xbx2(x1)211，即axbx21，|f(x)|1成立，充分性得證；再證必要性：對(duì)任意x0,1，|f(x)|1，f(1)1，即ab1；對(duì)任意x0,1，|f(x)|1，而b>1，f1，即a2，必要性得證由可知，當(dāng)b>1時(shí)，對(duì)任意x0,1，|f(x)|1成立的充要條件是b1a2.規(guī)律方法 (1)涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題化歸為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來解決(2)p的充分不必要條件為q，等價(jià)于pq，q p；p的必要不充分條件為q，等價(jià)于pq，q p.【訓(xùn)練3】 已知p：2x29xa0，q：且綈p是綈q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由得即2x3，q的解集為x|2x3設(shè)Ax|2x29xa0，Bx|2x3，綈p綈q，qp.BA.2x3屬于集合A，即2x3滿足不等式2x29xa0.2x3滿足不等式a9x2x2.當(dāng)2x3時(shí)，9x2x2222的值大于9且小于等于，即99x2x2，a9.1當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其它三種命題時(shí)，必須保留大前提，也就是大前提不動(dòng)；對(duì)于由多個(gè)并列條件組成的命題，在寫其它三種命題時(shí)，應(yīng)把其中一個(gè)(或幾個(gè))作為大前提2數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的3命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)等價(jià)法：利用AB與綈B綈A，BA與綈A綈B，AB與綈B綈A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件思想方法1等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件關(guān)系中的應(yīng)用【典例】 已知p：2，q：x22x1m20(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解法一由q：x22x1m20，得1mx1m，綈q：Ax|x1m或x1m，m0，由p：2，解得2x10，綈p：Bx|x10或x2綈p是綈q的必要而不充分條件AB，或即m9或m9.m9.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是9，)法二綈p是綈q的必要而不充分條件，p是q的充分而不必要條件，由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m，由p：2，解得2x10，p：Px|2x10p是q的充分而不必要條件，PQ，或即m9或m9.m9.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是9，)反思感悟 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵【自主體驗(yàn)】1(2013·山東卷改編)給定兩個(gè)命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的_條件解析由q綈p且綈pq可得p綈q且綈q p，所以p是綈q的充分而不必要條件答案充分不必要2已知命題p：x22x30；命題q：xa，且綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是_1，)；(，1；1，)；(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件故a1.答案基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1(2012·重慶卷改編)命題“若p，則q”的逆命題是_解析根據(jù)原命題與逆命題的關(guān)系可得：“若p，則q”的逆命題是“若q，則p”答案若q，則p2已知a，b，cR，命題“若abc3，則a2b2c23”的否命題是_解析同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題答案若abc3，則a2b2c233(2014·南通調(diào)研)“a2”是“直線(a2a)xy0和直線2xy10互相平行”的_條件解析因?yàn)閮芍本€平行，所以(a2a)×12×10，解得a2或1.答案充分不必要4命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的逆否命題是_解析由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”答案若xy不是偶數(shù)，則x、y不都是偶數(shù)5AxR|x2>0，BxR|x<0，CxR|x(x2)>0，則“xAB”是“xC”的_條件解析由題意得，AxR|x>2，ABxR|x<0，或x>2，CxR|x<0，或x>2，ABC.“xAB”是“xC”的充要條件答案充分必要6(2013·鹽城調(diào)研)“m<”是“一元二次方程x2xm0有實(shí)數(shù)解”的_條件解析x2xm0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于14m0，即m.答案充分不必要7已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，則在命題“若ab，則ac2bc2”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是_解析當(dāng)c20時(shí)，原命題不正確，故其逆否命題也不正確；逆命題為“若ac2bc2，則ab”，逆命題正確，則否命題也正確答案28(2014·揚(yáng)州模擬)下列四個(gè)說法：一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；命題“設(shè)a，bR，若ab6，則a3或b3”是一個(gè)假命題；“x>2”是“<”的充分不必要條件；一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真其中說法不正確的序號(hào)是_解析逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關(guān)系，故錯(cuò)誤；此命題的逆否命題為“設(shè)a，bR，若a3且b3，則ab6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，錯(cuò)誤；<，則<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要條件，故正確；否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性相同，故正確答案二、解答題9判斷命題“若a0，則x2xa0有實(shí)根”的逆否命題的真假解原命題：若a0，則x2xa0有實(shí)根逆否命題：若x2xa0無實(shí)根，則a0.判斷如下：x2xa0無實(shí)根，14a0，a0.“若x2xa0無實(shí)根，則a0”為真命題10已知p：x28x200，q：x22x1a20(a>0)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解p：x28x2002x10，q：x22x1a201ax1a.pq，q p，x|2x10x|1ax1a故有且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，解得a9.因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是9，)能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、填空題1命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)”的否命題是_解析否命題既否定題設(shè)又否定結(jié)論答案若f(x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)2設(shè)a，b都是非零向量下列四個(gè)條件ab；ab；a2b；ab且|a|b|中，使成立的充分條件是_解析對(duì)于，注意到ab時(shí)，；對(duì)于，注意到ab時(shí)，可能有ab，此時(shí)；對(duì)于，當(dāng)a2b時(shí)，；對(duì)于，當(dāng)ab且|a|b|時(shí)，可能有ab，此時(shí)，綜上所述，使成立的充分條件是a2b.答案3設(shè)nN*，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.解析已知方程有根，由判別式164n0，解得n4，又nN*，逐個(gè)分析，當(dāng)n1,2時(shí)，方程沒有整數(shù)根；而當(dāng)n3時(shí)，方程有整數(shù)根1,3；當(dāng)n4時(shí)，方程有整數(shù)根2.答案3或4二、解答題4設(shè)命題p：|4x3|1；命題q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解綈p是綈q的必要不充分條件，綈q綈p，且綈p 綈q等價(jià)于pq，且q/ p.記p：Ax|4x3|1，q：Bx|x2(2a1)xa(a1)0|x|axa1，則AB.從而且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，解得0a.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.第3講簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞知 識(shí) 梳 理1簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞命題中的“且”、“或”、“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞(2)命題pq，pq，綈p的真假判斷pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱量詞與存在量詞(1)“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，用符號(hào)“x”表示“對(duì)任意x”，含有全稱量詞的命題，稱為全稱命題全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：xM，p(x)(2)“有一個(gè)”、“有些”、“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞用符號(hào)“x”表示“存在x”，含有存在量詞的命題稱為存在性命題存在性命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為：xM，p(x)3含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)辨 析 感 悟1邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解與應(yīng)用(1)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個(gè)假命題()(2)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個(gè)假命題(×)2對(duì)命題的否定形式的理解(3)(2013·山西四校聯(lián)考改編)“有些偶數(shù)能被3整除”的否定是“所有的偶數(shù)都不能被3整除”()(4)(2013·東北聯(lián)考改編)命題p：n0N,2n01 000，則綈p：n N,2n1 000.(×)(5)(2013·四川卷改編)設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題p：xA,2xB，則綈p：xA,2xB.(×)(6)已知命題p：若xy0，則x，y中至少有一個(gè)大于0，則綈p：若xy0，則x，y中至多有一個(gè)大于0.(×)感悟·提升1一個(gè)區(qū)別邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的“或”是有區(qū)別的，前者包括“或此、或彼、或兼”三種情形，后者僅表示“或此、或彼”兩種情形有的含有“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)詞的命題，從字面上看不一定有“且”“或”“非”等字樣，這就需要我們掌握一些詞語、符號(hào)或式子與邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的關(guān)系如“并且”、“綉”的含義為“且”；“或者”、“”的含義為“或”；“不是”、“”的含義為“非”2兩個(gè)防范一是混淆命題的否定與否命題的概念導(dǎo)致失誤，綈p指的是命題的否定，只需否定結(jié)論如(5)、(6)；二是否定時(shí)，有關(guān)的否定詞否定不當(dāng)，如(6)考點(diǎn)一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷【例1】 設(shè)命題p：函數(shù)ysin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)ycos x的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱則pq為_，pq為_(填“真”或“假”)解析函數(shù)ysin 2x的最小正周期為，故命題p為假命題；x不是ycos x的對(duì)稱軸，命題q為假命題，故pq為假pq為假答案假假規(guī)律方法 若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相對(duì)，做出判斷即可【訓(xùn)練1】 (2013·湖北卷改編)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為_(填序號(hào))(綈p)(綈q)；p(綈q)；(綈p)(綈q)；pq.解析命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”或者，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”等價(jià)于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“pq”的否定答案考點(diǎn)二含有一個(gè)量詞的命題否定【例2】 寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x使x310.解(1)綈p：xR，x2x0，假命題(2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題(3)綈r：xR，x22x20，真命題(4)綈s：xR，x310，假命題規(guī)律方法 對(duì)含有存在(全稱)量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2)將結(jié)論加以否定這類問題常見的錯(cuò)誤是沒有變換量詞，或者對(duì)于結(jié)論沒給予否定有些命題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞【訓(xùn)練2】 (1)(2013·江門、佛山模擬)已知命題p：x1，x210，那么綈p是_(2)命題：“對(duì)任意k0，方程x2xk0有實(shí)根”的否定是_解析(1)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：x1，x210.(2)將“任意”改為“存在”，“有實(shí)根”改為“無實(shí)根”，所以原命題的否定為“存在k0，使方程x2xk0無實(shí)根”答案(1)x1，x210(2)存在k0，使方程x2xk0無實(shí)根考點(diǎn)三含有量詞的命題的真假判斷【例3】 下列四個(gè)命題p1：x0(0，)，；p2：x0(0,1)，x0x0；p3：x(0，)，x；p4：x，x.其中真命題是_根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)x(0，)，故命題p1是假命題；由于xx，故對(duì)x(0,1)，xx，所以x0(0,1)，x0x0，命題p2是真命題；當(dāng)x時(shí)，1，x1，故x不成立，命題p3是假命題；x，1，x1，故x，命題p4是真命題解析答案p2，p4規(guī)律方法 對(duì)于存在性命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立，對(duì)于全稱命題的判斷，必須對(duì)任意元素證明這個(gè)命題為真，而只要找到一個(gè)特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立. 【訓(xùn)練3】 (2013·開封二模)下列命題中的真命題是_(填序號(hào))xR，使得sin xcos x；x(0，)，ex>x1；x(，0)，2x<3x；x(0，)，sin x>cos x.解析因?yàn)閟in xcos xsin<，故錯(cuò)誤；當(dāng)x<0時(shí)，y2x的圖象在y3x的圖象上方，故錯(cuò)誤；因?yàn)閤時(shí)有sin x<cos x，故錯(cuò)誤答案1邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系“或、且、非”三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，對(duì)應(yīng)著集合運(yùn)算中的“并、交、補(bǔ)”，因此，常常借助集合的“并、交、補(bǔ)”的意義來解答由“或、且、非”三個(gè)聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題2正確區(qū)別命題的否定與否命題“否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“綈p”，只是否定命題p的結(jié)論命題的否定與原命題的真假總是對(duì)立的，即兩者中有且只有一個(gè)為真答題模板1借助邏輯聯(lián)結(jié)詞求解參數(shù)范圍問題【典例】 (12分)已知a0，設(shè)命題p：函數(shù)yax在R上單調(diào)遞增；命題q：不等式ax2ax10對(duì)xR恒成立若“pq”為假，“pq”為真，求a的取值范圍規(guī)范解答函數(shù)yax在R上單調(diào)遞增，p：a1.不等式ax2ax10對(duì)xR恒成立，且a0，a24a0，解得0a4，q：0a4.(5分)“pq”為假，“pq”為真，p、q中必有一真一假(7分)當(dāng)p真，q假時(shí)，a|a1a|a4a|a4(9分)當(dāng)p假，q真時(shí)，a|0a1a|0a4a|0a1(11分)故a的取值范圍是a|0a1，或a4(12分)反思感悟 解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把每個(gè)條件所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍求解出來，然后轉(zhuǎn)化為集合交、并、補(bǔ)的基本運(yùn)算【自主體驗(yàn)】(2014·泰州月考)命題p：關(guān)于x的不等式x22ax40對(duì)一切xR恒成立，q：函數(shù)f(x)(32a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)g(x)x22ax4，由于關(guān)于x的不等式x22ax40對(duì)一切xR恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點(diǎn)，故4a2160，2a2.又函數(shù)f(x)(32a)x是增函數(shù)，32a1，a1.又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假(1)若p真q假，則1a2；(2)若p假q真，則a2.綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，21,2).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1命題“xRQ，x3Q”的否定是_解析根據(jù)存在性命題的否定為全稱命題知答案xRQ，x3Q2已知p：235，q：54，則p綈q為_，pq為_(填“真”或“假”)解析p為真，綈p為假又q為假，綈q為真，“p且綈q”為真，“p或q”為真答案真真3命題：xR，sin x2的否定是_命題(填“真”、“假”)解析命題的否定是xR，sin x2，所以是假命題答案假4下列命題中的假命題是_xR，lg x0；xR，tan x；xR，x30；xR,2x0解析當(dāng)x1時(shí)，lg x0，故命題“xR，lg x0”是真命題；當(dāng)x時(shí)，tan x，故命題“xR，tan x”是真命題；由于x1時(shí)，x30，故命題“xR，x30”是假命題；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)xR,2x0，故命題“xR,2x0”是真命題答案5已知命題p1：函數(shù)y2x2x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y2x2x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命題是_解析命題p1是真命題，p2是假命題，故q1為真，q2為假，q3為假，q4為真答案q1，q46命題：“xR，exx”的否定是_答案xR，exx7若命題p：關(guān)于x的不等式axb0的解集是x|x，命題q：關(guān)于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，則在命題“pq”、“pq”、“綈p”、“綈q”中，是真命題的有_解析依題意可知命題p和q都是假命題，所以“pq”為假、“pq”為假、“綈p”為真、“綈q”為真答案綈p，綈q8若命題“xR，ax2ax20”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析當(dāng)a0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)a0時(shí)，由題意知得8a0.綜上，8a0.答案8,0二、解答題9分別指出“pq”、“pq”、“綈p”的真假(1)p：梯形有一組對(duì)邊平行；q：梯形有兩組對(duì)邊相等(2)p：1是方程x24x30的解；q：3是方程x24x30的解(3)p：不等式x22x10的解集為R；q：不等式x22x21的解集為.解(1)p真q假，“pq”為真，“pq”為假，“綈p”為假(2)p真q真，“pq”為真，“pq”為真，“綈p”為假(3)p假q假，“pq”為假，“pq”為假，“綈p”為真10已知c0，且c1，設(shè)p：函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)x22cx1在上為增函數(shù)，若“pq”為假，“pq”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍解函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減，0c1.即p：0c1，c0且c1，綈p：c1.又f(x)x22cx1在上為增函數(shù)，c.即q：0c，c0且c1，綈q：c且c1.又“pq”為真，“pq”為假，p與q一真一假當(dāng)p真， q假時(shí)，c|0c1.當(dāng)p假，q真時(shí)，c|c1.綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍是.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、填空題1(2014·湖南五市十校聯(lián)考)下列命題中是假命題的是_ ，R，使sin()sin sin ；R，函數(shù)f(x)sin(2x)都不是偶函數(shù)；mR，使f(x)(m1)·xm24m3是冪函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減；a0，函數(shù)f(x)ln2 xln xa有零點(diǎn)解析對(duì)于，當(dāng)0時(shí)，sin()sin sin 成立；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，f(x)sin(2x)cos 2x為偶函數(shù)；對(duì)于，當(dāng)m2時(shí)，f(x)(m1)·xm24m3x1，滿足條件；對(duì)于，令ln xt，a0，對(duì)于方程t2ta0，14(a)0，方程恒有解，故滿足條件答案2(2013·衡水二模)已知命題p：“xR，使得x22ax10成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析“xR，x22ax10”是真命題，即不等式x22ax10有解，(2a)240，得a21，即a1或a1.答案(，1)(1，)3(2014·宿州檢測(cè))給出如下四個(gè)命題：若“pq”為假命題，則p，q均為假命題；命題“若ab，則2a2b1”的否命題為“若ab，則2a 2b1”；“xR，x211”的否定是“x0R，x211”；在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要條件其中不正確的命題的序號(hào)是_解析若“pq”為假命題，則p，q至少有一個(gè)為假命題，所以不正確；正確；“xR，x211”的否定是“x0R，x211”，所以不正確；在ABC中，若AB，則ab，根據(jù)正弦定理可得sin Asin B，所以正確答案二、解答題4已知命題p：方程x2mx10有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q：方程4x24(m2)x10無實(shí)根若“pq”為真，“pq”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解若方程x2mx10有兩個(gè)不等的負(fù)根，則解得m2，即命題p：m2.若方程4x24(m2)x10無實(shí)根，則16(m2)21616(m24m3)0，解得1m3，即q：1m3.因“p或q”為真，所以p，q至少有一個(gè)為真，又“p且q”為假，所以命題p，q至少有一個(gè)為假，因此，命題p，q應(yīng)一真一假，即命題p為真、命題q為假或命題p為假、命題q為真或解得：m3或1m2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,23，)基礎(chǔ)回扣練集合與常用邏輯用語(建議用時(shí)：60分鐘)一、填空題1(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷改編)已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，則AB_.解析Bx|xn2，nA1,4,9,16，AB1,4答案1,42(2013·合肥一模)設(shè)