2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第四章 第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 Word版含答案

第五節(jié)第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)sin()sin cos cos sin (異名相乘、加減一致異名相乘、加減一致)；(2)cos( )cos cos sin sin (同名相乘、加減相反同名相乘、加減相反)；(3)tan()tan tan 1 tan tan (兩式相除、上同下異兩式相除、上同下異)(1)二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切中二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切中的特殊情況的特殊情況(2)二倍角是相對的二倍角是相對的，如如：2是是4的的 2 倍倍，3是是32的的 2 倍倍.2.二倍角的正弦二倍角的正弦、余弦余弦、正切公式正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 22tan 1tan2.熟記常用結(jié)論熟記常用結(jié)論1公式的常用變式公式的常用變式：tan tan tan()(1 tan tan )；tan tan 1tan tan tan tan tan tan 1.2降冪公式降冪公式：sin21cos 22；cos21cos 22；sin cos 12sin 2.3升冪公式升冪公式：1cos 2cos22；1cos 2sin22；1sin sin2cos22；1sin sin2cos22.4常用拆角常用拆角、拼角技巧拼角技巧：例如例如，2()()；()()；22(2)()；()()；154530；424等等5 輔助角公式輔助角公式： 一般地一般地， 函函數(shù)數(shù)f()asin bcos (a， b為常數(shù)為常數(shù))可以化可以化為為f() a2b2sin()其中其中 tan ba 或或 f() a2b2cos()其中其中 tan ab .小題查驗(yàn)基礎(chǔ)小題查驗(yàn)基礎(chǔ)一、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊?，錯的打，錯的打“”“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的是任意的()(2)存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)，使等式，使等式 sin()sin sin 成立成立()(3)公式公式 tan()tan tan 1tan tan 可以變形為可以變形為 tan tan tan()(1tan tan )，且且對任意角對任意角，都成立都成立()(4)存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)，使，使 tan 22tan .()答案答案：(1)(2)(3)(4)二、選填題二、選填題1cos 18cos 42cos 72sin 42()A32B.32C12D.12解析解析：選選 D原式原式cos 18cos 42sin 18sin 42cos(1842)cos 6012.2若若 cos 45，是第三象限的角是第三象限的角，則則 sin4 等于等于()A210B.210C7 210D.7 210解析：解析：選選 C是第三象限角，是第三象限角，sin 1cos235，sin4 352245 227 210.3已知已知 tan 2，所以，所以 tan4 ()A.14B.13C.12D3解析：解析：選選 Btan 2，tan4 tan 11tan 13.4已知已知 cos x34，則，則 cos 2x_.解析：解析：cos x34，cos 2x2cos2x118.答案：答案：185若若 tan 13，tan()12，則，則 tan _.解析：解析：tan tan()tan tan 1tan tan 12131121317.答案：答案：17考點(diǎn)一公式的直接應(yīng)用考點(diǎn)一公式的直接應(yīng)用基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)題組練透題組練透1已知已知 sin 35，2，tan()12，則，則 tan()的值為的值為()A211B.211C.112D112解析：解析：選選 A因?yàn)橐驗(yàn)?sin 35，2，所以所以 cos 1sin245，所以所以 tan sin cos 34.因?yàn)橐驗(yàn)?tan()12tan ，所以，所以 tan 12，則則 tan()tan tan 1tan tan 211.2已知已知 sin 13cos ，且，且0，2 ，則，則cos 2sin4的值為的值為()A23B.23C13D.13解析：解析：選選 A因?yàn)橐驗(yàn)?sin 13cos ，即，即 sin cos 13，所以所以cos 2sin4cos2sin2sin cos4cos sin4 cos sin cos sin 22 sin cos 132223，故選，故選 A.3設(shè)設(shè) sin 2sin ，2，則，則 tan 2的值是的值是_解析：解析：sin 22sin cos sin ，2，cos 12，sin 32，tan 3，tan 22tan 1tan22 31 3 2 3.答案：答案： 34已知已知 cosx4 210，x2，34 .(1)求求 sin x 的值；的值；(2)求求 cos2x3 的值的值解解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?x2，34 ，所以所以 x44，2 ，sinx4 1cos2x4 7 210.sin xsinx4 4sinx4 cos4cosx4 sin47 210222102245.(2)因?yàn)橐驗(yàn)?x2，34 ，故故 cos x 1sin2x145235，sin 2x2sin xcos x2425，cos 2x2cos2x1725.所以所以 cos2x3 cos 2xcos3sin 2xsin37251224253224 3750.名師微點(diǎn)名師微點(diǎn)三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值考點(diǎn)二三角函數(shù)公式的逆用與變形用考點(diǎn)二三角函數(shù)公式的逆用與變形用師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(1)在在ABC 中，若中，若 tan Atan Btan Atan B1，則，則 cos C_.(2)sin 101 3tan 10_.(3)化簡化簡sin23512cos 10cos 80_.解析解析(1)由由 tan Atan Btan Atan B1，可得可得tan Atan B1tan Atan B1，即即 tan(AB)1，又因?yàn)?，又因?yàn)?AB(0，)，所以所以 AB34，則，則 C4，cos C22.(2)sin 101 3tan 10sin 10cos 10cos 10 3sin 102sin 10cos 10412cos 1032sin 10sin 204sin 3010 14.(3)sin23512cos 10cos 801cos 70212cos 10sin 1012cos 7012sin 201.答案答案(1)22(2)14(3)1解題技法解題技法兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式(2)和差角公式變形：和差角公式變形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1 tan tan )(3)倍角公式變形：降冪公式倍角公式變形：降冪公式提醒提醒tan tan ，tan tan (或或 tan tan )，tan()(或或 tan()三者中可以知三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1(2019西安模擬西安模擬)已知已知 sin 223，則，則 cos24 ()A.16B16C.12D.23解析解析：選選 Acos24 1cos 2421sin 22，sin 223，cos24 123216.2(2018益陽模擬益陽模擬)已知已知 cos6 sin 4 35，則，則 sin76 _.解析：解析：由由 cos6 sin 4 35，可得可得32cos 12sin sin 4 35，即即32sin 32cos 4 35， 3sin6 4 35，即即 sin6 45，sin76 sin6 45.答案答案：45考點(diǎn)三公式的靈活應(yīng)用考點(diǎn)三公式的靈活應(yīng)用全析考法過關(guān)全析考法過關(guān)考法全析考法全析考法考法(一一)角的變換角的變換例例 1(1)(2019開封模擬開封模擬)已知已知 cosx6 13，則，則 cos xcosx3 ()A.32B. 3C.12D.33(2)(2019南昌模擬南昌模擬)設(shè)設(shè)為銳角為銳角，若若 cos6 13，則則 sin212 的值為的值為()A.725B.7 2818C17 250D.25解析解析(1)cos xcosx3 cosx6 6cosx6 62cosx6 cos633.(2)為銳角為銳角， 02，6623， 設(shè)設(shè)6， 由由 cos6 13， 得得 sin 2 23，sin 22sin cos 4 29，cos 22cos2179，sin212 sin234 sin24 sin 2cos4cos 2sin44 292279 227 2818.答案答案(1)D(2)B考法考法(二二)三角函數(shù)式的變化三角函數(shù)式的變化例例 2(1)化簡：化簡： 1sin cos sin2cos222cos (0)(2)求值：求值：1cos 202sin 20sin 101tan 5tan 5.解解(1)由由(0，)，得，得 022，cos20， 22cos 4cos222cos2.又又(1sin cos )sin2cos22sin2cos22cos22sin2cos22cos2sin22cos222cos2cos ，故原式故原式2cos2cos 2cos2cos .(2)原式原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5cos 102sin 10sin 10cos 1012sin 10cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin 3010 2sin 10cos 10212cos 1032sin 102sin 103sin 102sin 1032.規(guī)律探求規(guī)律探求看個性看個性考法考法(一一)是考查角的變換是考查角的變換，解決此類問題應(yīng)明確各個角之間的關(guān)系解決此類問題應(yīng)明確各個角之間的關(guān)系(包括非特包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧熟悉角的變換技巧，及半角與倍角的相互及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化，如如：2()()，()()，406020，442，224等等考法考法(二二)是三角函數(shù)式的變化是三角函數(shù)式的變化， 解決此類問題應(yīng)明確各個三角函數(shù)名稱之間的解決此類問題應(yīng)明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦化為正弦、余弦找共性找共性轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，恒等變形前需清楚已知式中角的差異恒等變形前需清楚已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1已知已知 tan 1tan 4，則，則 cos24 ()A.12B.13C.14D.15解析解析：選選 C由由 tan 1tan 4，得得sin cos cos sin 4，即即sin2cos2sin cos 4，sin cos 14，cos24 1cos2221sin 2212sin cos 21214214.2(2018濟(jì)南一模濟(jì)南一模)若若 sinA4 7 210，A4，則，則 sin A 的值為的值為()A.35B.45C.35或或45D.34解析：解析：選選 BA4，A42，54 ，cosA4 1sin2A4 210，sin AsinA4 4sinA4 cos4cosA4 sin445.