第1講基礎(chǔ)知識(shí)及題分析

基礎(chǔ)知識(shí)部分錢(qián)淑渠安順學(xué)院數(shù)計(jì)系2011年7月一、數(shù)學(xué)模型的定義一、數(shù)學(xué)模型的定義就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。n歐幾里德幾何就是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)模型，牛頓萬(wàn)有引力定律也是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)光輝典范。 二、建模的基本步驟二、建模的基本步驟YesNon1. 模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備 要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征。 學(xué)院圖書(shū)館-維普，中國(guó)知網(wǎng)等n2. 模型假設(shè)模型假設(shè) 根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。n3. 模型構(gòu)建模型構(gòu)建 根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。n4. 模型求解模型求解 可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。n5. 模型檢驗(yàn)及分析模型檢驗(yàn)及分析 對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠穹蠈?shí)際想象。三、數(shù)模競(jìng)賽的指導(dǎo)思想三、數(shù)模競(jìng)賽的指導(dǎo)思想n數(shù)模競(jìng)賽題是一個(gè)“課題”，大部分都源于生產(chǎn)實(shí)際或者科學(xué)研究的過(guò)程中，它是一個(gè)綜合性的問(wèn)題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計(jì)算機(jī)來(lái)完成。其答案往往不是唯一的（數(shù)學(xué)模型是實(shí)際的模擬，是實(shí)際問(wèn)題的近似表達(dá)，它的完成是在某種合理的假設(shè)下，因此其只能是較優(yōu)的，不唯一的），呈報(bào)的成果是一編“論文”。四、競(jìng)賽中的常見(jiàn)題型四、競(jìng)賽中的常見(jiàn)題型1. 實(shí)際問(wèn)題背景實(shí)際問(wèn)題背景 涉及面寬有社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問(wèn)題等。2 . 若干假設(shè)條件若干假設(shè)條件 1）只有過(guò)程、規(guī)則等定性假設(shè)，無(wú)具體定量數(shù)據(jù)；2）給出若干實(shí)測(cè)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；3）給出若干參數(shù)或圖形； 4）蘊(yùn)涵著某些機(jī)動(dòng)、可發(fā)揮的補(bǔ)充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。3. 要求回答的問(wèn)題要求回答的問(wèn)題 有幾個(gè)問(wèn)題，而且一般不是唯一答案。1）比較確定性的答案（基本答案）；2）更細(xì)致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。 五、歷年試題五、歷年試題n1993年A題 非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì) n1993年B題 球隊(duì)排名問(wèn)題 n1994年A題 逢山開(kāi)路 n1994年B題 鎖具裝箱 n1995年A題 一個(gè)飛行管理模型 n1995年B題 天車(chē)與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度 n1996年A題 最優(yōu)捕魚(yú)策略 n1996年B題 節(jié)水洗衣機(jī) n1997年A題 零件的參數(shù)設(shè)計(jì) n1997年B題 截?cái)嗲懈?n1998年A題 投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)n1998年B題 災(zāi)情巡視路線 n1999年A題 自動(dòng)化車(chē)床管理 n1999年B題 鉆井布局 n2000年A題 DNA序列分類 n2000年B題 鋼管定購(gòu)和運(yùn)輸 n2001年A題 血管的三維重建 n2001年B題 公交車(chē)調(diào)度 n2002年A題 車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)n2002年B題 彩票中的數(shù)學(xué)n2003年A題 SARS的傳播n2003年B題 露天礦生產(chǎn)的車(chē)輛安排n2004年A題 奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)n2004年B題 電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理 n2005年A題 長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)n2005年B題 DVD在線租賃n2006年A題 出版社的資源配置n2006年B題 艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)n2007年A題 中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)n2007年B題 乘公交，看奧運(yùn) n2008年A題 數(shù)碼相機(jī)定位n2008年B題 高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討n2009年A題 制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法n2009年B題 眼科病床的合理安排n2010年A題 儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定n2010年B題 2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估 1 1、從問(wèn)題的實(shí)際意義分析、從問(wèn)題的實(shí)際意義分析 從實(shí)際意義方面分析從實(shí)際意義方面分析, ,大體上可以分為大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)事業(yè)事業(yè)等七個(gè)大類。等七個(gè)大類。 工業(yè)類工業(yè)類：電子通信、機(jī)械加工電子通信、機(jī)械加工 與制造、機(jī)械設(shè)計(jì)與與制造、機(jī)械設(shè)計(jì)與 控制等行業(yè)控制等行業(yè), ,共有共有8 8個(gè)個(gè) 題，占題，占28.6%28.6%。農(nóng)業(yè)類：農(nóng)業(yè)類：個(gè)題，占個(gè)題，占3.6%3.6%。工程設(shè)計(jì)類工程設(shè)計(jì)類: : 3 3個(gè)題，占個(gè)題，占10.7%10.7%。交通運(yùn)輸類：交通運(yùn)輸類：3 3個(gè)題，占個(gè)題，占10.7%10.7%經(jīng)濟(jì)管理類：經(jīng)濟(jì)管理類：4 4個(gè)題，占個(gè)題，占14.3%14.3%生物醫(yī)學(xué)類：生物醫(yī)學(xué)類：4 4個(gè)題，占個(gè)題，占14.3%14.3%社會(huì)事業(yè)類社會(huì)事業(yè)類: : 5 5個(gè)題，占個(gè)題，占17.8%17.8% 有的問(wèn)題屬于交叉的，或者是邊緣的。有的問(wèn)題屬于交叉的，或者是邊緣的。2 2、從問(wèn)題的解決方法上分析、從問(wèn)題的解決方法上分析 從問(wèn)題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學(xué)建模方從問(wèn)題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學(xué)建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(jì)分析、優(yōu)化方法、法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(jì)分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方圖論、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多法、微分方程、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時(shí)間序列、綜合評(píng)價(jià)方法、機(jī)理分析等方法。時(shí)間序列、綜合評(píng)價(jià)方法、機(jī)理分析等方法。 用的最多的方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法用的最多的方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法. . 用到優(yōu)化方法的共有用到優(yōu)化方法的共有1919個(gè)題，占總數(shù)的個(gè)題，占總數(shù)的67.9%67.9%，其中整數(shù)規(guī)劃其中整數(shù)規(guī)劃4 4個(gè)，線性規(guī)劃個(gè)，線性規(guī)劃4 4個(gè)，非線性規(guī)劃個(gè)，非線性規(guī)劃1414個(gè)個(gè), ,多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃4 4個(gè)。個(gè)。 用到概率統(tǒng)計(jì)方法的有用到概率統(tǒng)計(jì)方法的有1515個(gè)題，占個(gè)題，占53.6%53.6%，幾乎，幾乎是每年至少有一個(gè)題目用到概率統(tǒng)計(jì)的方法。是每年至少有一個(gè)題目用到概率統(tǒng)計(jì)的方法。 用到圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法的問(wèn)題有個(gè)；用到圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法的問(wèn)題有個(gè)； 用到層次分析方法的問(wèn)題有個(gè)；用到層次分析方法的問(wèn)題有個(gè)；3 3、從問(wèn)題的解決方法上分析、從問(wèn)題的解決方法上分析4 4、從問(wèn)題的題型上分析、從問(wèn)題的題型上分析（1 1）“即時(shí)性即時(shí)性”較強(qiáng)的問(wèn)題有較強(qiáng)的問(wèn)題有1010個(gè)個(gè), ,占占35.7%35.7%：1993B1993B：足球隊(duì)排名問(wèn)題；：足球隊(duì)排名問(wèn)題；1998B1998B：災(zāi)情巡視路線問(wèn)題；：災(zāi)情巡視路線問(wèn)題；2000A2000A：DNADNA序列分類問(wèn)題；序列分類問(wèn)題；2000B2000B：鋼管訂購(gòu)與運(yùn)輸問(wèn)題；：鋼管訂購(gòu)與運(yùn)輸問(wèn)題；2001B2001B：公交車(chē)的調(diào)度問(wèn)題；：公交車(chē)的調(diào)度問(wèn)題；2002B2002B：彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題；：彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題；2003A2003A：SARSSARS的傳播問(wèn)題；的傳播問(wèn)題；2004A2004A：奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題：奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題2004B2004B：電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理問(wèn)題：電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理問(wèn)題2005A: 2005A: 長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)問(wèn)題長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)問(wèn)題 4 4、從問(wèn)題的題型上分析、從問(wèn)題的題型上分析(2)(2)理論性較強(qiáng)的問(wèn)題有理論性較強(qiáng)的問(wèn)題有1212個(gè)個(gè), ,占占46.2% : 46.2% : 94A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,94A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;03A,04B;(3)(3)實(shí)用性較強(qiáng)的問(wèn)題有實(shí)用性較強(qiáng)的問(wèn)題有1414個(gè)個(gè), ,占占50% : 50% : 93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B03A,04B,05A,05B；(4)(4)算法要求強(qiáng)的問(wèn)題有算法要求強(qiáng)的問(wèn)題有6 6個(gè)個(gè), ,占占21.4% : 21.4% : 95A,97B,99B,00A,00B,05B;95A,97B,99B,00A,00B,05B;(5)(5)數(shù)據(jù)量較大的問(wèn)題有數(shù)據(jù)量較大的問(wèn)題有1010個(gè)個(gè), ,占占35.7% : 35.7% : 00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B. .六、論文內(nèi)容和格式六、論文內(nèi)容和格式1.標(biāo)題標(biāo)題n題目寫(xiě)出較確切的題目。2. .摘要摘要200-300字，包括na. 模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）；nb. 建模的思想（思路）；nc. 算法思想（求解思路）；nd. 建模特點(diǎn)（模型優(yōu)點(diǎn)，建模思想或方法，算法特點(diǎn)，結(jié)果檢驗(yàn)，靈敏度分析，模型檢驗(yàn)）；ne. 主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論；回答題目所問(wèn)的全部“問(wèn)題”）。n 注意表述：準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、條理清晰、合乎語(yǔ)法、字體工整漂亮。n內(nèi)容較多時(shí)最好有個(gè)目錄。內(nèi)容較多時(shí)最好有個(gè)目錄。3. 問(wèn)題重述問(wèn)題重述4. 模型假設(shè)模型假設(shè)n根據(jù)全國(guó)組委會(huì)確定的評(píng)閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。na. 根據(jù)題目中條件作出假設(shè)nb. 根據(jù)題目中要求作出假設(shè)nC. 符合假設(shè)關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意。5. 模型構(gòu)建模型構(gòu)建a. 基本模型：）首先要有數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等；）基本模型，要求完整，正確，簡(jiǎn)明；b. 簡(jiǎn)化模型：）要明確說(shuō)明簡(jiǎn)化思想，依據(jù)等；）簡(jiǎn)化后模型，盡可能完整；c. 模型要實(shí)用，有效，以解決問(wèn)題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實(shí)際問(wèn)題，不追求數(shù)學(xué)上的高（級(jí)）、深（刻）、難（度大）。）能用初等方法解決的、就不用高級(jí)方法；）能用簡(jiǎn)單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。d鼓勵(lì)創(chuàng)新，但要切實(shí)，不要離題搞標(biāo)新立異。數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在：1. 建模中，模型本身，簡(jiǎn)化的好方法、好策略等；2. 模型求解中；3. 結(jié)果表示、分析、檢驗(yàn)，模型檢驗(yàn)；4.推廣部分。e在問(wèn)題分析推導(dǎo)過(guò)程中，需要注意的問(wèn)題：）分析：中肯、確切；）術(shù)語(yǔ)：專業(yè)、內(nèi)行；）原理、依據(jù)：正確、明確；）表述：簡(jiǎn)明，關(guān)鍵步驟要列出；）忌：外行話，專業(yè)術(shù)語(yǔ)不明確，表述混亂，冗長(zhǎng)。6. 模型求解模型求解a. 需要建立數(shù)學(xué)命題時(shí)：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。b. 需要說(shuō)明計(jì)算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。 若采用現(xiàn)有軟件，說(shuō)明采用此軟件的理由，軟件名稱。 c. 計(jì)算過(guò)程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。d. 設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。7. 結(jié)果分析、檢驗(yàn)；結(jié)果分析、檢驗(yàn)；模型檢驗(yàn)及模型修模型檢驗(yàn)及模型修正；結(jié)果表示正；結(jié)果表示a. 最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的； b. 對(duì)數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)； 結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時(shí)，分析原因， 對(duì)算法、計(jì)算方法、或模型進(jìn)行修正、改進(jìn)。c. 題目中要求回答的問(wèn)題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出； d. 列數(shù)據(jù)問(wèn)題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；e. 結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析。 數(shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計(jì)表格；可能的話，用圖形圖表形式。 求解方案，用圖示更好。8. 模型評(píng)價(jià)模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)突出，缺點(diǎn)不回避。改變?cè)}要求，重新建?？稍诖俗觥Ｍ茝V或改進(jìn)方向時(shí)，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。9. 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 武桃，張力武桃，張力. 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型M. 北京：高北京：高等教育出版社，等教育出版社，1960，45-49.2 陸平陸平. 數(shù)學(xué)模型研究數(shù)學(xué)模型研究J. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)，2010，2(5):12-18.3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), .10. 附錄附錄 詳細(xì)的結(jié)果，詳細(xì)的數(shù)據(jù)表格，圖表，算法程序，可在此列出，但不要錯(cuò)。 主要結(jié)果數(shù)據(jù)，表格，應(yīng)在正文中列出，不怕重復(fù)。七. 參賽注意1時(shí)間和體力的問(wèn)題時(shí)間和體力的問(wèn)題2團(tuán)隊(duì)合作是能否獲獎(jiǎng)的關(guān)鍵團(tuán)隊(duì)合作是能否獲獎(jiǎng)的關(guān)鍵3重視摘要重視摘要 4論文寫(xiě)作要正規(guī)論文寫(xiě)作要正規(guī)5模型的假設(shè)與模型的建立模型的假設(shè)與模型的建立6圖文表并茂可以增色圖文表并茂可以增色 八. 參考資料 姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版），高等教育出版社 姜啟源、謝金星、葉俊數(shù)學(xué)建模（第三版），高等教育出版社 蕭樹(shù)鐵等，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育出版社 朱道元，數(shù)學(xué)建模案例精選，科學(xué)出版社 雷功炎，數(shù)學(xué)模型講義，北京大學(xué)出版社 葉其孝等，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材（一）（四），湖南教育出版社 江裕釗、辛培清，數(shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)模擬，電子科技大學(xué)出版社 楊啟帆、邊馥萍，數(shù)學(xué)模型，浙江大學(xué)出版社 趙靜等，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育出版社，施普林格出版社