大連理工大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析筆記

全國(guó)考研專業(yè)課高分資料大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析筆記筆 記：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科生筆記或者輔導(dǎo)班筆記講 義：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科教學(xué)課件期末題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科期末測(cè)試題2-3套模擬題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課模擬測(cè)試題2套復(fù)習(xí)題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課導(dǎo)師復(fù)習(xí)題真 題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)歷年考試真題，本項(xiàng)為贈(zèng)送項(xiàng)，未公布的不送！ 目錄第二模塊 筆記3第一部分 實(shí)數(shù)集與函數(shù)3第二部分 數(shù)列極限8第三部分 函數(shù)極限10第四部分 函數(shù)連續(xù)性15第五部分 導(dǎo)數(shù)與微分32第六部分微分中值定理及其應(yīng)用38第八部分 不定積分53第九部分 定積分56第十部分定積分的應(yīng)用62第十一部分 反常積分70第十二部分 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)74第十三部分 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)92第十四部分 冪級(jí)數(shù)103第十五部分 傅里葉級(jí)數(shù)118第十六部分 多元函數(shù)的極限與連續(xù)133第十七部分 多元函數(shù)微分學(xué)138第十八部分 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用150第十九部分 含參量積分154第二十部分 曲線積分165第二十一部分 重積分168第二十二部分 曲面積分177第二模塊 筆記第一部分 實(shí)數(shù)集與函數(shù) 1 實(shí) 數(shù) 數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，因此先敘述一下實(shí)數(shù)的有關(guān)概念一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義.有理數(shù)： 若規(guī)定： 則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù)。例如： 記為 ；0 記為 ； 記為 實(shí)數(shù)大小的比較定義1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)其中 為非負(fù)整數(shù)，。若由1） 則稱 與 相等，記為 2） 若存在非負(fù)整數(shù) ，使得 ，而，則稱 大于 （或 小于 ），分別記為 （或）。規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)；對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)，若按定義1有 ，則稱 實(shí)數(shù)的有理數(shù)近似表示定義2 設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)為實(shí)數(shù)的位不足近似值，而有理數(shù)稱為的位過(guò)剩近似值。對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 的位不足近似值規(guī)定為：；的位過(guò)剩近似值規(guī)定為：比如 ，則1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 稱為 的不足近似值；1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 稱為 的過(guò)剩近似值。命題 設(shè) 為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則 實(shí)數(shù)的一些主要性質(zhì) 1 四則運(yùn)算封閉性:2 三歧性( 即有序性 ):3 實(shí)數(shù)大小由傳遞性，即 4 Achimedes性: 5 稠密性: 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的稠密性.6 實(shí)數(shù)集的幾何表示 數(shù)軸:例 二. 絕對(duì)值與不等式絕對(duì)值定義： 從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離：絕對(duì)值的一些主要性質(zhì) 性質(zhì)4（三角不等式）的證明： 三. 幾個(gè)重要不等式: 對(duì) 記 (算術(shù)平均值) (幾何平均值) (調(diào)和平均值)有均值不等式: 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立. Bernoulli 不等式: (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)) 對(duì) 由二項(xiàng)展開式 有: 上式右端任何一項(xiàng).2 數(shù)集。確界2 二 數(shù)集 . 確界原理:一 區(qū)間與鄰域:鄰域二 有界數(shù)集 . 確界原理:1. 有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界)閉區(qū)間、為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 也是有界數(shù)集. 無(wú)界數(shù)集: 對(duì)任意，存在 ，則稱S為無(wú)界集。 等都是無(wú)界數(shù)集, 例 證明集合 是無(wú)界數(shù)集.證明：對(duì)任意, 存在 由無(wú)界集定義，E為無(wú)界集。確界先給出確界的直觀定義：若數(shù)集S有上界，則顯然它有無(wú)窮多個(gè)上界，其中最小的一個(gè)上界我們稱它為數(shù)集S的上確界；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。精確定義定義2 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條：（1） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集S 的上界；（2） 對(duì)任何 存在 使得（即是S的最小上界）則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。記作 定義3 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條：（3） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集S 的下界；（4） 對(duì)任何 存在 使得（即是S的最大下界）則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界。記作 3 函數(shù)概念函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象, 可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的. 因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí).一 函數(shù)的定義 1. 函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明. 函數(shù)的兩要素: 定義域和對(duì)應(yīng)法則約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值. 函數(shù)的表示法: 解析法, 列表法, 圖像法.分段函數(shù) 狄里克雷函數(shù) 黎曼函數(shù) 三 函數(shù)的四則運(yùn)算（見課本） 四. 函數(shù)的復(fù)合: 六 初等函數(shù): 基本初等函數(shù):1 常函數(shù)2 冪函數(shù) 冪函數(shù) 4 具有某些特性的函數(shù)1.有界函數(shù) 若函數(shù)在定義域上既有上界又有下界，則稱為上的有界函數(shù)。這個(gè)定義顯然等價(jià)于，對(duì)一切，恒有 請(qǐng)同學(xué)們利用有界函數(shù)的定義給出無(wú)界函數(shù)的定義。例 是無(wú)界函數(shù)。證明 對(duì)任意的 ，存在 ，取，則 2. 單調(diào)函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù)（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱周期函數(shù) 1) 通常我們所說(shuō)的周期總是指函數(shù)的最小周期 2) 有的周期函數(shù)不一定有最小周期 ，例如常函數(shù)是周期函數(shù)， 狄里克雷函數(shù)，它們顯然沒(méi)有最小周期第二部分 數(shù)列極限1 數(shù)列極限概念 對(duì)于數(shù)列 ，設(shè) A 是一個(gè)常數(shù)，若任給 ，都存在相應(yīng)的自然數(shù) 時(shí)， ，則稱 A為數(shù)列的極限。下面我們通過(guò)圖示，對(duì)數(shù)列定義作幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）的任意性 （2）的相應(yīng)性三、用極限定義證明 的例題2. 數(shù)列極限的等價(jià)定義: 對(duì) 對(duì)任正整數(shù) 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 1. 極限唯一性：（ 證 ）2. 收斂數(shù)列有界性 收斂的必要條件：（ 證 ）3. 收斂數(shù)列保號(hào)性：定理2.4 設(shè) 或. 則對(duì)(或(或例1 設(shè) 證明：若 則（ 證 ）定理2.5 設(shè)若，（注意“ = ” ；并注意和 的情況 ）.推論 若 則對(duì) 4. 定理（ 迫斂性 ） ( 證 )5. 絕對(duì)值收斂性: ( 注意反之不確 ). ( 證 )推論 設(shè)數(shù)列和收斂, 則6.四則運(yùn)算性質(zhì):7. 子列收斂性: 子列概念.定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) 收斂 的任何子列收斂于同一極限.定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) 收斂 子列和收斂于同一極限.定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) 收斂 子列、和都收斂. ( 簡(jiǎn)證 )一、利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限:兩個(gè)基本極限：1. 利用四則運(yùn)算性質(zhì)求極限：數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的, 有界很容易用歸納法證明, 而且 利用單調(diào)有界定理, 設(shè)其極限為 , 則有 , A=2定理 2.10 數(shù)列收斂，（ 或數(shù)列收斂，第三部分 函 數(shù) 極 限1 函數(shù)極限概念一 趨于時(shí)函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)定義在上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量趨于時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否無(wú)限地接近于某個(gè)定數(shù)。例如，對(duì)于函數(shù)從圖象上可見，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值無(wú)限地接近于0；而對(duì)于函數(shù)，則當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)值無(wú)限地接近于。我們稱這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有極限。一般地，當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下：定義1 設(shè)定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí), 有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作 或 。說(shuō)明:(1)、在定義1中正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中的相類似，表明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)。因此，當(dāng)趨于時(shí)函數(shù)以為極限意味著：的任意小鄰域內(nèi)必含有在的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。(2)、定義1的幾何意義如下圖所示，對(duì)任給的，在坐標(biāo)平面上平行于軸的兩條直線 與，圍成以直線為中心線、寬為的帶形區(qū)域；定義中的“當(dāng)時(shí)有”表示：在直線的右方，曲線全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi)。如果正數(shù)給的小一點(diǎn)，即當(dāng)帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線一般要往右平移；但無(wú)論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù)，使得曲線在直線的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。定義1的否定敘述: 定義1 設(shè)定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。若存在某個(gè)，對(duì)任意充分大的正數(shù)，總存在某個(gè),使得:，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)不以為極限.(3)、現(xiàn)設(shè)為定義在或上的函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，若函數(shù)值能無(wú)限地接近某定數(shù)，則稱當(dāng)或時(shí)以為極限，分別記作: 或 ; 或 這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“”分別改為“”或 “”即可。問(wèn)題: (4)、顯然,若為定義在上的函數(shù)，則（1）(返回)二 趨于時(shí)函數(shù)的極限設(shè)為定義在某個(gè)空心鄰域內(nèi)的函數(shù)?，F(xiàn)在討論當(dāng)趨于時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個(gè)定數(shù)。這類函數(shù)極限的精確定義如下：定義2（函數(shù)極限的定義）設(shè)函數(shù)在某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或 。下面我們舉例說(shuō)明如何應(yīng)用定義來(lái)驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限。請(qǐng)讀者特別注意以下各例中的值是怎樣確定的。通過(guò)以上各個(gè)例子，讀者對(duì)函數(shù)極限的定義應(yīng)能體會(huì)到下面幾點(diǎn)：1.定義2中的正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)列極限定義中的，它依賴于，但也不是由所唯一確定，一般來(lái)說(shuō)，愈小，也相應(yīng)地要小一些，而且把取得更小些也無(wú)妨。如在例3中可取或等等。2.定義中只要求函數(shù)在某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮在點(diǎn)處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因?yàn)?，?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)趨于過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)。如在定理3.9設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心右鄰域 有定義。的充要條件是：對(duì)任何以為極限的遞減數(shù)列，有。這個(gè)定理的證明可仿照定理3.8進(jìn)行，但在運(yùn)用反證法證明充分性時(shí)，對(duì)的取法要作適當(dāng)?shù)男薷?，以保證所找到的數(shù)列能遞減地趨于。證明的細(xì)節(jié)留給讀者作為練習(xí)。相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以這種類型為例敘述如下：定理3.10設(shè)是定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。證 不妨設(shè)在上遞增。因在上有界，由確界原理，存在，記為。下證 。事實(shí)上，任給，按下確界定義，存在，使得。取 ，則由的遞增性，對(duì)一切=，有另一方面，由，更有。從而對(duì)一切有這就證得 。最后，我們敘述并證明關(guān)于函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。定理3.11（柯西準(zhǔn)則）設(shè)在 內(nèi)有定義。存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，有證 必要性 設(shè)，則對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得對(duì)任何有。于是對(duì)任何 ，有。充分性 設(shè)數(shù)列 且 。按假設(shè)，對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，有。由于（），對(duì)上述的，存在，使得當(dāng) 時(shí)有 ，, 從而有 .于是,按數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列的極限存在,記為,即.設(shè)另一數(shù)列且, 則如上所證, 存在, 記為. 現(xiàn)證.為此,考慮數(shù)列:,易見且 故仍如上所證, 也收斂.于是，作為的兩個(gè)子列，與必有相同的極限。所以由歸結(jié)原則推得按照函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則，我們能寫出極限 不存在的充要條件：存在 ，對(duì)任何 （無(wú)論多么?。偪烧业?，使得 如在例中我們可取，對(duì)任何設(shè)正整數(shù) ，令 ，則有 ，而于是，按柯西準(zhǔn)則極限 不存在解 當(dāng)時(shí)有 。故所求極限等于 。第四部分 函數(shù)連續(xù)性1 連續(xù)性的概念一 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有 ，則稱 在 時(shí)，以 為極限。這里可以有三種情況：1） 無(wú)定義，比如上部分講過(guò)的特殊極限 2），比如 ， 2）的情形1）的情形3）3）的情形對(duì)1）、2）兩種情況，曲線在 處都出現(xiàn)了間斷; 第3）種情況與前兩種情況不同，曲線在處連綿不斷，我們稱這種情況即：時(shí)， 在 處連續(xù)。為此給出函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)的定義定義1 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若： 則稱函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)。2、函數(shù)在一點(diǎn)的左、右連續(xù)的定義相應(yīng)于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定義如下：定義2 設(shè)函數(shù) 在 的某左（右）鄰域內(nèi)有定義，若：（ ）則稱 在 點(diǎn)左（右）連續(xù)。由極限與單側(cè)極限的關(guān)系不難得出：3、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)與函數(shù)在該點(diǎn)左、右連續(xù)的關(guān)系：定理4.1 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件為： 在 點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。（事實(shí)上： ）定理4.1的等價(jià)的否定敘述：函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)的充分必要條件為： 在 點(diǎn)或不左連續(xù)或不右連續(xù)。前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)在一點(diǎn)上連續(xù)的有關(guān)定義，下面我們來(lái)學(xué)習(xí)二 函數(shù)的間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）及其分類1、函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的定義定義3 設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若在點(diǎn)無(wú)定義，或在點(diǎn)有定義但不連續(xù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。由連續(xù)的定義知，函數(shù) 在 點(diǎn)不連續(xù)必出現(xiàn)如下3種情形:1） ，而在點(diǎn)無(wú)定義，或有定義但2） 左、右極限都存在，但不相等, 稱： 為跳躍度或躍度。3） 左、右極限至少一個(gè)不存在據(jù)此，函數(shù)的間斷點(diǎn)可作如下分類：2、間斷點(diǎn)及其分類1）、可去間斷點(diǎn) 對(duì)于情況1），即若：（存在），而在點(diǎn)無(wú)定義，或有定義但，則稱： 為可去間斷點(diǎn)（或可去不連續(xù)點(diǎn)）； 三 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義 若函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為I上的連續(xù)函數(shù),對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性則按左、右連續(xù)來(lái)確定。定義 如果 在區(qū)間 上僅有有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)，則稱函數(shù)在區(qū)間 上按段連續(xù)。例如 是按段連續(xù)函數(shù)。小結(jié)：1）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個(gè)等價(jià)定義；2）函數(shù)的左右連續(xù)性；3）不連續(xù)的分類：可去不連續(xù)點(diǎn)；跳躍不連續(xù)；第二類不連續(xù)點(diǎn)；4）區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義。2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)內(nèi)容：1 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 3 反函數(shù)的連續(xù)性 4 一致連續(xù)性重點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)難點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性；一致連續(xù)性. 一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的在點(diǎn)連續(xù)性，即可推斷出函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的性態(tài)。定理4.2（局部連續(xù)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界。定理4.3 （局部保號(hào)性） 若函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，且 ，則對(duì)任意 存在 某鄰域 時(shí)，定理4.4（四則運(yùn)算性質(zhì)）若函數(shù)則在區(qū)間I上有定義，且都在連續(xù)，則（）在 點(diǎn)連續(xù)。例 因連續(xù)，可推出多項(xiàng)式函數(shù)和有理函數(shù)為多項(xiàng)式）在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。同樣,由上的連續(xù)性，可推出與在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。定理4.5（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在 點(diǎn)連續(xù)。證明 由于在 連續(xù)，對(duì)任給的，存在 ，使 時(shí)有 （1）又由及在連續(xù)，故對(duì)上述，存在，使得當(dāng)時(shí)，有. 聯(lián)系（1）得: 對(duì)任給的，存在 ，當(dāng) 時(shí)有.這就證明了 在點(diǎn) 連續(xù).注：根據(jù)連續(xù)性的定義，上述定理的結(jié)論可表示為 (2)二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)前面我們研究了函數(shù)的局部性質(zhì)，下面通過(guò)局部性質(zhì)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)。定義1 設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)一切有 ，則稱f在D上有最大（最小值）值，并稱為f在D上的最大（最小值）值.例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定義域D上不一定有最大值或最小值（即使f在D上有界）。如在上既無(wú)最大值又無(wú)最小值，又如 (4)在閉區(qū)間上也無(wú)最大、最小值。定理4.6 (最大最小值定理) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則 在閉區(qū)間 上有最大值與最小值。該定理及以后的定理4.7 和定理4.9將在第七部分2給出證明.推論：（有界性）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有界。定理4.7(介值性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若為介于之間的任何實(shí)數(shù)（ 或 ）,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得:推論（根的存在定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)使得 .即 在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. 應(yīng)用介值性定理，還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì)：若在區(qū)間a,b上連續(xù)且不是常量函數(shù),則值域 也是一個(gè)區(qū)間；特別若為區(qū)間 a,b, 在 a,b上的最大值為,最小值為，則；又若 為 a,b上的增（減）連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù)，則例3 證明：若為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)，使得.證明 先證存在性。由于當(dāng) 時(shí)有 ，故存在正數(shù) ，使得 .因在上連續(xù)，并有，故有介值性定理，至少存在一點(diǎn)使得.再證唯一性。設(shè)正數(shù) 使得 由于第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正所以只能 ，即 .例4 設(shè) 在 a,b 連續(xù)，滿足 （5）證明：存在，使得 （6）證 條件（5）意味著：對(duì)任何有，特別有以及 .若或，則取，從而（6）式成立?，F(xiàn)設(shè)與。令 ，則 ，. 由根的存在性定理，存在，使得 即 .三 反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8（反函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在閉區(qū)間嚴(yán)格遞增（遞減）且連續(xù)，則其反函數(shù)在相應(yīng)的定義域 （）上遞增（遞減）且連續(xù)。證明 （只證明f(x)嚴(yán)格遞增情況）由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，反函數(shù)存在，而且其定義域?yàn)椤?設(shè) ，且 則 ，對(duì)任給的可在的兩側(cè)各取異于的兩點(diǎn)（），使它們與的距離小于（參見上圖）.設(shè)，由函數(shù)的嚴(yán)格遞增性， 必分別落在的兩側(cè)，即當(dāng) 時(shí)，令 ，則當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 的值必落在之間，從而 .應(yīng)用單側(cè)極限的定義，同樣可證在區(qū)間端點(diǎn)也是連續(xù)的。四 一致連續(xù)性前面介紹的函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，是指它在區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)。這只反映函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，就是說(shuō)連續(xù)定義中的 不僅與 有關(guān)，而且與有關(guān)。下面介紹的一致連續(xù)性，則是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，其定義中的只與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。定義2（一致連續(xù)性）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間I上有定義，若 只要 ，都有 ，則稱 在區(qū)間I上一致連續(xù)。這里要特別注意逐點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。直觀的說(shuō) 在區(qū)間I一致連續(xù)意味著：不論兩點(diǎn)在I中處于什么位置只要它們的距離小于，就可使 . 顯然I必然在I上每一點(diǎn)連續(xù)，反之，結(jié)論不一定成立（參見例9）。定理4.9 （一致連續(xù)性）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。3 初等函數(shù)連續(xù)性從前面兩節(jié)知道基本初等函數(shù)中：常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，以及有理指數(shù)冪函數(shù)，都是定義域上的連續(xù)函數(shù).本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)冪函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性。一 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一部分中，我們已定義了實(shí)指數(shù)的乘冪，并證明了指數(shù)函數(shù) 在上是嚴(yán)格單調(diào)的.下面先把關(guān)于有理指數(shù)冪的一個(gè)重要性質(zhì)推廣到一般指數(shù)冪,然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。定理4.10 設(shè) 為任意實(shí)數(shù),則有.證明 不妨設(shè)，則由第一部分3（6）式所定義，即.任給，設(shè)為兩個(gè)有理數(shù)，且，使得.由 的嚴(yán)格增遞性，得 .又有 ，故得.由任意性推出 .為證相反的不等式, 設(shè) 為有理數(shù)，且 ，使得 .再取有理數(shù) 使 , 則有故得到 .由任意性推出,所以有.(后一等式的證明留給讀者.)定理4.11 指數(shù)函數(shù)在R上是連續(xù)的.證明 先設(shè).有第三部分2例4知這表明在連續(xù).現(xiàn)任取.由定理4.10得 .令則當(dāng)時(shí)有,從而有.這證明了在任一點(diǎn)處連續(xù).當(dāng)時(shí),令,則有,而可看作函數(shù)與的復(fù)合，所以此時(shí)亦在上連續(xù)。利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，以及第三部分5例4中已證明的可知的值域?yàn)椋ǎ? 時(shí)也是如此).于是 的反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 在其定義域() 內(nèi)也連續(xù).二 初等函數(shù)的連續(xù)性由于冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）可表為，它是函數(shù)與的復(fù)合，故有指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，推得冪函數(shù)在其定義域（）上連續(xù)。前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).因此我們有下述定理：定理 4.12 一切基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).由于任何初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到,所以有：定理4.13 任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).第五部分 導(dǎo)數(shù)與微分1 導(dǎo)數(shù)概念速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容，但如果撇開它們具體的物理意義，單從數(shù)量關(guān)系上看它們有共同的本質(zhì)，兩者都表示函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度，即都反映了函數(shù)的變化率 （3）定義1、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，等.若上述極限不存在，則稱在點(diǎn)不可導(dǎo)。注：令，則（3）式可改寫為 （4）所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量y與自變量增量x之比的極限，這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱差商），而導(dǎo)數(shù)則為 在0處關(guān)于的變化率，它能夠近似描繪函數(shù) 在點(diǎn)附近的變化性態(tài)。注：此公式對(duì)= 0仍舊成立。利用有限增量公式，可得下面結(jié)論： 定理1 若函數(shù) 在 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在 處連續(xù)。但是可導(dǎo)僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比如：函數(shù)在 處連續(xù)，但不可導(dǎo)。（二）函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)導(dǎo)數(shù) 類似于函數(shù)在一點(diǎn)有左、右極限, 對(duì)于定義在某個(gè)閉區(qū)間或半開區(qū)間上的函數(shù)，如果要討論改函數(shù)在端點(diǎn)處的變化率時(shí)，就要對(duì)導(dǎo)數(shù)概念加以補(bǔ)充，引出單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。定義2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)的某右鄰域 上有定義，若右極限 (0或 (存在，則稱該極限值為 在點(diǎn) 0 的右導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，可定義左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是：定理5.2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，則存在的充分必要條件是：都存在，且 = 。說(shuō)明：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處討論導(dǎo)數(shù)便是依據(jù)這一結(jié)論，通過(guò)左、右導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷該點(diǎn)是否存在導(dǎo)數(shù)及若存在應(yīng)等于什么。由定理2，連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例函數(shù) ，處是焦點(diǎn)，不可導(dǎo)。 在 處振蕩，左右導(dǎo)數(shù)都不存在。（三）導(dǎo)函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都可導(dǎo)（對(duì)區(qū)間端點(diǎn)，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱為I上的可導(dǎo)函數(shù)。此時(shí)對(duì)每一個(gè)I，都有的一個(gè)導(dǎo)數(shù)（或單側(cè)導(dǎo)數(shù)）與之對(duì)應(yīng)，這樣就定義了一個(gè)在I上的函數(shù)，稱為在I上的導(dǎo)函數(shù)，也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)，記作等. 即 .說(shuō)明：1區(qū)間上的可導(dǎo)概念與連續(xù)一樣，也是逐點(diǎn)定義的局部概念。 2在物理學(xué)中導(dǎo)數(shù)y也常用牛頓記號(hào)y 表示，而記號(hào) 是萊布尼茨首先引用的。目前我們把 看作為一個(gè)整體，也可把它理解為 施加于y的求導(dǎo)運(yùn)算，待到學(xué)過(guò)“微分”之后，將說(shuō)明這個(gè)記號(hào)實(shí)際上是一個(gè)“商”，相應(yīng)于上述各種表示導(dǎo)數(shù)的形式，三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們已經(jīng)知道由導(dǎo)數(shù)的定義，所以曲線 在點(diǎn)的切線方程是 （7）這就是說(shuō)：函數(shù)在點(diǎn)x0 的導(dǎo)數(shù) 是曲線 在點(diǎn) （x0，y0）處的切線斜率，若 表示這條切線與x 軸正向的夾角，則 =tan 從而0 意味著切線與x 軸正向的夾角為銳角；= 0表示切線與x 軸平行。四、小結(jié)（可以師生共同總結(jié)，或教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，然后教師再條理一下）本節(jié)課重點(diǎn)在于“導(dǎo)數(shù)”的定義，而函數(shù) 在一點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) =是一個(gè)構(gòu)造性的定義，是利用繼用極限為工具，研究函數(shù)連續(xù)性以后，又一次用極限為工具研究函數(shù)性質(zhì)的典型范例，為此 1深刻理解導(dǎo)數(shù)，左（右）導(dǎo)數(shù)的概念（三個(gè)階段） 取差 對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)作分割（第一次否定）求平均 以“勻代不勻”； 再回到時(shí)刻（第二次否定）2明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相互聯(lián)系與區(qū)別。3能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4能利用導(dǎo)數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)概念的建立是高等數(shù)學(xué)常用的方法，下面我們總結(jié)一下這個(gè)過(guò)程，這對(duì)我們認(rèn)識(shí)、掌握高等數(shù)學(xué)的思維方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)是很有幫助的。為了考察運(yùn)動(dòng)物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，我們不能只停留在這個(gè)時(shí)刻，因?yàn)槟菢游覀兂酥牢矬w的位置外，就什么也得不到。我們必須用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問(wèn)題，使 t 動(dòng)起來(lái)，讓 t 變到 ，產(chǎn)生對(duì)位置的第一次否定，得到差和。這就把一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和周圍的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)聯(lián)系了起來(lái)，就能在運(yùn)動(dòng)中把握運(yùn)動(dòng)；取差其實(shí)就是對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)作了分割，一分割就使勻”和“不勻”這對(duì)矛盾的兩個(gè)方面發(fā)生了轉(zhuǎn)化：整體上的“不勻”，轉(zhuǎn)化為局部的“勻”，然后“以勻代替不勻”求出平均速度。為得到瞬時(shí)速度，就必須使 再回到，即令，對(duì)狀態(tài)第一次否定的否定。當(dāng) 回到 時(shí)，和都消失了，結(jié)果變成，仿佛什么也的不到，其實(shí)不然，因?yàn)榈南б蕾囉诘南?，雖然兩個(gè)相互制約的差都消失了，但他們的“比”卻保持著，這個(gè)比就是瞬時(shí)速度，或?qū)?dǎo)數(shù)，它反映了兩個(gè)量之間的“質(zhì)”的聯(lián)系。正是這第二次否定，我們又回到了整體上的“不勻”。求瞬時(shí)速度或函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)歷了一個(gè)否定之否定的過(guò)程，但第二次否定我們不是又回到出發(fā)點(diǎn)，而是解決了初等數(shù)學(xué)解決不了的課題。 4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的概念：加速度 高階導(dǎo)數(shù)定義: 注意區(qū)分符號(hào) 和 以函數(shù) 為例介紹高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法.高階導(dǎo)數(shù)的記法: 函數(shù)在 處的 階導(dǎo)數(shù)記為 相應(yīng)的階導(dǎo)數(shù)記為 二. 幾個(gè)特殊函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù):1. 多項(xiàng)式: 多項(xiàng)式的高階導(dǎo)數(shù).例1 求 和 .2. 正弦和余弦函數(shù): 計(jì)算、的公式.3 和的高階導(dǎo)數(shù)：4 的高階導(dǎo)數(shù)：5 的高階導(dǎo)數(shù)：6 分段函數(shù)在分段點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：以函數(shù) 為例，求 .三. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì): 設(shè)函數(shù) 和 均 階可導(dǎo). 則1 2 3 乘積高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz公式： 第六部分微分中值定理及其應(yīng)用 1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性一極值概念：1 回憶極值的概念和可微極值點(diǎn)的必要條件:定理 ( Fermat ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)，若點(diǎn)為的極值點(diǎn)，則必有 1、羅爾中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)； （ii）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（iii），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 （）=0（分析）由條件（i）知在a，b上有最大值和最小值，再由條件（ii）及（iii），應(yīng)用費(fèi)馬定理便可得到結(jié)論。證明：因?yàn)樵赼,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)若M = m , 則 在a,b上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。(ii)若m M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個(gè)在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)處取得，從而是的極值點(diǎn)，由條件(ii) 在點(diǎn)處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知=0.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線。注2：習(xí)慣上把結(jié)論中的稱為中值，羅爾定理的三個(gè)條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個(gè)條件，定理的結(jié)論將不一定成立，見下圖：中值定理：（a）=(b)時(shí)的特殊情況，應(yīng)用羅爾定理證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù) ，使得滿足羅爾定理的條件（i）-(iii) 且 ，從而推得 證明：作輔助函數(shù) 顯然，F(xiàn)（a）=F(b)（=0），且F在a，b上滿足羅爾定理的另兩個(gè)條件，故存在點(diǎn)(a，b)，使得即注1羅爾定理是拉格朗日中值定理時(shí)的特例注2幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB，我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線 與直線AB 之差，事實(shí)上，這個(gè)輔助函數(shù)的引入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標(biāo)系下，線段AB平行于新軸（F（a）=F（b）。注3此定理的證明提供了一個(gè)用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范；同時(shí)通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般化為特殊，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的論證思想，也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。注4拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價(jià)形式，可根據(jù)不同問(wèn)題的特點(diǎn)，在不同場(chǎng)合靈活采用：注5拉格朗日中值定理的兩個(gè)條件彼此有關(guān)，并不彼此獨(dú)立，因?yàn)椋涸冢╝,b）可導(dǎo)可以推出在（a，b）連續(xù)，但反之不成立。把這兩個(gè)條件的“重疊”部分去掉，改成“函數(shù)在（a，b）可導(dǎo)且在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣，兩個(gè)條件互相獨(dú)立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用: ( 講1時(shí) )3、拉格朗日中值定理的幾個(gè)重要推論推論1 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). 證明： 任取兩點(diǎn) （設(shè)），在區(qū)間 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在（）I，使得推論2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且 推論3（導(dǎo)數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域U（）內(nèi)連續(xù)，在U（）內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來(lái)證明上式成立（1） 任取，在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在，使得由于，因此當(dāng)時(shí)隨之有，對(duì)上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得因?yàn)?存在，所以=，從而即注1由推論3可知：在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)在I上的每一點(diǎn)，要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類間斷點(diǎn)，不可能出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn)。注2導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來(lái)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。推論4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo), 且 ( 證 )定理( Darboux ) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且. 若為介于與之間的任一實(shí)數(shù), 則 這就證得在區(qū)間I上任何兩點(diǎn)之值相等?？晌⒑瘮?shù)單調(diào)性判別法：1單調(diào)性判法：定理 1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)(或) 在內(nèi)( 或).證明：必要性 充分性 在I 上遞增。定理2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)嚴(yán)格( 或嚴(yán)格) ） 對(duì)有( 或; ） 在內(nèi)任子區(qū)間上例 證明不等式 證明： 設(shè) 時(shí) 2柯西中值定理和不等式極限一 柯西中值定理 定理(6.5) 設(shè) 、滿足(i) 在區(qū)間 上連續(xù)，(ii) 在 內(nèi)可導(dǎo)(iii) 不同時(shí)為零;(iv) 則至少存在一點(diǎn) 使得 柯西中值定理的幾何意義 曲線 由參數(shù)方程 給出，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 軸的切線，則 上存在一點(diǎn) P處的切線平行于割線 .。 注意曲線 AB在點(diǎn) 處的切線的斜率為 ，而弦 的斜率為 . 受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下：由于， 類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù) 容易驗(yàn)證 滿足羅爾定理的條件且 根據(jù)羅爾定理，至少有一點(diǎn) 使得 ，即 由此得注2：在柯西中值定理中，取 ，則公式（3）可寫成 這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，則 . 這恰恰是羅爾定理.注3:設(shè) 在區(qū)間 I上連續(xù)，則 在區(qū)間 I上為常數(shù) ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點(diǎn)：由拉格朗日中值定理知：滿足定理?xiàng)l件的曲線上任意兩點(diǎn)的弦，必與兩點(diǎn)間某點(diǎn)的切線平行?？梢杂眠@種幾何解釋進(jìn)行思考解題： 3、作為函數(shù)的變形要點(diǎn)：若在a，b上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可微，則在a，b上 （介于與之間）此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，我們可以用它來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)。例3 設(shè)在上可導(dǎo)，并設(shè)有實(shí)數(shù)A0，使得在上成立，試證證明 ：在0，上連續(xù)，故存在 使得 =M于是M=A。故 M=0，在0， 上恒為0。用數(shù)學(xué)歸納法，可證在一切（ i=1,2,）上恒有=0, 所以=0, 。利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性 1. 證明中值點(diǎn)的存在性: 例 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則 , 使得.證 在Cauchy中值定理中取 .2.證明恒等式: 四 、小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法。1 拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來(lái)我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。2 構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微分中值定理的基本方法。實(shí)際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的一種重要手段，通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，這種論證思想也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合第三部分的題目仔細(xì)體會(huì)總結(jié)。二 不定式的極限 一. 型:定理 6.6 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足：(i) (ii) 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且；(iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ）則 ( 證 ) 注意: 若將定理中的x 換成 ，只要相應(yīng)地求證條件(ii)中的鄰域，也可以得到同樣的結(jié)論。二.型不定式 極限:定理 6.7 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足：(i) (ii) 在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且；(iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ）則 注意1 不存在，并不能說(shuō)明 不存在（為什么？）注意2 不能對(duì)任何比式極限都按洛必達(dá)法則來(lái)求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達(dá)法則條件例 求極限 . ( Hospital法則失效的例 )三. 其他待定型: .前四個(gè)是冪指型的. 3 泰勒公式 一. 問(wèn)題和任務(wù): 泰勒定理的引入和基本思想 容易驗(yàn)證多項(xiàng)式函數(shù) 一般函數(shù)上面的結(jié)果能否成立或近似成立呢？若一個(gè)函數(shù)能用多項(xiàng)式近似，對(duì)函數(shù)的計(jì)算、性質(zhì)的研究就會(huì)大大簡(jiǎn)化。用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性; 對(duì)已知的函數(shù), 希望找一個(gè)多項(xiàng)式逼近到要求的精度.三 Taylor( 16851731 )多項(xiàng)式:分析前述任務(wù)，引出用來(lái)逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式定義 Taylor 多項(xiàng)式 及Maclaurin多項(xiàng)式四 Taylor公式和誤差估計(jì):稱 為余項(xiàng). 稱給出 的定量或定性描述的式為函數(shù) 的Taylor公式.1. 誤差的定量刻畫( 整體性質(zhì) ) Taylor中值定理:定理 6.9 設(shè)函數(shù) 滿足條件:) 在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù);) 在開區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù).則對(duì) 使 .證稱這種形式的余項(xiàng)為L(zhǎng)agrange型余項(xiàng). 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具 Lagrange 型余項(xiàng)的Taylor公式. Lagrange 型余項(xiàng)還可寫為 .時(shí), 稱上述Taylor公式為 Maclaurin 公式, 此時(shí)余項(xiàng)常寫為 .關(guān)于Taylor公式中Lagrange型余項(xiàng)的進(jìn)一步討論可參閱:Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982). 2. 誤差的定性描述( 局部性質(zhì) ) Peano型余項(xiàng):定理2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 且存在, 則證 設(shè) , . 應(yīng)用Hospital法則 次, 并注意到 存在, 就有 .稱 為Taylor公式的Peano型余項(xiàng), 相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項(xiàng)為. 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開:例 驗(yàn)證下列函數(shù)的Maclaurin公式4 函數(shù)的極值與最大(小)值一 可微極值點(diǎn)判別法: 極值問(wèn)題: 極值點(diǎn), 極大值還是極小值, 極值是多少.1.可微極值點(diǎn)的必要條件: Fermat定理.函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為穩(wěn)定點(diǎn), 穩(wěn)定點(diǎn)的求法.2.極值點(diǎn)的充分條件: 對(duì)每個(gè)穩(wěn)定點(diǎn), 用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn).定理 4 (充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù), 在鄰域 和 內(nèi)可導(dǎo). 則 ） 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時(shí), 為 的一個(gè)極小值點(diǎn); ） 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為 的一個(gè)極大值點(diǎn); ） 若在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào), 則 不是極值點(diǎn).定理 5 (充分條件) 設(shè)點(diǎn) 為函數(shù) 的駐點(diǎn)且存在，則 ） 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); ） 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn).證法一 當(dāng) 時(shí), 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)與 異號(hào),證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項(xiàng).二 最大值最小值先看三個(gè)函數(shù)的圖象 (c61) 由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點(diǎn)處，不可導(dǎo)點(diǎn)處， 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點(diǎn)。因此, 函數(shù)的最大最小值點(diǎn)應(yīng)從：穩(wěn)定點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn), 端點(diǎn) 中去尋找， 這三種點(diǎn)中，函數(shù)取最大者為函數(shù)的最大點(diǎn)，取最小者為函數(shù)的最小值點(diǎn)，因此求解最大最小點(diǎn)的步驟應(yīng)為:第一步 求出穩(wěn)定點(diǎn), 不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)第二步 算出這些點(diǎn)處的函數(shù)值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值 5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn) 一 凸性的定義及判定：1 凸性的定義：由直觀引入. 強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù). 若對(duì)I 和恒有則稱曲線 在區(qū)間I的凸函數(shù), 反之, 如果總有則稱曲線 在區(qū)間I的凹函數(shù). 若在上式中, 當(dāng) 時(shí), 有嚴(yán)格不等號(hào)成立, 則稱曲線在區(qū)間上是嚴(yán)格凸(或嚴(yán)格凹)的. 凸性的幾何意義: 倘有切線，考慮與切線的位置關(guān)系; 與弦的位置關(guān)系; 曲線的彎曲方向.引理 為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是:對(duì)I上任意三點(diǎn): , 總有證明: 必要性充分性定理6.13 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo), 則下面條件等價(jià):(i) 為I上凸函數(shù)(ii)為I上的增函數(shù)(iii)對(duì)I上的任意兩點(diǎn)有證明2 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向:定理 6.14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在 內(nèi) 在 內(nèi)嚴(yán)格上凸;在 內(nèi)嚴(yán)格下凸.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對(duì)設(shè), 把在點(diǎn)展開成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式, 有 .其中 和 在 與 之間. 注意到 , 就有 , 于是, 若有上式中,即 嚴(yán)格上凸. 若有上式中,即 嚴(yán)格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若則有.不妨設(shè) , 并設(shè) , 分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有.有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴(yán)格下凸.可類證 的情況.3 凸區(qū)間的分離: 的正、負(fù)值區(qū)間分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間.二. 曲線的拐點(diǎn): 拐點(diǎn)的定義.6 函數(shù)圖象的討論我們要認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)，搞清它的性質(zhì)，往往要從研究它的圖象入手，借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)其隱含的規(guī)律性東西。比如我們?cè)诘诙糠盅芯刻厥鈽O限 時(shí)，首先用中學(xué)時(shí)講過(guò)的從中學(xué)求點(diǎn)描跡作圖知道，作圖象的一般步驟應(yīng)是1確定函數(shù)定義域 ，以安排合適大小的坐標(biāo)系；2確定函數(shù)的奇偶性、周期性，以減少作圖工作量 ；3給出反映函數(shù)特性的某些關(guān)鍵點(diǎn)，比如與軸的交點(diǎn)；4函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凸凹性、拐點(diǎn)。例 1 作函數(shù) 圖象 1 函數(shù)定義域 2 該函數(shù)不是奇偶函數(shù)，也不是周期函數(shù) 3 與軸的交點(diǎn) 與 4 單調(diào)區(qū)間和極值y=1/4*(x-3)2/(x-1);y1=diff(y); dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)2 時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)由決定：時(shí), 函數(shù)嚴(yán)格遞增, 時(shí), 遞減， 為極大點(diǎn)， 為極小點(diǎn)。x 13y 極大極小凸凹性d2ydx2=simplify(diff(y1) d2ydx2 = 2/(x-1)3 x<1 上凸, x>1下凸x<-1x =-11<x<1x=11<x<3x=3x>3增 極大減 減 極小增 漸近線垂直漸近線:顯然 x=1為垂直漸近線斜漸近線: = k再計(jì)算 s=1/4*x;s1=symsub(y,s);simplify(s1) ans = -1/4*(5*x-9)/(x-1) 有斜漸近線 我們把找到的特殊點(diǎn), 漸近線先畫出來(lái) 第八部分 不定積分1不定積分概念與基本積分公式一 原函數(shù)與不定積分前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與微分，由已知函數(shù)利用基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則可以求出它的導(dǎo)數(shù)，那自然會(huì)想到：求導(dǎo)運(yùn)算能否和數(shù)的四則運(yùn)算那樣，知道了導(dǎo)數(shù)反過(guò)來(lái)就能求出，比如知道了物體的運(yùn)動(dòng)速度，求路程，知道了加速度求速度？定義（原函數(shù)）如果在區(qū)間 I 上 ，則稱 為 在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如例1中的是 的原函數(shù)；是 的原函數(shù)，等等因?yàn)槌?shù)導(dǎo)數(shù)為零，所以如果的原函數(shù)存在，則對(duì)任意常數(shù)C，都是的原函數(shù)。這就是說(shuō)，原函數(shù)存在的話，它有無(wú)限多個(gè)。而且容易證明，的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。換句話說(shuō)>的原函數(shù)的全體為 ，C為任意常數(shù)。定義（不定積分）>在區(qū)間I上原函數(shù)的全體稱為 在I上的不定積分。記作 。其中為積分號(hào)， 為積分函數(shù)， 為積分變量。不定積分的幾何意義一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)盡管有無(wú)限多個(gè), 但它們的幾何圖形是一模一樣的, 最多是在坐標(biāo)系中的高低位置不一樣, 相差一個(gè)上下平移關(guān)系。二 基本積分公式怎樣求不定積分呢？我們先按照不定積分的定義給出一些常見函數(shù)的不定積分：