高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 33 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

33 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式sin2acos2a1與，并初步進(jìn)行這些公式的兩類基本應(yīng)用教學(xué)重點是公式sin2acos2a1與的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數(shù)（2）化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式其中，已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時，正負(fù)號的選擇是本節(jié)的一個難點，正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨立解決問題，優(yōu)化自己的解題過程教學(xué)目標(biāo)1. 讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐、探索、研究能力2. 理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯推理能力3. 通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀任務(wù)分析這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式：sin2acos2a1及，并進(jìn)行初步的應(yīng)用由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨立完成，即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識探索出來，并用以解決新的問題必要時，教師可以在以下幾點上加以強(qiáng)調(diào)：（1）“同角”二字的含義（2）關(guān)系式的適用條件（3）化簡題最后結(jié)果的形式（4）怎樣優(yōu)化解題過程教學(xué)設(shè)計一、問題情境教師出示問題：上一節(jié)內(nèi)容，我們學(xué)習(xí)了任意角的六個三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎？二、建立模型1. 引導(dǎo)學(xué)生寫出任意角的六個三角函數(shù)，并探索它們之間的關(guān)系在角的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r0），則角的六個三角函數(shù)值是2. 推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2acos2a1（2）商數(shù)關(guān)系：t：說明：當(dāng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，部分學(xué)生可能會利用三角函數(shù)線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結(jié)論對于這種推導(dǎo)方法，教師也應(yīng)給以充分肯定，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出sincos1除以上兩個關(guān)系式外，也許部分學(xué)生還會得出如下關(guān)系式：.教師點撥：這些關(guān)系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負(fù)擔(dān)，只須記?。?）和（2）即可以上關(guān)系式均為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教師啟發(fā)：（1）對“同角”二字，大家是怎樣理解的？（2）這兩個基本關(guān)系式中的角有沒有范圍限制？（3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系，大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣，也許每天都會有新的發(fā)現(xiàn)剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問題呢？三、解釋應(yīng)用例題1. 已知sin，且是第二象限角，求角的余弦值和正切值2. 已知tan，且是第二象限角，求角的正弦和余弦值說明：這兩個題是關(guān)系式的基本應(yīng)用，應(yīng)讓學(xué)生獨立完成可選兩名同學(xué)到黑板前板書，以便規(guī)范解題步驟變式1在例2中若去掉“且是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？師生一起完成該題的解答過程解：由題意和基本關(guān)系式，列方程組，得由，得sincos，代入整理，得6cos21，cos2tan，角是第二或第四象限角當(dāng)是第二象限角時，cos，代入式，得；當(dāng)是第四象限角時，cos，代入式，得.小結(jié)：由平方關(guān)系求值時，要涉及開方運(yùn)算，自然存在符號的選取問題由于本題沒有具體指明是第幾象限角，因此，應(yīng)針對可能所處的象限，分類討論變式2把例2變?yōu)椋阂阎猼an，求的值解法1：由tan及基本關(guān)系式可解得針對兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況，教師及時點撥：觀察所求式子的特點，看能不能不通過求sin，cos的值而直接得出該分式的值學(xué)生得到如下解法：由此，引出變式3已知：tan，求（sincos）2的值有了上一題的經(jīng)驗，學(xué)生會得到如下解法：教師歸納、啟發(fā)：這個方法成功地避免了開方運(yùn)算，因而也就避開了不必要的討論遺憾的是，因為它不是分式形式，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷那么，能解決這一矛盾嗎？學(xué)生得到如下解法：教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)：（1）由于開方運(yùn)算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應(yīng)盡量避免（2）當(dāng)式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n（nN且n1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優(yōu)化解題過程練習(xí)當(dāng)學(xué)生完成了以上題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論如下問題：（1）化簡題的結(jié)果一定是“最簡”形式，對三角函數(shù)的“最簡”形式，你是怎樣理解的？（2）關(guān)于三角函數(shù)恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧？四、拓展延伸教師出示問題，啟發(fā)學(xué)生一題多解，并激發(fā)學(xué)生的探索熱情已知sincos，180°270°，求tan的值解法1：由sincos，得反思：（1）解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個，看來產(chǎn)生了“增根”，那么，是什么原因產(chǎn)生了增根呢？（2）當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由sincos得到sin22sincoscos2的過程中，的范圍變大了時，教師再點撥：怎樣才能使平方變形是等價的呢？由學(xué)生得出如下正確答案：180°270°，且sincos0，sin0，cos0，且sincos，因此tan1，只能取tan2強(qiáng)調(diào)：非等價變形是解法1出錯的關(guān)鍵！點評這篇案例力求體現(xiàn)新課程理念下的以人為本的思想，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用教師充當(dāng)著學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、支持者和幫助者的角色教師和學(xué)生是本課的共同參與者，共同努力完成了這一節(jié)課的教學(xué)活動在這節(jié)課上，學(xué)生的積極性被充分調(diào)動起來，從而使學(xué)生在積極思維的活動中取得了成功并飽嘗到了成功的喜悅案例中的教學(xué)活動體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)和探索性學(xué)習(xí)的方法總之，充分調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性，強(qiáng)調(diào)質(zhì)疑和化疑，是這篇案例的成功之處