備考20142013高考數(shù)學(xué) 真題模擬新題分類匯編 立體幾何 文

立體幾何G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)8G1，G62013·北京卷 如圖12，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有()圖12A3個(gè) B4個(gè)C5個(gè) D6個(gè)8B解析 設(shè)棱長(zhǎng)為1，BD1，BP，D1P.聯(lián)結(jié)AD1，B1D1，CD1，得ABD1CBD1B1BD1，ABD1CBD1B1BD1，且cosABD1，聯(lián)結(jié)AP，PC，PB1，則有ABPCBPB1BP，APCPB1P，同理DPA1PC1P1，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有4個(gè)18G1，G4，G52013·廣東卷 如圖14(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將ABF沿AF折起，得到如圖14(2)所示的三棱錐ABCF，其中BC.圖14(1)證明：DE平面BCF；(2)證明：CF平面ABF；(3)當(dāng)AD時(shí)，求三棱錐FDEG的體積18解：G2空間幾何體的三視圖和直觀圖10G2，G72013·北京卷 某四棱錐的三視圖如圖13所示，該四棱錐的體積為_(kāi)圖13103解析 正視圖的長(zhǎng)為3，側(cè)視圖的長(zhǎng)為3，因此，該四棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，且高為1，因此V×(3×3)×13.18G2，G42013·福建卷 如圖13，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60°.(1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫(huà)出四棱錐PABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸，并寫(xiě)出演算過(guò)程)；(2)若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM平面PBC；(3)求三棱錐DPBC的體積圖1318解：(1)在梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CEAB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，從而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD.從而在RtPDA中，由AD4，PAD60°，得PD4 .正視圖如圖所示(2)方法一：取PB中點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN，CN.在PAB中，M是PA中點(diǎn)，MNAB，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：取AB的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四邊形BCDE為平行四邊形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBC·PD，又SDBC6，PD4 ，所以VDPBC8 .6G22013·廣東卷 某三棱錐的三視圖如圖12所示，則該三棱錐的體積是()圖12A. B.C. D16B解析 由三視圖得三棱錐的高是2，底面是一個(gè)腰為1的等腰直角三角形，故體積是××1×1×2，選B.5G22013·廣東卷 執(zhí)行如圖11所示的程序框圖，若輸入n的值為3，則輸出s的值是()圖11A1 B2 C4 D7 5C解析 13，s101，i2；23，s112，i3；s224，i4；4>3，故輸出s4，選C.7G22013·湖南卷 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A. B1C.D.7D解析 由題可知，其俯視圖恰好是正方形，而側(cè)視圖和正視圖則應(yīng)該都是正方體的對(duì)角面，故面積為，選D.8G22013·江西卷 一幾何體的三視圖如圖12所示，則該幾何體的體積為()圖12A2009 B20018C1409 D140188A解析 該幾何體上面是半圓柱，下面是長(zhǎng)方體，半圓柱體積為·32·29，長(zhǎng)方體體積為10×5×4200.故選A.13G22013·遼寧卷 某幾何體的三視圖如圖13所示，則該幾何體的體積是_圖13131616解析 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱里面挖去了一個(gè)長(zhǎng)方體，所以該幾何體的體積為V4×4161616.9G22013·新課標(biāo)全國(guó)卷 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()圖139A解析 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中畫(huà)出三棱錐，由已知可知三棱錐OABC為題中所描敘的四面體，而其在zOx平面上的投影為正方形EBDO，故選A.圖144G22013·山東卷 一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖11所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()圖11A4 ，8 B4 ，C4(1)， D8，84B解析 由正視圖知該幾何體的高為2，底面邊長(zhǎng)為2，斜高為，側(cè)面積4××2×4 ，體積為×2×2×2.12G22013·陜西卷 某幾何體的三視圖如圖12所示，則其表面積為_(kāi)圖12123解析 由三視圖得該幾何體為半徑為1的半個(gè)球，則表面積為半球面底面圓，代入數(shù)據(jù)計(jì)算為S×4×12×123.11G22013·新課標(biāo)全國(guó)卷 某幾何體的三視圖如圖13所示，則該幾何體的體積為()圖13A168 B88C1616 D81611A解析 該空間幾何體的下半部分是一個(gè)底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的半圓柱，上半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2、高為4的正四棱柱這個(gè)空間幾何體的體積是××4×42×2×4168.5G22013·浙江卷 已知某幾何體的三視圖(單位： cm)如圖11所示，則該幾何體的體積是()圖11A108 cm3 B100 cm3C92 cm3 D84 cm35B解析 此直觀圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)三棱錐而得，如圖所示其體積為3×6×6××3×4×41088100(cm3)所以選擇B.19G2和G52013·重慶卷 如圖14所示，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PA2 ，BCCD2，ACBACD.(1)求證：BD平面PAC；(2)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF7FC，求三棱錐PBDF的體積圖1419解：(1)證明：因?yàn)锽CCD，即BCD為等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因?yàn)镻A底面ABCD，所以PABD，從而B(niǎo)D與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)三棱錐PBCD的底面BCD的面積SBCDBC·CD·sinBCD·2·2·sin.由PA底面ABCD，得VPBCD·SBCD·PA××2 2.由PF7FC，得三棱錐FBCD的高為PA，故VFBCD·SBCD·PA×××2 ，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.8G2和G72013·重慶卷 某幾何體的三視圖如圖13所示，則該幾何體的表面積為()圖13A180 B200 C220 D2408D解析 該幾何體為直四棱柱，其高為10，底面是上底為2，下底為8，高為4，其腰為5的等腰梯形，所以底面面積和為(28)×4×240.四個(gè)側(cè)面的面積和為(285×2)×10200，所以該直四棱柱的表面積為S40200240，故選D.G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線G4空間中的平行關(guān)系17G4，G5，G72013·北京卷 如圖15，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.圖1517證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE，所以ABED為平行四邊形，所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因?yàn)锳DPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.18G2，G42013·福建卷 如圖13，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60°.(1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫(huà)出四棱錐PABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸，并寫(xiě)出演算過(guò)程)；(2)若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM平面PBC；(3)求三棱錐DPBC的體積圖1318解：(1)在梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CEAB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，從而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD.從而在RtPDA中，由AD4，PAD60°，得PD4 .正視圖如圖所示(2)方法一：取PB中點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN，CN.在PAB中，M是PA中點(diǎn)，MNAB，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：取AB的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四邊形BCDE為平行四邊形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBC·PD，又SDBC6，PD4 ，所以VDPBC8 .18G1，G4，G52013·廣東卷 如圖14(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將ABF沿AF折起，得到如圖14(2)所示的三棱錐ABCF，其中BC.圖14(1)證明：DE平面BCF；(2)證明：CF平面ABF；(3)當(dāng)AD時(shí)，求三棱錐FDEG的體積18解：8G4、G52013·廣東卷 設(shè)l為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A若l，l，則B若l，l，則C若l，l，則D若，l，則l8B解析 根據(jù)空間平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，易知選B.16G4，G52013·江蘇卷 如圖12，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過(guò)A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.圖1216證明：(1)因?yàn)锳SAB，AFSB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EFAB.因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC，且交線為SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因?yàn)锽C平面SBC，所以AFBC.又因?yàn)锳BBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因?yàn)镾A平面SAB，所以BCSA.15G42013·江西卷 如圖15所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)圖15154解析 直線EF與正方體左右兩個(gè)面平行，與其他四個(gè)面相交圖1418G4，G52013·遼寧卷 如圖14，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)(1)求證：BC平面PAC；(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為AOC的重心，求證：QG平面PBC.18證明：(1)由AB是圓O的直徑，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交AC于M，聯(lián)結(jié)QM，QO，由G為AOC的重心，得M為AC中點(diǎn)，由Q為PA中點(diǎn)，得QMPC.又O為AB中點(diǎn)，得OMBC.因?yàn)镼MMOM，QM平面QMO.MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因?yàn)镼G平面QMO，所以QG平面PBC.18G4，G7，G112013·新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設(shè)AA1ACCB2，AB2，求三棱錐CA1DE的體積圖1718解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.圖18(2)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點(diǎn)，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2 得ACB90°，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE××××1.19G4，G52013·山東卷 如圖15，四棱錐PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)(1)求證：CE平面PAD；(2)求證：平面EFG平面EMN.圖1619證明：(1)證法一：取PA的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EH，DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD.因此四邊形DCEH是平行四邊形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.證法二：聯(lián)結(jié)CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.18G4，G112013·陜西卷 如圖15，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.圖15(1)證明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積18解： (1)證明：由題設(shè)知，BB1瘙綊DD1，四邊形BB1D1D是平行四邊形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1瘙綊B1C1瘙綊BC，四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1，又SABD××1，VABDA1B1D1SABD·A1O1.19G4，G5，G7，G112013·四川卷 圖18如圖18，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式：VSh，其中S為底面面積，h為高)19解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線lBC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，所以，BCAD，則直線lAD.因此AA1平面ABC，所以AA1直線l.又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(2)過(guò)D作DEAC于E.因?yàn)锳A1平面ABC，所以DEAA1.又因?yàn)锳C，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120°，有AD1，DAC60°，所以在ACD中，DEAD.又SA1QC1A1C1·AA11，所以VA1QC1DVDA1QC1DE·SA1QC1××1.因此三棱錐A1QC1D的體積是.17G4，G5、G112013·天津卷 如圖13所示，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱A1A底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)(1)證明EF平面A1CD；(2)證明平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值圖1317解：(1)證明：如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，聯(lián)結(jié)ED，在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC且DEAC，又因?yàn)镕為A1C1的中點(diǎn)，可得A1FDE，且A1FDE，即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF平面A1CD.(2)證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，故CDAB，又由于側(cè)棱AA1底面ABC，CD平面ABC，所以A1ACD，又A1AABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BGA1D交直線A1D于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG，由于平面A1CD平面A1ABB1，而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，故BG平面A1CD，由此得BCG為直線BC與平面A1CD所成的角設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為a，可得A1D，由A1ADBGD，易得BG.在RtBGC中，sinBCG.所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.4G4，G52013·浙江卷 設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面()A若m，n，則mnB若m，m，則C若mn，m，則nD若m，則m4C解析 對(duì)于選項(xiàng)C，若mn，m，易得n.所以選擇C.G5空間中的垂直關(guān)系圖1518G52013·安徽卷 如圖15，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD60°，已知PBPD2，PA.(1)證明：PCBD；(2)若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐PBCE的體積18解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC，交BD于O點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PO.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD.再由POACO知，BD面APC，又PC平面APC，因此BDPC.(2)因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以VPBCEVCPEBVCPABVBAPC.由PBPDABAD2知，ABDPBD.因?yàn)锽AD60°，所以POAO，AC2，BO1.又PA，故PO2AO2PA2，即POAC.故SAPCPO·AC3.由(1)知，BO面APC，因此VPBCEVBAPC··SAPC·BO.17G4，G5，G72013·北京卷 如圖15，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.圖1517證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE，所以ABED為平行四邊形，所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因?yàn)锳DPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.19G5、G112013·全國(guó)卷 如圖13所示，四棱錐PABCD中，ABCBAD90°，BC2AD，PAB和PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形圖13(1)證明：PBCD；(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離19解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，則四邊形ABED為正方形過(guò)P作PO平面ABCD，垂足為O.聯(lián)結(jié)OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PAPBPD，所以O(shè)AOBOD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)故OEBD，從而PBOE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)ECD.因此PBCD.(2)取PD的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OF，則OFPB.由(1)知，PBCD，故OFCD.又ODBD，OP，故POD為等腰三角形，因此OFPD.又PDCDD，所以O(shè)F平面PCD.因?yàn)锳ECD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而OFPB1，所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為1.18G1，G4，G52013·廣東卷 如圖14(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將ABF沿AF折起，得到如圖14(2)所示的三棱錐ABCF，其中BC.圖14(1)證明：DE平面BCF；(2)證明：CF平面ABF；(3)當(dāng)AD時(shí)，求三棱錐FDEG的體積18解：8G4、G52013·廣東卷 設(shè)l為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A若l，l，則B若l，l，則C若l，l，則D若，l，則l8B解析 根據(jù)空間平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，易知選B.16G4，G52013·江蘇卷 如圖12，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過(guò)A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.圖1216證明：(1)因?yàn)锳SAB，AFSB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EFAB.因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB平面SBC，且交線為SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因?yàn)锽C平面SBC，所以AFBC.又因?yàn)锳BBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因?yàn)镾A平面SAB，所以BCSA.19G5，G72013·江西卷 如圖17所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E為CD上一點(diǎn)，DE1，EC3.(1)證明：BE平面BB1C1C；(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離圖1719解：(1)證明：過(guò)B作CD的垂線交CD于F，則BFAD，EFABDE1，F(xiàn)C2.在RtBEF中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因?yàn)锽E2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1.所以BE平面BB1C1C.(2)三棱錐EA1B1C1的體積V·AA1·SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13 .同理，EC13 ，A1E2 .故SA1C1E3 .設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積V·d·SA1C1Ed，從而d，d.圖1418G4，G52013·遼寧卷 如圖14，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)(1)求證：BC平面PAC；(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為AOC的重心，求證：QG平面PBC.18證明：(1)由AB是圓O的直徑，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交AC于M，聯(lián)結(jié)QM，QO，由G為AOC的重心，得M為AC中點(diǎn)，由Q為PA中點(diǎn)，得QMPC.又O為AB中點(diǎn)，得OMBC.因?yàn)镼MMOM，QM平面QMO.MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因?yàn)镼G平面QMO，所以QG平面PBC.19G4，G52013·山東卷 如圖15，四棱錐PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)(1)求證：CE平面PAD；(2)求證：平面EFG平面EMN.圖1619證明：(1)證法一：取PA的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EH，DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD.因此四邊形DCEH是平行四邊形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.證法二：聯(lián)結(jié)CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.19G4，G5，G7，G112013·四川卷 圖18如圖18，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式：VSh，其中S為底面面積，h為高)19解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線lBC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，所以，BCAD，則直線lAD.因此AA1平面ABC，所以AA1直線l.又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(2)過(guò)D作DEAC于E.因?yàn)锳A1平面ABC，所以DEAA1.又因?yàn)锳C，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120°，有AD1，DAC60°，所以在ACD中，DEAD.又SA1QC1A1C1·AA11，所以VA1QC1DVDA1QC1DE·SA1QC1××1.因此三棱錐A1QC1D的體積是.17G4，G5、G112013·天津卷 如圖13所示，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱A1A底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)(1)證明EF平面A1CD；(2)證明平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值圖1317解：(1)證明：如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，聯(lián)結(jié)ED，在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC且DEAC，又因?yàn)镕為A1C1的中點(diǎn)，可得A1FDE，且A1FDE，即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF平面A1CD.(2)證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，故CDAB，又由于側(cè)棱AA1底面ABC，CD平面ABC，所以A1ACD，又A1AABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BGA1D交直線A1D于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG，由于平面A1CD平面A1ABB1，而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，故BG平面A1CD，由此得BCG為直線BC與平面A1CD所成的角設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為a，可得A1D，由A1ADBGD，易得BG.在RtBGC中，sinBCG.所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.19G52013·新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖15所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的體積圖1519解：(1)取AB的中點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OC，OA1，A1B，因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB.因?yàn)镺COA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)COA1.又A1C，則A1C2OC2OA，故OA1OC.因?yàn)镺CABO，所以O(shè)A1平面ABC，OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面積SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的體積VSABC·OA13.4G4，G52013·浙江卷 設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面()A若m，n，則mnB若m，m，則C若mn，m，則nD若m，則m4C解析 對(duì)于選項(xiàng)C，若mn，m，易得n.所以選擇C.19G2和G52013·重慶卷 如圖14所示，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PA2 ，BCCD2，ACBACD.(1)求證：BD平面PAC；(2)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF7FC，求三棱錐PBDF的體積圖1419解：(1)證明：因?yàn)锽CCD，即BCD為等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因?yàn)镻A底面ABCD，所以PABD，從而B(niǎo)D與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)三棱錐PBCD的底面BCD的面積SBCDBC·CD·sinBCD·2·2·sin.由PA底面ABCD，得VPBCD·SBCD·PA××2 2.由PF7FC，得三棱錐FBCD的高為PA，故VFBCD·SBCD·PA×××2 ，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.G6三垂線定理8G1，G62013·北京卷 如圖12，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有()圖12A3個(gè) B4個(gè)C5個(gè) D6個(gè)8B解析 設(shè)棱長(zhǎng)為1，BD1，BP，D1P.聯(lián)結(jié)AD1，B1D1，CD1，得ABD1CBD1B1BD1，ABD1CBD1B1BD1，且cosABD1，聯(lián)結(jié)AP，PC，PB1，則有ABPCBPB1BP，APCPB1P，同理DPA1PC1P1，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有4個(gè)G7棱柱與棱錐17G4，G5，G72013·北京卷 如圖15，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.圖1517證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE，所以ABED為平行四邊形，所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因?yàn)锳DPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.10G2，G72013·北京卷 某四棱錐的三視圖如圖13所示，該四棱錐的體積為_(kāi)圖13103解析 正視圖的長(zhǎng)為3，側(cè)視圖的長(zhǎng)為3，因此，該四棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，且高為1，因此V×(3×3)×13.8G72013·江蘇卷 如圖11，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_圖118124解析 設(shè)三棱柱的底面積為S，高為h，則V2Sh，又D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，所以SAEDS，且三棱錐FADE的高為h，故V1SAED·h·S·hSh，所以V1V2124.19G5，G72013·江西卷 如圖17所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E為CD上一點(diǎn)，DE1，EC3.(1)證明：BE平面BB1C1C；(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離圖1719解：(1)證明：過(guò)B作CD的垂線交CD于F，則BFAD，EFABDE1，F(xiàn)C2.在RtBEF中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因?yàn)锽E2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1.所以BE平面BB1C1C.(2)三棱錐EA1B1C1的體積V·AA1·SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13 .同理，EC13 ，A1E2 .故SA1C1E3 .設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積V·d·SA1C1Ed，從而d，d.18G4，G7，G112013·新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設(shè)AA1ACCB2，AB2，求三棱錐CA1DE的體積圖1718解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.圖18(2)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點(diǎn)，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2 得ACB90°，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE××××1.19G4，G5，G7，G112013·四川卷 圖18如圖18，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式：VSh，其中S為底面面積，h為高)19解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線lBC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，所以，BCAD，則直線lAD.因此AA1平面ABC，所以AA1直線l.又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(2)過(guò)D作DEAC于E.因?yàn)锳A1平面ABC，所以DEAA1.又因?yàn)锳C，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120°，有AD1，DAC60°，所以在ACD中，DEAD.又SA1QC1A1C1·AA11，所以VA1QC1DVDA1QC1DE·SA1QC1××1.因此三棱錐A1QC1D的體積是.8G2和G72013·重慶卷 某幾何體的三視圖如圖13所示，則該幾何體的表面積為()圖13A180 B200 C220 D2408D解析 該幾何體為直四棱柱，其高為10，底面是上底為2，下底為8，高為4，其腰為5的等腰梯形，所以底面面積和為(28)×4×240.四個(gè)側(cè)面的面積和為(285×2)×10200，所以該直四棱柱的表面積為S40200240，故選D.G8多面體與球10G82013·天津卷 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)10.解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則，解之得a.15G82013·新課標(biāo)全國(guó)卷 已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)1524解析 設(shè)O到底面的距離為h，則×3×hh，OA，故球的表面積為4×()224.16G82013·湖北卷 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中積水深九寸，則平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸)163解析 積水深度為盆深的一半，故此時(shí)積水部分的圓臺(tái)上底面直徑為二尺，圓臺(tái)的高為九寸，故此時(shí)積水的體積是(1026210×6)×9196×3(立方寸)，盆口的面積是×142196，所以平均降雨量是3寸15G82013·新課標(biāo)全國(guó)卷 已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)15.解析 截面為圓，由已知得該圓的半徑為1.設(shè)球的半徑為r，則AHr，所以O(shè)Hr，所以r212r2，r2，所以球的表面積是4r2.G9空間向量及運(yùn)算G10空間向量解決線面位置關(guān)系G11空間有與距離的求法19G5、G112013·全國(guó)卷 如圖13所示，四棱錐PABCD中，ABCBAD90°，BC2AD，PAB和PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形圖13(1)證明：PBCD；(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離19解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，則四邊形ABED為正方形過(guò)P作PO平面ABCD，垂足為O.聯(lián)結(jié)OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PAPBPD，所以O(shè)AOBOD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)故OEBD，從而PBOE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)ECD.因此PBCD.(2)取PD的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OF，則OFPB.由(1)知，PBCD，故OFCD.又ODBD，OP，故POD為等腰三角形，因此OFPD.又PDCDD，所以O(shè)F平面PCD.因?yàn)锳ECD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而OFPB1，所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為1.11G112013·全國(guó)卷 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.11A解析 如圖，聯(lián)結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O.由于BOOC，BOCC1，可得BO平面OCC1，從而平面OCC1平面BDC1，過(guò)點(diǎn)C作OC1的垂線交OC1于點(diǎn)E，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得CE平面BDC1，CDE即為所求的線面角設(shè)AB2，則OC，OC13，所以CE，所以sin CDE.22G112013·江蘇卷 如圖12所示，在直三棱柱A1