數(shù)學(xué)第五章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算 文 新人教A版

第五章第五章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的引入 -2-5 5. .1 1平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量的概念及線性運(yùn)算-4-知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.向量的有關(guān)概念 大小 方向 長(zhǎng)度 模 0 1個(gè)單位長(zhǎng)度 -5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341自測(cè)點(diǎn)評(píng)相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反 -6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23412.向量的線性運(yùn)算 b+a a+(b+c) -7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)2341|a| 相同 相反 a a+a a+b -8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23413.向量共線定理(1)向量b與a(a0)共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使得.注:限定a0的目的是保證實(shí)數(shù)的存在性和唯一性.(2)變形形式:已知直線l上三點(diǎn)A,B,P,O為直線l外任一點(diǎn),有b=a -9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23412-10-知識(shí)梳理雙基自測(cè)341自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段表示向量. ()(3)若兩個(gè)向量共線,則其方向必定相同或相反. ()(4)若向量 是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上. ()(5)若ab,bc,則ac. () 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5) -11-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23412.設(shè)a,b是向量,則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 答案 答案關(guān)閉D-12-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)2341A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0 答案 答案關(guān)閉A -13-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23414.設(shè)向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)=. 答案 答案關(guān)閉-14-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.向量常用有向線段表示,但向量與有向線段是兩個(gè)不同的概念,有向線段由起點(diǎn)、終點(diǎn)唯一確定,而向量是由大小和方向來確定的.向量不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小.2.兩個(gè)向量共線與共線向量不同,零向量的方向是任意的,它與任何向量都平行(共線).而只有方向相同或相反的兩個(gè)非零向量才是共線向量.3.向量共線與線段共線不同,前者可以不在同一條直線上,而后者必須在同一條直線上.同樣,兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的,因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上,而兩條平行直線不能平移到同一直線上.-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1(1)對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)給出下列命題:若|a|=|b|,則a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同;a=b的充要條件是|a|=|b|,且ab.其中真命題的序號(hào)是.思考學(xué)習(xí)了向量的概念后,你對(duì)向量有怎樣的認(rèn)識(shí)? 答案 答案關(guān)閉(1)A(2) -16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析: (1)若a+b=0,則a=-b,所以ab.若ab,則a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要條件.(2)不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等,方向可以是任意的.又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),四邊形ABCD為平行四邊形.反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3不正確.相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以都不同;不正確.當(dāng)ab且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b.綜上所述,正確命題的序號(hào)是.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條:(1)向量的兩個(gè)特征:大小和方向.向量既可以用有向線段和字母表示,也可以用坐標(biāo)表示;(2)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;(3)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,所以向量只有相等與不相等,不可以比較大小.-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)設(shè)a0為單位向量,若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|a0;若a與a0平行,則a=|a|a0;若a與a0平行,且|a|=1,則a=a0.上述命題中,假命題的個(gè)數(shù)為. (2)給出下列命題:兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量;兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大小;若a=0(為實(shí)數(shù)),則必為零;已知,為實(shí)數(shù),若a=b,則a與b共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4 答案 答案關(guān)閉(1)3(2)C -20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析: (1)向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時(shí)a=-|a|a0,故也是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3.(2)錯(cuò)誤.當(dāng)方向不同時(shí),不是共線向量.正確.因?yàn)橄蛄坑蟹较?故它們不能比較大小,但它們的模均為實(shí)數(shù),故可以比較大小.錯(cuò)誤.當(dāng)a=0時(shí),不論為何值,a=0.錯(cuò)誤.當(dāng)=0時(shí),a=b,此時(shí),a與b可以是任意向量.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考在幾何圖形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的線性運(yùn)算與代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算有怎樣的聯(lián)系? 答案 答案關(guān)閉(1)A(2)A -22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來.2.向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 答案 答案關(guān)閉-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.思考如何用向量的方法證明三點(diǎn)共線?-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3A,B,D三點(diǎn)共線.(2)解 ka+b與a+kb共線,存在實(shí)數(shù),使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb,(k-)a=(k-1)b.a,b是不共線的兩個(gè)非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0,k=1.-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.2.向量a,b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,當(dāng)且僅當(dāng)1=2=0時(shí)成立,則向量a,b不共線.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 答案 答案關(guān)閉(1)1(2)=1 -31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.平面向量的重要結(jié)論:A,B,C三點(diǎn)共線.(2)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性.(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,平行向量與起點(diǎn)無關(guān).2.向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則,做題時(shí),要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素,向量加法的三角形法則要素是“首尾相接,指向終點(diǎn)”;向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合,指向被減向量”;平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”.-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.若兩向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則這兩個(gè)向量相等;但兩個(gè)相等向量不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn).2.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定,但方向不確定.3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行之間的關(guān)系.向量 是共線向量,但A,B,C,D四點(diǎn)不一定在同一條直線上.4.在向量共線的充要條件中要注意“a0”,否則可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè).-34-易錯(cuò)警示都是零向量“惹的禍”典例下列命題正確的是.向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使b=a;在ABC中, ;不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立;只有方向相同或相反的向量是平行向量;若向量a,b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線.答案-35-解析向量a與b不共線,向量a,b,a+b與a-b均不為零向量.若a+b與a-b平行,則存在實(shí)數(shù)使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b,故 此時(shí)無解,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線.故正確;顯然錯(cuò)誤.-36-反思提升在向量的有關(guān)概念中,定義長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且規(guī)定:0與任一向量平行.由于零向量的特殊性,在兩個(gè)向量共線或平行問題上,如果不考慮零向量,那么往往會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論.在向量的運(yùn)算中,很多學(xué)生也往往忽視0與0的區(qū)別,導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.