中考數(shù)學(xué)第五章 四邊形 第20講 矩形、菱形、正方形

第第2020講講 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形泰安考情分析泰安考情分析基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)泰安考點(diǎn)聚焦泰安考點(diǎn)聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習(xí)隨堂鞏固練習(xí)泰安考情分析基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 矩形矩形知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 菱形菱形知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 正方形正方形知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四 平行四邊形、矩形、菱形、正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系的關(guān)系定義有 一個(gè)角是直角 的平行四邊形叫做矩形性質(zhì)(1)矩形具有 平行四邊形 的一切性質(zhì);(2)矩形的四個(gè)角都是 直角 ;(3)矩形的對(duì)角線 相等 判定(1)定義法:有一個(gè)角是直角的 平行四邊形 是矩形;(2)對(duì)角線 相等 的平行四邊形是矩形;(3)有 三個(gè)角 都是直角的四邊形是矩形;(4)對(duì)角線 相等且互相平分 的四邊形是矩形知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 矩形矩形溫馨提示溫馨提示 (1)矩形既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸,對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).(2)矩形的對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 菱形菱形溫馨提示溫馨提示 (1)菱形既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸,分別是對(duì)角線所在的直線;對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).(2)菱形的對(duì)角線把菱形分為四個(gè)全等的直角三角形.定義有一組 鄰邊相等 的平行四邊形是菱形性質(zhì)(1)菱形具有 平行四邊形 的一切性質(zhì);(2)菱形的四條邊都 相等 ;(3)菱形的兩條對(duì)角線 互相垂直 ,并且每一條對(duì)角線 平分一組對(duì)角 ;(4)菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng) 乘積的一半 判定(1)定義法:有 一組鄰邊 相等的平行四邊形是菱形;(2)對(duì)角線互相 垂直 的平行四邊形是菱形;(3) 四條邊 都相等的四邊形是菱形知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 正方形正方形溫馨提示溫馨提示 (1)正方形既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,它有4條對(duì)稱軸.(2)正方形的對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.定義有一組 鄰邊相等 的矩形叫做正方形性質(zhì)(1)正方形的四條邊都 相等 ,兩組對(duì)邊分別 平行 ;(2)正方形的四個(gè)角都等于 90 ;(3)正方形的對(duì)角線互相 垂直、平分且相等 ,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定(1)定義法;(2)對(duì)角線 相等 的菱形是正方形;(3)對(duì)角線 垂直 的矩形是正方形;(4)有一個(gè)角是直角的 菱形 是正方形知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系1.平行四邊形與特殊平行四邊形的包含關(guān)系2.從四邊形到特殊平行四邊形的演變關(guān)系溫馨提示溫馨提示 依次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得到的新的四邊形的形狀與原四邊形的對(duì)角線有關(guān)系,若對(duì)角線相等,則新的四邊形是菱形;若對(duì)角線垂直,則新的四邊形是矩形.泰安考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)和判定矩形的性質(zhì)和判定考點(diǎn)二考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)三考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)一考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)和判定矩形的性質(zhì)和判定中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)口訣“矩形就是長(zhǎng)方形,周長(zhǎng)、面積仍然用,平行四邊形性質(zhì)它均用,四角相等皆直角”;判定矩形首先要分清楚所給的條件是四邊形還是平行四邊形,再確定矩形的判定方法.例例1如圖,在矩形ABCD中,DE平分ADC交BC于點(diǎn)E,EFAD交AD于點(diǎn)F,若EF=3,AE=5,則AD等于 ( C )A.5 B.6 C.7 D.8解析解析四邊形ABCD是矩形,ADC=90,EFAD,EFCD,FED=EDC,DE平分ADC,FDE=EDC,FED=FDE,DF=EF=3,EFAD,AFE=90,AE=5,EF=3,由勾股定理得AF=4,AD=AF+DF=4+3=7,故選C.變式變式1-1 (2017濟(jì)南)如圖,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于點(diǎn)F.求證:AB=DF.證明證明四邊形ABCD是矩形,ADBC,B=90,AEB=DAF,DFAE,AFD=90,在ABE和DFA中,ABE DFA,AB=DF.,AEBDAFBAFDADAE 方法技巧方法技巧矩形是特殊的平行四邊形,其特殊性在于內(nèi)角均為直角,故在應(yīng)用其性質(zhì)時(shí)常會(huì)和直角三角形相結(jié)合.考點(diǎn)二考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)和判定判定例例2 (2017北京)如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對(duì)角線,ADBC,AD=2BC,ABD=90,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),連接BE.(1)求證:四邊形BCDE為菱形;(2)連接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的長(zhǎng).解析解析(1)證明:AD=2BC,E為AD的中點(diǎn),DE=BC.ADBC,四邊形BCDE是平行四邊形.ABD=90,AE=DE,BE=DE,四邊形BCDE是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD,BAC=DAC=BCA,AB=BC=1.AD=2BC=2,sinADB=,ADB=30,DAC=30,ADC=60,ACD=90.在RtACD中,AD=2,CD=1,AC=.123變式變式2-1 (2018泰安)如圖,在菱形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是BD上一點(diǎn),EFAB,EAB=EBA,過點(diǎn)B作DA的垂線,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)DEF和AEF是否相等?若相等,請(qǐng)證明;若不相等,請(qǐng)說明理由;(2)找出圖中與AGB相似的三角形,并證明;(3)BF的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)M.求證:BM2=MFMH.解析解析(1)DEF=AEF.理由如下:EFAB,DEF=EBA,AEF=EAB,又EAB=EBA,DEF=AEF.(2)EOAAGB.證明如下:四邊形ABCD是菱形,AB=AD,ACBD,GAB=ABE+ADB=2ABE.又AEO=ABE+BAE=2ABE,GAB=AEO,又AGB=AOE=90,EOAAGB.(3)證明:連接DM.四邊形ABCD是菱形,由對(duì)稱性可知:BM=DM,ADM=ABM.ABCH,ABM=H,ADM=H.又DMH=FMD,MFDMDH, = ,DMMHMFDMDM2=MFMH,BM2=MFMH.方法技巧方法技巧要判斷一個(gè)四邊形是菱形,可以先說明它是平行四邊形,再說明它的一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直;也可說明它的四條邊都相等或它的對(duì)角線互相垂直平分.在具體問題中,要根據(jù)題目給出的已知條件選擇合適的方法.考點(diǎn)三考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)和判定正方形的性質(zhì)和判定例例3 (2017濟(jì)南)如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=3 ,E為OC上一點(diǎn),OE=1,連接BE,過點(diǎn)A作AFBE于點(diǎn)F,與BD交于點(diǎn)G,則BF的長(zhǎng)是 ( A )A. B.2 C. D. 23 10523 543 22解析解析四邊形ABCD是正方形,AB=3 ,AOB=90,AO=BO=CO=3.AFBE,EBO=GAO.在GAO和EBO中,GAOEBO,OG=OE=1,BG=2.在RtBOE中,BE= ,BFG=BOE=90,GBF=EBO,BFGBOE,2,GAOEBOAOBOAOGBOE 22OBOE10 = ,即 = ,解得BF= ,故選A.方法技巧方法技巧正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具備了矩形和菱形的所有性質(zhì).同時(shí),在解決以正方形為背景的問題時(shí),常與直角三角形、等腰三角形、相似三角形相結(jié)合進(jìn)行解答,特別注意角和角、邊和邊之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.BFBOBGBE3BF2103 105一、選擇題一、選擇題1.(2017臨沂)在ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B,C兩點(diǎn)不重合),過點(diǎn)D作DEAC,DFAB,分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn),下列說法正確的是 ( D )A.若ADBC,則四邊形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,則四邊形AEDF是菱形二、填空二、填空題題2.(2017泰山模擬)矩形的兩條對(duì)角線的一個(gè)夾角為60,兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度的和為8 cm,則這個(gè)矩形的一條較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為 2cm.解析解析如圖,四邊形ABCD是矩形,ABC=90,AC=BD=4cm,OA=OC,OD=OB,OA=OB=2cm,由題意得AOB=60,AOB是等邊三角形,OA=OB=AB=AC=2cm.在RtABC中,由勾股定理得BC=2cm.這個(gè)矩形的一條較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為2cm.1222ACAB333.(2017新泰模擬)邊長(zhǎng)為5 cm的菱形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)是6 cm,則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)是 8 cm.解析解析如圖,在菱形ABCD中,AB=5 cm,AC=6 cm,對(duì)角線互相垂直平分,AOB=90,AO=3 cm.在RtAOB中,BO= =4 cm,BD=2BO=8 cm.22ABAO4.(2018濱州)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,若AE= ,EAF=45,則AF的長(zhǎng)為 .54 103解析解析取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,四邊形ABCD是矩形,D=BAD=B=90,NF=x,AN=4-x,AB=2,AM=BM=1,AE=,25BE=1,ME=,EAF=45,MAE+NAF=45,MAE+AEM=45,MEA=NAF,又ANF=EMA=180-45=135,AMEFNA,=,=,22BMBE2AMFNMENA12x24x解得x=,AF=.4322ADDF4 1035.(2017萊蕪)如圖,在矩形ABCD中,BEAC,BE交AC,AD于點(diǎn)F,E,若AD=1,AB=CF,則AE= .512解析解析四邊形ABCD是矩形,BC=AD=1,BAE=ABC=90,ABE+CBF=90.BEAC,BFC=90,BCF+CBF=90,ABE=FCB,在ABE和FCB中,ABE FCB,90,EABBFCAB CFABEFCB BF=AE,BE=BC=1.BAF+ABF=90,ABF+AEB=90,BAF=AEB,BAE=AFB,ABEFBA,=,=,AE=AB2.在RtABE中,根據(jù)勾股定理得,AB2+AE2=BE2=1,ABBFBEABABAE1ABAE+AE2=1,AE0,AE=.三、解答題三、解答題6.(2017萊蕪模擬)如圖,菱形ABCD中,BEAD,BFCD,垂足分別為點(diǎn)E,F,AE=ED,求EBF的度數(shù).512解析解析如圖,連接BD.BEAD,AE=ED,AB=BD,四邊形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,AB=AD=BD,A=60,ADC=120,BEAD,BFCD,BED=BFD=90,EBF=60.7.(2017青島)如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,O,F分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),連接CE,CF,OE,OF.(1)求證:BCEDCF;(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形AEOF是正方形?請(qǐng)說明理由.解析解析(1)證明:四邊形ABCD是菱形,B=D,AB=BC=DC=AD,點(diǎn)E,O,F分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OEBC.在BCE和DCF中,BCE DCF(SAS).(2)當(dāng)ABBC時(shí),四邊形AEOF是正方形.理由如下:由(1)得AE=OE=OF=AF,1212,BEDFBDBCDC 四邊形AEOF是菱形.ABBC,OEBC,OEAB,AEO=90,四邊形AEOF是正方形.