2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 習(xí)題課 二項(xiàng)式定理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
習(xí)題課二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能熟練地掌握二項(xiàng)式定理的展開式及有關(guān)概念.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題1二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念二項(xiàng)式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn,稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)C(k0,1,n)通項(xiàng)Tk1Cankbk(k0,1,n)二項(xiàng)式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn2二項(xiàng)式系數(shù)的四個(gè)性質(zhì)(楊輝三角的規(guī)律)(1)對(duì)稱性:CC;(2)性質(zhì):CCC;(3)二項(xiàng)式系數(shù)的最大值:當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)取得最大值,即最大;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)相等,且同時(shí)取得最大值,即最大;(4)二項(xiàng)式系數(shù)之和:CCCCC2n,所用方法是賦值法類型一二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用例1(1)(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)是()A4 B3 C3 D4(2)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)答案(1)B(2)1解析(1)方法一(1)6的展開式的通項(xiàng)為C()mC(1)m,(1)4的展開式的通項(xiàng)為C()nC,其中m0,1,2,6,n0,1,2,3,4.令1,得mn2,于是(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)等于C(1)0CC(1)1CC(1)2C3.方法二(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x),于是(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)為C1C(1)113.(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5.x2的系數(shù)為CaC,則105a5,解得a1.反思與感悟兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中特定項(xiàng)問題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn)(2)找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分(3)分別求解再相乘,求和即得跟蹤訓(xùn)練1(1)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A40 B20 C20 D40(2)在(1x)6(1y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)答案(1)D(2)120解析(1)令x1,得(1a)(21)52,a1,故5的展開式中常數(shù)項(xiàng)即為5的展開式中與x的系數(shù)之和5的展開式的通項(xiàng)為Tk1(1)kC25kx52k,令52k1,得k2,展開式中x的系數(shù)為C252(1)280,令52k1,得k3,展開式中的系數(shù)為C253(1)340,5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為804040.(2)f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.例25的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案解析方法一原式5,展開式的通項(xiàng)為(k10,1,2,5)當(dāng)k15時(shí),T6()54,當(dāng)0k1<5時(shí),的展開式的通項(xiàng)公式為(k20,1,2,5k1)令5k12k20,即k12k25.0k1<5且k1Z,或常數(shù)項(xiàng)為4CC2CC()3420.方法二原式5(x)25(x)10.求原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng),轉(zhuǎn)化為求(x)10的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù),即C()5.所求的常數(shù)項(xiàng)為.反思與感悟三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題,應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決,轉(zhuǎn)化的方法通常為配方法,因式分解,項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合,項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí),要注意合理性和簡(jiǎn)捷性跟蹤訓(xùn)練2(x2xy)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為_考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案30解析方法一(x2xy)5(x2x)y5,含y2的項(xiàng)為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.方法二(x2xy)5為5個(gè)x2xy之積,其中有兩個(gè)取y,兩個(gè)取x2,一個(gè)取x即可,所以x5y2的系數(shù)為CCC30.例3今天是星期一,今天是第1天,那么第810天是星期()A一 B二 C三 D四考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案A解析求第810天是星期幾,實(shí)質(zhì)是求810除以7的余數(shù),應(yīng)用二項(xiàng)式定理將數(shù)變形求余數(shù)因?yàn)?10(71)10710C79C717M1(MN*),所以第810天相當(dāng)于第1天,故為星期一反思與感悟(1)利用二項(xiàng)式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再利用二項(xiàng)式定理展開,只考慮后面(或前面)一、二項(xiàng)就可以了(2)解決求余數(shù)問題,必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式跟蹤訓(xùn)練3設(shè)aZ,且0a<13,若512 017a能被13整除,則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案1解析512 017a(521)2 017aC522 017C522 016C522 015C5211a,能被13整除,0a<13.故1a能被13整除,故a1.類型二二項(xiàng)式系數(shù)的綜合應(yīng)用例4已知n.(1)若展開式中第五項(xiàng)、第六項(xiàng)、第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù);(2)若展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解(1)由已知得2CCC,即n221n980,得n7或n14.當(dāng)n7時(shí)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng),T4C4(2x)3x3,T5C3(2x)470x4,第四項(xiàng)的系數(shù)是,第五項(xiàng)的系數(shù)是70.當(dāng)n14時(shí),展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第八項(xiàng),它的系數(shù)為C7273 432.(2)由CCC79,即n2n1560.得n13(舍去)或n12.設(shè)Tk1項(xiàng)的系數(shù)最大,1212(14x)12,由解得9.4k10.4.0kn,kN,k10.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng),即T1112C410x1016 896x10.反思與感悟解決此類問題,首先要分辨二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的系數(shù),其次理解記憶其有關(guān)性質(zhì),最后對(duì)解決此類問題的方法作下總結(jié),尤其是有關(guān)排列組合的計(jì)算問題加以細(xì)心跟蹤訓(xùn)練4已知n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和比(2xxlg x)2n展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和少112,第二個(gè)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值為1 120,求x.考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用題點(diǎn)二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用解依題意得2n22n1112,整理得(2n16)(2n14)0,解得n4,所以第二個(gè)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)依題意得C(2x)4(xlg x)41 120,化簡(jiǎn)得x4(1lg x)1,所以x1或4(1lg x)0,故所求x的值為1或.1在x(1x)6的展開式中,含x3項(xiàng)的系數(shù)為()A30 B20C15 D10考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)答案C解析因?yàn)?1x)6的展開式的第(k1)項(xiàng)為Tk1Cxk,x(1x)6的展開式中含x3的項(xiàng)為Cx315x3,所以系數(shù)為15.2在(xy)n的展開式中,第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A第6項(xiàng) B第5項(xiàng)C第5、6項(xiàng) D第6、7項(xiàng)考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求二項(xiàng)式系數(shù)最大(小)的項(xiàng)答案A解析CC,n3710,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)3已知x>0,則(1x)1010的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A1 B(C)2CC DC考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案D解析(1x)1010101020.設(shè)其展開式的通項(xiàng)為Tk1,則Tk1Cx10k,當(dāng)k10時(shí),為常數(shù)項(xiàng)故選D.4當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),7nC7n1C7n2C7被9除所得的余數(shù)是()A0 B2 C7 D8考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案C解析原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C9n2C9(1)n1(1)n1.因?yàn)閚為正奇數(shù),所以(1)n1297,所以余數(shù)為7.5設(shè)(21)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M,8,N三數(shù)成等比數(shù)列,則展開式中第四項(xiàng)為_考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案160x解析當(dāng)x1時(shí),可得M1,二項(xiàng)式系數(shù)之和N2n,由題意,得MN64,2n64,n6.第四項(xiàng)T4C(2)3(1)3160x.1兩個(gè)二項(xiàng)展開式乘積的展開式中特定項(xiàng)問題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn)(2)找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分(3)分別求解再相乘,求和即得2三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合,項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)要注意合理性和簡(jiǎn)捷性3用二項(xiàng)式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再用二項(xiàng)式定理展開,只考慮后面(或者前面)一、二項(xiàng)就可以了4求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和差:賦值代入5確定二項(xiàng)展開式中的最大或最小項(xiàng):利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一、選擇題1二項(xiàng)式12的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A第7項(xiàng) B第8項(xiàng)C第9項(xiàng) D第10項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)答案C解析二項(xiàng)展開式中的通項(xiàng)公式為Tk1Cx12kkC2k,令12k0,得k8.常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng)2(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D168考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)答案D解析因?yàn)?1x)8的通項(xiàng)為Cxk,(1y)4的通項(xiàng)為Cyt,故(1x)8(1y)4的通項(xiàng)為CCxkyt.令k2,t2,得x2y2的系數(shù)為CC168.3若(x3y)n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和等于(7ab)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和,則n的值為()A15 B10 C8 D5考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案D解析由于(7ab)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為CC210,令(x3y)n中xy1,則由題設(shè)知,4n210,即22n210,解得n5.4若二項(xiàng)式7的展開式中的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a等于()A2 B. C1 D.考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案C解析二項(xiàng)式7的展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(2x)7kkC27kakx72k,令72k3,得k5.故展開式中的系數(shù)是C22a5,即C22a584,解得a1.5設(shè)m為正整數(shù),(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a7b,則m等于()A5 B6 C7 D8考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大(小)的項(xiàng)答案B解析(xy)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C,aC.同理,bC.13a7b,13C7C,137,m6.6二項(xiàng)式6的展開式中不含x3項(xiàng)的系數(shù)之和為()A20 B24 C30 D36考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案A解析由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式Tk1C(1)kx123k,令123k3,解得k3,故展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為C(1)320,而所有系數(shù)和為0,不含x3項(xiàng)的系數(shù)之和為20.7在(1x)n(n為正整數(shù))的二項(xiàng)展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的和為A,偶數(shù)項(xiàng)的和為B,則(1x2)n的值為()A0 BABCA2B2 DA2B2考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案C解析(1x)nAB,(1x)nAB,(1x2)n(1x)n(1x)n(AB)(AB)A2B2.89192被100除所得的余數(shù)為()A1 B81 C81 D992考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案B解析利用9192(1009)92的展開式,或利用(901)92的展開式方法一(1009)92C10092C100919C1009092C100991C992.展開式中前92項(xiàng)均能被100整除,只需求最后一項(xiàng)除以100的余數(shù)由992(101)92C1092C102C101.前91項(xiàng)均能被100整除,后兩項(xiàng)和為919,因原式為正,可從前面的數(shù)中分離出1 000,結(jié)果為1 00091981,9192被100除可得余數(shù)為81.方法二(901)92C9092C9091C902C90C.前91項(xiàng)均能被100整除,剩下兩項(xiàng)為929018 281,顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.二、填空題9若6的二項(xiàng)展開式中,常數(shù)項(xiàng)為,則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)答案x3或x3解析6二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk1C(x2)6kkCakx123k,令123k0,得k4,Ca4,解得a2,當(dāng)a2時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C(x2)33x3.當(dāng)a2時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C(x2)33x3.10.3的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案20解析36展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(1)kx62k.令62k0,解得k3.故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C20.11(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是_考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案1.34解析(1.05)6(10.05)6CC0.05C0.052C0.05310.30.037 50.002 51.34.12已知n的展開式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng),設(shè)(1x2x2)na0a1xa2x2a2nx2n,則a1a2a2n_.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案255解析因?yàn)閚的展開式的通項(xiàng)是C(1)kx2n3k(k0,1,2,n),因?yàn)楹瑇的項(xiàng)為第6項(xiàng),所以當(dāng)k5時(shí),2n3k1,即n8.令x1,得a0a1a2a2n28256.又a01,所以a1a2a2n255.三、解答題13在二項(xiàng)式n的展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng);(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解(1)二項(xiàng)式n的展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1,.根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,可得n1,求得n8或n1(舍去)故二項(xiàng)式n的展開式的通項(xiàng)為Tk1C2kx4k.令4k0,求得k4,可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5C4.(2)設(shè)第k1項(xiàng)的系數(shù)最大,則由求得2k3.因?yàn)閗Z,所以k2或k3,故系數(shù)最大的項(xiàng)為T37x2或T47x.四、探究與拓展14若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a9)239,則實(shí)數(shù)m_.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)多項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案3或1解析在(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9中,令x2,可得a0a1a2a3a8a9m9,即(a0a2a8)(a1a3a9)m9,令x0,可得(a0a2a8)(a1a3a9)(2m)9.(a0a2a8)2(a1a3a9)239,(a0a2a8)(a1a3a9)(a0a2a8)(a1a3a9)39,(2m)9m9(2mm2)939,可得2mm23,解得m1或3.15已知(1m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,展開式中含有x項(xiàng)的系數(shù)為112.(1)求m,n的值;(2)求展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和;(3)求(1m)n(1x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)解(1)由題意可得2n256,解得n8,展開式的通項(xiàng)為Tk1Cmk,含x項(xiàng)的系數(shù)為Cm2112,解得m2或m2(舍去)故m,n的值分別為2,8.(2)展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為CCCC281128.(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8,含x2項(xiàng)的系數(shù)為C24C221 008.