2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測試卷 新人教A版選修2-2.doc
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2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測試卷 新人教A版選修2-2.doc
第二章 推理與證明章末檢測試卷(二)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程()A歸納推理 B類比推理C演繹推理 D以上答案都不對考點(diǎn)演繹推理的含義與方法題點(diǎn)演繹答案C解析根據(jù)演繹推理的定義知,推理過程是演繹推理2下面是一段“三段論”推理過程:若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f(x)>0恒成立因為f(x)x3在(1,1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增,所以在(1,1)內(nèi),f(x)3x2>0恒成立以上推理中()A大前提錯誤 B小前提錯誤C結(jié)論正確 D推理形式錯誤考點(diǎn)“三段論”及其應(yīng)用題點(diǎn)大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤答案A解析f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f(x)0恒成立,故大前提錯誤,故選A.3設(shè)a,b,c都是非零實數(shù),則關(guān)于a,bc,ac,b四個數(shù)有以下說法:四個數(shù)可能都是正數(shù);四個數(shù)可能都是負(fù)數(shù);四個數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)以上說法中正確的個數(shù)為()A0 B1C2 D3考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案B解析可用反證法推出不正確,因此正確4在等差數(shù)列an中,若an<0,公差d>0,則有a4a6>a3a7,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列bn中,若bn>0,q>1,則下列有關(guān)b4,b5,b7,b8的不等關(guān)系正確的是()Ab4b8>b5b7 Bb5b7>b4b8Cb4b7>b5b8 Db4b5>b7b8考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案A5已知2,2,2,2,依照以上各式的規(guī)律可得()A.2B.2C.2D.2考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案A解析從各個等式可以看出,等式的右端均為2,左端為兩個式子的和,且兩個式子的分子之和恒等于8,分母為相應(yīng)分子減去4,所以可得2.6設(shè)an,bn是兩個等差數(shù)列,若cnanbn,則cn也是等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),設(shè)sn,tn是等比數(shù)列,則下列說法正確的是()A若rnsntn,則rn是等比數(shù)列B若rnsntn,則rn是等比數(shù)列C若rnsntn,則rn是等比數(shù)列D以上說法均不正確考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案B解析在由等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)類比推理到等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)時:加減運(yùn)算類比推理為乘除運(yùn)算,累加類比為累乘故由“an,bn是兩個等差數(shù)列,若cnanbn,則cn是等差數(shù)列”,類比推理可得:“設(shè)sn,tn是等比數(shù)列,若rnsntn,則rn是等比數(shù)列”故選B.7分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且abc0,求證<a”索的因應(yīng)是()Aab>0 Bac<0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0考點(diǎn)分析法及應(yīng)用題點(diǎn)尋找結(jié)論成立的充分條件答案C解析要證明<a,只需證b2ac<3a2,只需證(ac)2ac<3a2,只需證2a2acc2<0,即證2a2acc2>0,即證(ac)(2ac)>0,即證(ac)(ab)>0.8某同學(xué)在紙上畫出如下若干個三角形:若依此規(guī)律,得到一系列的三角形,則在前2 015個三角形中的個數(shù)是()A62 B63C64 D61考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案A解析前n個中所包含的所有三角形的個數(shù)是123nn,由2 015,解得n62.9已知123332433n3n13n(nab)c對一切nN*都成立,那么a,b,c的值為()Aa,bc BabcCa0,bc D不存在這樣的a,b,c考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第一步:歸納奠基答案A解析令n1,2,3,得所以a,bc.10用反證法證明命題“是無理數(shù)”時,假設(shè)正確的是()A假設(shè)是有理數(shù) B假設(shè)是有理數(shù)C假設(shè)或是有理數(shù) D假設(shè)是有理數(shù)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案D解析應(yīng)對結(jié)論進(jìn)行否定,則不是無理數(shù),即是有理數(shù)11我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間:如果兩個幾何體大小不一定相等,但形狀完全相同,就把它們叫做相似體下列幾何體中,一定屬于相似體的有()兩個球體;兩個長方體;兩個正四面體;兩個正三棱柱;兩個正四棱錐A4個 B3個 C2個 D1個考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知,一定屬于相似體12設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列xn滿足x05,且對任意的自然數(shù)均有xn1f(xn),則x2 016等于()x12345f(x)41352A.1 B2C4 D5考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用答案D解析x1f(x0)f(5)2,x2f(2)1,x3f(1)4,x4f(4)5,x5f(5)2,x6f(2)1,x7f(1)4,x8f(4)5,x9f(5)2,所以數(shù)列xn是周期為4的數(shù)列,所以x2 016x45,故選D.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13用數(shù)學(xué)歸納法證明“123n2”時,從nk到nk1,等式左端需要增加的代數(shù)式為_考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步:歸納遞推答案(k21)(k22)(k1)2解析當(dāng)nk時,等式的左端為123k2,當(dāng)nk1時,等式的左端為123k2(k21)(k22)(k1)2.14已知a>0,b>0,mlg,nlg,則m,n的大小關(guān)系是_考點(diǎn)綜合法及應(yīng)用題點(diǎn)利用綜合法解決不等式問題答案m>n解析ab>0>0ab2>ab()2>()2>>lg>lg.15古埃及數(shù)學(xué)中有一個獨(dú)特現(xiàn)象:除了用一個單獨(dú)的符號表示以外,其他分?jǐn)?shù)都要寫成若干個分?jǐn)?shù)和的形式,例如.可以這樣來理解:假定有2個面包,要平均分給5個人,每人分將剩余,再將這分成5份,每人分得,這樣每人分得.同理可得,按此規(guī)律,則_,_(n5,7,9,11,)考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用答案解析由,得,當(dāng)n5,7,9時,等號右邊第一個分?jǐn)?shù)的分母分別為3,4,5,第二個分?jǐn)?shù)的分母分別是等號左邊分?jǐn)?shù)的分母與等號右邊第一個分?jǐn)?shù)分母的乘積16.現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題:如圖,同一平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形,其中一個的某頂點(diǎn)在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間,有兩個棱長為a的正方體,其中一個的某頂點(diǎn)在另一個中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為_考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案解析解法的類比(特殊化),可得兩個正方體重疊部分的體積為.三、解答題(本大題共6小題,共70分)17(10分)1,2能否為同一等差數(shù)列中的三項?說明理由考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用解假設(shè)1,2能為同一等差數(shù)列中的三項,但不一定是連續(xù)的三項,設(shè)公差為d,則1md,2nd,m,n為兩個正整數(shù),消去d得m(1)n.m為有理數(shù),(1)n為無理數(shù)左邊為有理數(shù),右邊為無理數(shù),m(1)n不成立,矛盾假設(shè)不成立,即1,2不可能為同一等差數(shù)列中的三項18(12分)已知a>0,b>0,2c>ab,求證:c<a<c.考點(diǎn)分析法及應(yīng)用題點(diǎn)分析法解決不等式問題證明要證c<a<c,只需證<ac<,即證|ac|<,只需證(ac)2<()2,只需證a22acc2<c2ab,即證2ac>a2ab,因為a>0,所以只需證2c>ab.因為2c>ab已知,所以原不等式成立19(12分)已知A,B都是銳角,且AB90,(1tan A)(1tan B)2.求證:AB45.考點(diǎn)綜合法及應(yīng)用題點(diǎn)利用綜合法解決函數(shù)問題證明因為(1tan A)(1tan B)2,展開化簡為tan Atan B1tan Atan B.因為AB90,tan(AB)1,又因為A,B都是銳角,所以0<AB<180,所以AB45.20(12分)某同學(xué)在研究相鄰三個正整數(shù)的算術(shù)平方根之間的關(guān)系時,發(fā)現(xiàn)以下三個式子均是正確的:<2;<2;<2.(1)已知(1.41,1.42),(1.73,1.74),(2.23,2.24),請從以上三個式子中任選一個,結(jié)合此范圍,驗證其正確性(注意不能近似計算);(2)請將此規(guī)律推廣至一般情形,并證明考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(組)的應(yīng)用解(1)驗證式成立:<1.74,<2.74,>1.41,2>2.82,<2.(2)一般結(jié)論為:若nN*,則<2,證明如下:要證<2,只需證()2<(2)2,即證2n22<4n4,即證<n1,只需證n(n2)<n22n1,即證0<1,顯然成立故<2.21(12分)在平面內(nèi),可以用面積法證明下面的結(jié)論:從三角形內(nèi)部任意一點(diǎn),向各邊引垂線,其長度分別為pa,pb,pc,且相應(yīng)各邊上的高分別為ha,hb,hc,則有1.請你運(yùn)用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比解類比結(jié)論:從四面體內(nèi)部任意一點(diǎn)向各面引垂線,其長度分別為pa,pb,pc,pd,且相應(yīng)各面上的高分別為ha,hb,hc,hd.則有1.證明:,同理有,又VPBCDVPCDAVPBDAVPABCVABCD,1.22(12分)已知f(x),且f(1)log162,f(2)1.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式(2)已知數(shù)列xn的項滿足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n),試求x1,x2,x3,x4.(3)猜想xn的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題解(1)f(1)log162,f(2)1,解得a1,b0,f(x)(x1)(2)x11f(1)1,x21f(1)1f(2),x3(1f(3),x4.(3)由(2)知,x1,x2,x3,x4,由此可以猜想xn.證明:當(dāng)n1時,x1,而,猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時,xn成立,即xk,則當(dāng)nk1時,xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1).當(dāng)nk1時,猜想也成立,根據(jù)可知,對一切nN*,猜想xn都成立