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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 三 排序不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc

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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 三 排序不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc

三 排序不等式 1順序和、亂序和、反序和設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,cn為b1,b2,bn的任一排列,稱a1b1a2b2anbn為這兩個實(shí)數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和),稱a1bna2bn1anb1為這兩個實(shí)數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和)稱a1c1a2c2ancn為這兩個實(shí)數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和)2排序不等式(排序原理)定理:(排序原理,又稱為排序不等式)設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,cn為b1,b2,bn的任一排列,則有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn,等號成立(反序和等于順序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可簡記作:反序和亂序和順序和點(diǎn)睛排序不等式也可以理解為兩實(shí)數(shù)序列同向單調(diào)時,所得兩兩乘積之和最大;反向單調(diào)(一增一減)時,所得兩兩乘積之和最小例1已知a,b,c為正數(shù),且abc,求證:.思路點(diǎn)撥分析題目中已明確abc,所以解答本題時可直接構(gòu)造兩個數(shù)組,再用排序不等式證明即可證明ab>0,于是,又c>0,從而,同理,從而.又由于順序和不小于亂序和,故可得.原不等式成立利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu),從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組1已知0<<<<,求證:sin cos sin cos sin cos >(sin 2sin 2sin 2)證明:0<<<<,且ysin x在為增函數(shù),ycos x在為減函數(shù),0<sin <sin <sin ,cos >cos >cos >0.sin cos sin cos sin cos >sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)2設(shè)x1,求證:1xx2x2n(2n1)xn.證明:x1,1xx2xn.由排序原理得12x2x4x2n1xnxxn1xn1xxn1即1x2x4x2n(n1)xn.又因?yàn)閤,x2,xn,1為1,x,x2,xn的一個排列,由排序原理得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1,即xx3x2n1xn(n1)xn.將相加得1xx2x2n(2n1)xn.用排序不等式證明不等式(對所證不等式中的字母大小順序作出假設(shè))例2設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:a10b10c10.思路點(diǎn)撥本題考查排序不等式的應(yīng)用,解答本題需要搞清:題目中沒有給出a,b,c三個數(shù)的大小順序,且a,b,c在不等式中的“地位”是對等的,故可以設(shè)abc,再利用排序不等式加以證明證明由對稱性,不妨設(shè) abc,于是a12b12c12,故由排序不等式:順序和亂序和,得.又因?yàn)閍11b11c11,.再次由排序不等式:反序和亂序和,得.所以由得a10b10c10.在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系,對于沒有給出大小關(guān)系的情況,要根據(jù)各字母在不等式中地位的對稱性,限定一種大小關(guān)系3設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:abc.證明:由題意不妨設(shè)abc0,由不等式的單調(diào)性,知abacbc,.由排序不等式,知abacbcabacbcacb,即abc.4設(shè)a1,a2,a3為正數(shù),求證:a1a2a3.證明:不妨設(shè) a1a2a3>0,于是,a2a3a3a1a1a2,由排序不等式:順序和亂序和得a2a3a3a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3.1有兩組數(shù):1,2,3與10,15,20,它們的順序和、反序和分別是()A100,85B100,80C95,80 D95,85解析:選B由順序和與反序和的定義可知順序和為100,反序和為80.2若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1a2b1b21,則下列代數(shù)式中值最大的是()Aa1b1a2b2 Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1 D.解析:選A因?yàn)?<a1<a2,0<b1<b2,所以由排序不等式可知a1b1a2b2最大3銳角三角形中,設(shè)P,Qacos Cbcos Bccos A,則P,Q的大小關(guān)系為()APQBPQCPQ D不能確定解析:選C不妨設(shè)ABC,則abc,cos Acos Bcos C,則由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.4兒子過生日要老爸買價格不同的禮品1件、2件及3件,現(xiàn)在選擇商店中單價為13元、20元和10元的禮品,至少要花()A76元 B20元C84元 D96元解析:選A設(shè)a11(件),a22(件),a33(件),b110(元),b213(元),b320(元),則由排序原理反序和最小知至少要花a1b3a2b2a3b112021331076(元)5已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一個排列,則1c12c23c3的最大值是_,最小值是_解析:由反序和亂序和順序和知,順序和最大,反序和最小,故最大值為32,最小值為28.答案:32286設(shè)正實(shí)數(shù)a1,a2,an的任一排列為 a1,a2,an,則的最小值為_解析:不妨設(shè)0<a1a2a3an,則.其反序和為n,則由亂序和不小于反序和知n, 的最小值為n.答案:n7設(shè)a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一個排序,則a12a23a34a4的取值范圍是_解析:a12a23a34a4的最大值為1222324230,最小值為1423324120,a12a23a34a4的取值范圍是20,30答案:20,308設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),用排序不等式證明aabbcc(abc).證明:由所證不等式的對稱性,不妨設(shè)abc>0,則lg alg blg c,據(jù)排序不等式有:alg ablg bclg cblg aclg balg c,alg ablg bclg cclg aalg bblg c,以上兩式相加,再兩邊同加alg ablg bclg c,整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c),即lg(aabbcc)lg(abc),故aabbcc(abc).9某學(xué)校舉行投籃比賽,按規(guī)則每個班級派三人參賽,第一人投m分鐘,第二人投n分鐘,第三人投p分鐘,某班級三名運(yùn)動員A,B,C每分鐘能投進(jìn)的次數(shù)分別為a,b,c,已知mnp,abc,如何派三人上場能取得最佳成績?解:mnp,abc,且由排序不等式知順序和為最大值,最大值為manbpc,此時分?jǐn)?shù)最高,三人上場順序是A第一,B第二,C第三10已知0<abc,求證:.證明:因?yàn)?<abc,所以0<abcabc,所以>0,又0<a2b2c2,所以是順序和, 是亂序和,由排序不等式可知順序和大于等于亂序和,即不等式成立

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