2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式講義（含解析）新人教A版選修4-5-.doc

一 二維形式的柯西不等式 1二維形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號成立(2)二維形式的柯西不等式的推論：(ab)(cd)()2(a，b，c，d為非負(fù)實(shí)數(shù))；|acbd|(a，b，c，dR)；|ac|bd|(a，b，c，dR)2柯西不等式的向量形式定理2：設(shè)，是兩個(gè)向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號成立注意柯西不等式的向量形式中|，取等號“”的條件是0或存在實(shí)數(shù)k，使k.3二維形式的三角不等式(1)定理3：(x1，y1，x2，y2R)當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1，P2與O共線，并且P1，P2點(diǎn)在原點(diǎn)O異側(cè)時(shí)，等號成立(2)推論：對于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有.事實(shí)上，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P1，P2，P3的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根據(jù)P1P2P3的邊長關(guān)系有|P1P3|P2P3|P1P2|，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1，P2，P3共線，并且點(diǎn)P1，P2在P3點(diǎn)的異側(cè)時(shí)，等號成立利用柯西不等式證明不等式例1已知為銳角，a，bR，求證：(ab)2.思路點(diǎn)撥可結(jié)合柯西不等式，將左側(cè)構(gòu)造成乘積形式，利用“1sin2cos2”，然后用柯西不等式證明證明(cos2sin2)2(ab)2，(ab)2.利用柯西不等式證明不等式的關(guān)鍵在于利用已知條件和所證不等式，把已知條件利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、變量代換等，將條件構(gòu)造成柯西不等式的基本形式，從而利用柯西不等式證明，但應(yīng)注意等號成立的條件1已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)求證：(a1b1a2b2)(a1a2)2.證明：(a1b1a2b2)()2()22(a1a2)2.原不等式成立2設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證： (abc)證明：由柯西不等式，得 ab，即ab.同理：bc，ac，將上面三個(gè)同向不等式相加得：2(abc) (abc)3設(shè)a，bR，且ab2.求證：2.證明：根據(jù)柯西不等式，有(2a)(2b)()2()22(ab)24.2.原不等式成立.利用二維形式的柯西不等式求最值例2求函數(shù)y3sin 4cos 的最大值思路點(diǎn)撥函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為acbd的形式就能用柯西不等式求其最大值解由柯西不等式得(3sin 4cos )2(3242)(sin2cos2 )25，3sin 4cos 5.當(dāng)且僅當(dāng)>0即sin ，cos 時(shí)取等號，即函數(shù)的最大值為5.利用柯西不等式求最值的注意點(diǎn)(1)變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以利用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；(3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一4已知2x2y21，求2xy的最大值解：2xyx1y，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號2xy的最大值為.5求函數(shù)y 的最小值解：y，y2(x1)22(3x)252(x1)22(3x)252(x1)(3x)(x1)(3x)2(72)112.當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)等號成立此時(shí)ymin1.1已知a，bR且ab1，則P(axby)2與Qax2by2的大小關(guān)系是()APQBPQCPQ DPQ解析：選A設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|mn|m|n| ，(axby)2ax2by2，即PQ.2若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A2，2 B2，2 C， D(，)解析：選A(a2b2)12(1)2(ab)2，a2b210，(ab)220.2ab2.3已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A. B.C. D.解析：選B(2x23y2)()2()2(xy)2(xy)26，當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)取等號，即2x23y2.故2x23y2的最小值為.4函數(shù)y2的最大值是()A. B.C3 D5解析：選B根據(jù)柯西不等式，知y12，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號5設(shè)xy>0，則的最小值為_解析：原式xy29，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號答案：96設(shè)a(2,1,2)，|b|6，則ab的最小值為_，此時(shí)b_.解析：根據(jù)柯西不等式的向量形式，有|ab|a|b|，|ab|618，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k，使akb時(shí)，等號成立18ab18，ab的最小值為18，此時(shí)b2a(4，2，4)答案：18(4，2，4)7設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3x22y26，則P2xy的最大值為_解析：由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611，當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)取等號，故P2xy的最大值為.答案：8已知x，yR，且xy2.求證：2.證明：(xy) ()2()222，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)x1，y1.所以2.9若x24y25，求xy的最大值及此時(shí)x，y的值解：由柯西不等式得x2(2y)2(xy)2，即(xy)25，xy.當(dāng)且僅當(dāng)，即x4y時(shí)取等號由得或(舍去)xy的最大值為，此時(shí)x2，y.10求函數(shù)f(x)3cos x4的最大值，并求出相應(yīng)的x的值解：設(shè)m(3,4)，n(cos x，)，則f(x)3cos x4 |mn|m|n|5，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，上式取“”此時(shí)，3 4cos x0.解得sin x，cos x.故當(dāng)sin x，cos x時(shí)f(x)3cos x4 取最大值5.