新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 專題探究課5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題 理 北師大版

五)平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題(對應(yīng)學(xué)生用書第153頁)命題解讀圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題，常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題為主這些試題的命制有一個共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對運(yùn)算能力，分析問題解決問題的能力要求較高，難度較大，常以壓軸題的形式出現(xiàn)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法離心率是高考對圓錐曲線考查的又一重點(diǎn)，涉及a，b，c三者之間的關(guān)系另外拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的漸近線也是命題的熱點(diǎn)(20xx·石家莊質(zhì)檢)如圖1，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1. 【導(dǎo)學(xué)號：79140313】圖1(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PF1|PQ|，求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2.即c，從而b1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)連接F1Q，如圖，由橢圓的定義知|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，又|PF1|PQ|PF2|QF2|(2a|PF1|)(2a|QF1|)，可得|QF1|4a2|PF1|.又因為PF1PQ且|PF1|PQ|，所以|QF1|PF1|.由可得|PF1|(42)a，從而|PF2|2a|PF1|(22)a.由PF1PF2知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(42)2a2(22)2a24c2，可得(96)a2c2，即96，因此e.規(guī)律方法1.用定義法求圓錐曲線的方程是常用的方法，同時應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.圓錐曲線的離心率刻畫曲線的扁平程度，只要明確a，b，c中任意兩量的等量關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制.跟蹤訓(xùn)練(20xx·河南3月適應(yīng)性測試)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程解(1)設(shè)拋物線的方程是x22py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1y2p8，又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3，y1y26，p2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24y.(2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240，(*)易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為y(xx3)，令y1，得x，R，又Q，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線，kQFkFR，又F(0,1)，即(x4)(x4)16x3x40，整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，將(*)式代入上式得k2，k±，直線m的方程為y±x6.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題(答題模板)定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問題(本小題滿分12分)(20xx·全國卷)已知橢圓C：1(ab0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，中.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn)審題指導(dǎo)題眼挖掘關(guān)鍵信息根據(jù)橢圓的對稱性，以及所給四點(diǎn)中P3、P4關(guān)于y軸對稱，可知P3、P4在橢圓上，進(jìn)而判斷P2在橢圓上，求出其方程欲證直線l過定點(diǎn)，只需求出l的方程，分析l與x軸的位置關(guān)系，結(jié)合直線P2A與直線P2B斜率的和為1，聯(lián)立l與橢圓的方程求解，并注意“設(shè)而不求，整體代入”方法的運(yùn)用規(guī)范解答(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)又由知，橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上.2分因此解得故橢圓C的方程為y21.4分(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，則k1k21，得t2，不符合題設(shè).6分從而可設(shè)l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設(shè)可知16(4k2m21)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.8分而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.10分即(2k1)·(m1)·0，解得k.當(dāng)且僅當(dāng)m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(diǎn)(2，1).12分閱卷者說易錯點(diǎn)防范措施不會判斷四點(diǎn)中哪三點(diǎn)在橢圓上可畫出四點(diǎn)，數(shù)形給合進(jìn)行判斷忽視直線l斜率不存在的情況應(yīng)樹立分類討論的意識，求直線方程，應(yīng)以直線斜率是否存在為標(biāo)準(zhǔn)分類求解規(guī)律方法定點(diǎn)問題的常見解法(1)根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個含參數(shù)的直線系或曲線系方程，經(jīng)過分析、整理，對方程進(jìn)行等價變形，以找出適合方程且與參數(shù)無關(guān)的坐標(biāo)(該坐標(biāo)對應(yīng)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn)).(2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意.跟蹤訓(xùn)練(20xx·北京高考)已知橢圓C：1過A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解(1)由題意得a2，b1，所以橢圓C的方程為y21.又c，所以離心率e.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直線PA的方程為y(x2)令x0，得yM，從而|BM|1yM1.直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN2.所以四邊形ABNM的面積S|AN|·|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時求解與之有關(guān)的一些問題(20xx·石家莊質(zhì)檢(二)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且長軸長為8，T為橢圓上一點(diǎn)，直線TA，TB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)M(0,2)的動直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求··的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：79140314】解(1)設(shè)T(x，y)，則直線TA的斜率為k1，直線TB的斜率為k2.于是由k1k2，得·，整理得1.(2)當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為ykx2，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線PQ與橢圓方程聯(lián)立得(4k23)x216kx320，所以x1x2，x1x2.從而，··x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420.20··.當(dāng)直線PQ斜率不存在時，易得P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，(0，2)，所以··的值為20.綜上所述，··的取值范圍為.規(guī)律方法范圍(最值)問題的主要求解方法(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練(20xx·廣東六校聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(diǎn)P是圓O：x2y21上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQy軸于點(diǎn)Q，延長QP到點(diǎn)M，使.(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)過點(diǎn)C(m,0)作圓O的切線l，交(1)中的曲線E于A，B兩點(diǎn)，求AOB面積的最大值解(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，P為QM的中點(diǎn)，又有PQy軸，P，點(diǎn)P是圓：x2y21上的點(diǎn)，y21.即點(diǎn)M的軌跡E的方程為y21.(2)由題意可知直線l與y軸不垂直，故可設(shè)l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)，l與圓O：x2y21相切，1，即m2t21，由消去x，并整理得(t24)y22mtym240，其中4m2t24(t24)(m24)480，則y1y2，y1y2.|AB|，將代入上式得|AB|，|m|1，SAOB|AB|·1·1，當(dāng)且僅當(dāng)|m|，即m±時，等號成立，(SAOB)max1. 圓錐曲線中的探索性問題圓錐曲線中的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否成立涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題(20xx·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知橢圓x22y2m(m0)，以橢圓內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)為中點(diǎn)作弦AB，設(shè)線段AB的中垂線與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)(1)求橢圓的離心率；(2)試判斷是否存在這樣的m，使得A，B，C，D在同一個圓上，并說明理由解(1)將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程1(m0)，e.(2)由題意，直線AB的斜率存在，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，設(shè)AB的方程為yk(x2)1，聯(lián)立x22y2m(m0)，得(12k2)x24k(12k)x2(2k1)2m0(m0)x1x24，k1，此時由0，得m6.則AB的方程為xy30，則CD的方程為xy10.聯(lián)立得3y22y1m0，y3y4，故CD的中點(diǎn)N為.由弦長公式可得|AB|x1x2|·，|CD|y3y4|·|AB|，若存在符合題意的圓，則圓心在CD上，CD的中點(diǎn)N到直線AB的距離為.|NA|2|NB|2.又，所以存在m6，使得A，B，C，D在同一個圓上規(guī)律方法探索性問題的求解方法(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”.其步驟如下：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，列出與該元素相關(guān)的方程(組)，若方程(組)有實數(shù)解，則元素存在，否則，元素不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題的常用方法.跟蹤訓(xùn)練(20xx·湖北武漢調(diào)研)已知直線yk(x2)與拋物線：y2x相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作y軸的垂線交于點(diǎn)N.(1)證明：拋物線在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行；(2)是否存在實數(shù)k使·0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由解(1)證明：由消去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x24，xM，則yMk(xM2)k，由題設(shè)條件可知，yNyM，則xN2y，N，設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線方程為ym，將x2y2代入上式，得2my2y0，直線與拋物線相切，124×2m×0，mk，即拋物線在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行(2)假設(shè)存在實數(shù)k，使·0，則NANB，M是AB的中點(diǎn)，|MN|AB|，由(1)得|AB|x1x2|···，MNy軸，|MN|xMxN|，·，解得k±，故存在k±，使·0.