新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第7章 立體幾何 第5節(jié) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積學(xué)案 理 北師大版

1 1第五節(jié)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積考綱傳真(教師用書(shū)獨(dú)具)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第117頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1多面體的表(側(cè))面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3知識(shí)拓展幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，若球?yàn)檎襟w的外接球，則2Ra；若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2Ra；若球與正方體的各棱相切，則2Ra.(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R.(3)棱長(zhǎng)為a的正四面體，其高Ha，則其外接球半徑RH，內(nèi)切球半徑RH.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和()(2)錐體的體積等于底面面積與高之積()(3)球的體積之比等于半徑比的平方()(4)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差()(5)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差()(6)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則Ra.()答案(1)(2)×(3)×(4)(5)(6)2(教材改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A1 cmB2 cmC3 cmD cmBS表r2rlr2r·2r3r212，r24，r2(cm)3(20xx·全國(guó)卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A12BC8D4A設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a38，所以a2.所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以正方體外接球的半徑為，所以球的表面積為4·()212，故選A4(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖7­5­1所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()圖7­5­1A1B3C1D3A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，所以該幾何體的體積V××12×3××××31.故選A5已知某幾何體的三視圖如圖7­5­2所示，則該幾何體的體積為_(kāi)圖7­5­2由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)圓錐，其體積為×22×2×22×2.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第118頁(yè))簡(jiǎn)單幾何體的表面積(1)(20xx·石家莊一模)某幾何體的三視圖如圖7­5­3所示(在網(wǎng)格線中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該幾何體的表面積為()圖7­5­3A48B54C64D60(2)(20xx·全國(guó)卷)如圖7­5­4，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖7­5­4A17B18C20D28(1)D(2)A(1)根據(jù)三視圖還原直觀圖，如圖所示，則該幾何體的表面積S6×3×6×42××3×5×6×560，故選D.(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.故選A規(guī)律方法簡(jiǎn)單幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.必須還原出直觀圖.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練(20xx·合肥第一次質(zhì)檢)一個(gè)幾何體的三視圖如圖7­5­5所示(其中主視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為()圖7­5­5A484B724C486D726D由三視圖可得該幾何體是棱長(zhǎng)為4的正方體截去底面是邊長(zhǎng)為2的正方形、高為4的長(zhǎng)方體，再補(bǔ)上個(gè)底面圓半徑為2、高為4的圓柱，則該幾何體的表面積為16×22(12)8×2×2×2×4726，故選D.簡(jiǎn)單幾何體的體積(1)(20xx·全國(guó)卷)如圖7­5­6，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()圖7­5­6A90B63C42D36(2)(20xx·深圳二調(diào))一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖7­5­7所示，則該幾何體的體積為()圖7­5­7A24B48C72D96(1)B(2)B(1)法一：(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V×32×4×32×6×63.故選B.法二：(估值法)由題意知，V圓柱V幾何體V圓柱又V圓柱×32×1090，所以45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合故選B.(2)由三視圖知，該幾何體是由長(zhǎng)、寬、高分別為6,4,4的長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去所剩下的部分，如圖所示，其中C，G均為長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)邊的中心，該平面恰好把長(zhǎng)方體一分為二，則該幾何體的體積為V×6×4×448，故選B.規(guī)律方法簡(jiǎn)單幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的底面積和高，一般不需畫(huà)直觀圖.跟蹤訓(xùn)練(1)正三棱柱ABC­A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A­B1DC1的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140239】A3BC1D(2)(20xx·山東高考)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖7­5­8，則該幾何體的體積為_(kāi)圖7­5­8(1)C(2)2(1)由題意可知，AD平面B1DC1，即AD為三棱錐A­B1DC1的高，且AD×2，易求得S×2×，所以V××1.(2)該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1的長(zhǎng)方體和兩個(gè)底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成，所以V2×1×12×××12×12.與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(20xx·全國(guó)卷)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4BC6DB由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為2，R2.又2R3，R，Vmax.故選B.1若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積解將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC­A1B1E1C1，則球O是長(zhǎng)方體ABEC­A1B1E1C1的外接球，所以體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑因此2R13，故S球4R2169.2若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積解如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在RtAFO中，(4r)2()2r2，解得r，則球O的體積V球r3×.規(guī)律方法與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的求解方法(1)與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題.(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體利用2R求R.確定球心位置，把半徑放在直角三角形中求解.(3)一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問(wèn)題：可補(bǔ)形成直三棱柱.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()ABCD(2)(20xx·深圳二調(diào))已知三棱錐S­ABC，ABC是直角三角形，其斜邊AB8，SC平面ABC，SC6，則三棱錐的外接球的表面積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140240】A64B68C72D100(1)B(2)D(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h×1.故選B.(2)由于ABC是直角三角形，則對(duì)應(yīng)的截面圓的圓心為AB的中點(diǎn)，截面圓半徑r4，且球心就在過(guò)截面圓的圓心且垂直于截面的直線上，且球心到平面ABC的距離等于SC的一半，故三棱錐的外接球的半徑R5，故三棱錐的外接球的表面積為S4R2100，故選D.